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14.提升题＞如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，E是BC边上的一点，且CE = $\frac{1}{2}$BE。已知CD=9，sin∠BAE=$\frac{3}{4}$。
(1)求AE的长。
(2)若AE=BE，求tan∠ACD的值。
(1)求AE的长。
(2)若AE=BE，求tan∠ACD的值。
答案
解：
(1) 过点E作EF⊥AB于点F。
∵ CD是AB边上的高，
∴ CD⊥AB，
∴ EF//CD，
∴ △BEF∽△BCD，
∴ $\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BE$，
∴ $BE=2CE$，$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$，
代入$CD=9$得：$\frac{EF}{9}=\frac{2}{3}$，解得$EF=6$。
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°$，$\sin∠ BAE=\frac{EF}{AE}=\frac{3}{4}$，
∴ $AE=\frac{EF}{\frac{3}{4}}=6×\frac{4}{3}=8$。
(2) ∵ $AE=BE$，$AE=8$，
∴ $BE=8$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
∵ $AE=BE$，$EF⊥ AB$，
∴ $AB=2AF=4\sqrt{7}$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BE=4$，
∴ $BC=BE+CE=12$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{12^2-9^2}=3\sqrt{7}$，
∴ $AD=AB-BD=4\sqrt{7}-3\sqrt{7}=\sqrt{7}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，
∴ $\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{7}}{9}$。
综上，(1) $AE$的长为$\boldsymbol{8}$；(2) $\tan∠ ACD$的值为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{7}}{9}}$。
(1) 过点E作EF⊥AB于点F。
∵ CD是AB边上的高，
∴ CD⊥AB，
∴ EF//CD，
∴ △BEF∽△BCD，
∴ $\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BE$，
∴ $BE=2CE$，$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$，
代入$CD=9$得：$\frac{EF}{9}=\frac{2}{3}$，解得$EF=6$。
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°$，$\sin∠ BAE=\frac{EF}{AE}=\frac{3}{4}$，
∴ $AE=\frac{EF}{\frac{3}{4}}=6×\frac{4}{3}=8$。
(2) ∵ $AE=BE$，$AE=8$，
∴ $BE=8$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
∵ $AE=BE$，$EF⊥ AB$，
∴ $AB=2AF=4\sqrt{7}$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BE=4$，
∴ $BC=BE+CE=12$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{12^2-9^2}=3\sqrt{7}$，
∴ $AD=AB-BD=4\sqrt{7}-3\sqrt{7}=\sqrt{7}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，
∴ $\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{7}}{9}$。
综上，(1) $AE$的长为$\boldsymbol{8}$；(2) $\tan∠ ACD$的值为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{7}}{9}}$。
解析
【分析】
(1) 要求AE的长度，已知$\sin∠ BAE$的值，根据锐角三角函数的定义，需要构造包含$∠ BAE$的直角三角形，因此过点E作$EF⊥ AB$于点F。由CD、EF均垂直AB可得$EF// CD$，可推出$△ BEF ∽ △ BCD$，结合$CE=\frac{1}{2}BE$和CD的长度即可求出EF的长，再利用$\sin∠ BAE=\frac{EF}{AE}$的关系就能求出AE。
(2) 若$AE=BE$，结合$EF⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质可得F是AB的中点，先利用勾股定理求出AF的长度，进而得到AB的总长；再根据CE和BE的数量关系求出BC的长度，在$Rt△ BCD$中用勾股定理求出BD的长度，作差得到AD的长度，最后在$Rt△ ACD$中根据正切的定义即可求出$\tan∠ ACD$的值。
【解析】
(1) 过点E作$EF⊥ AB$于点F。
∵ CD是AB边上的高，
∴ $CD⊥ AB$，
∴ $EF// CD$，
∴ $△ BEF ∽ △ BCD$，
∴ $\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BE$，
∴ $BE=2CE$，$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$，
代入$CD=9$得：$\frac{EF}{9}=\frac{2}{3}$，解得$EF=6$。
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°$，$\sin∠ BAE=\frac{EF}{AE}=\frac{3}{4}$，
∴ $AE=\frac{EF}{\frac{3}{4}}=6×\frac{4}{3}=8$。
(2)
∵ $AE=BE$，$AE=8$，
∴ $BE=8$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
∵ $AE=BE$，$EF⊥ AB$，
∴ $AB=2AF=4\sqrt{7}$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BE=4$，
∴ $BC=BE+CE=12$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{12^2-9^2}=3\sqrt{7}$，
∴ $AD=AB-BD=4\sqrt{7}-3\sqrt{7}=\sqrt{7}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，
∴ $\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{7}}{9}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{7}}{9}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是合理添加辅助线构造相似三角形与直角三角形，结合相似性质、三角函数定义、等腰三角形性质和勾股定理逐步推导计算，能够较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求AE的长度，已知$\sin∠ BAE$的值，根据锐角三角函数的定义，需要构造包含$∠ BAE$的直角三角形，因此过点E作$EF⊥ AB$于点F。由CD、EF均垂直AB可得$EF// CD$，可推出$△ BEF ∽ △ BCD$，结合$CE=\frac{1}{2}BE$和CD的长度即可求出EF的长，再利用$\sin∠ BAE=\frac{EF}{AE}$的关系就能求出AE。
(2) 若$AE=BE$，结合$EF⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质可得F是AB的中点，先利用勾股定理求出AF的长度，进而得到AB的总长；再根据CE和BE的数量关系求出BC的长度，在$Rt△ BCD$中用勾股定理求出BD的长度，作差得到AD的长度，最后在$Rt△ ACD$中根据正切的定义即可求出$\tan∠ ACD$的值。
【解析】
(1) 过点E作$EF⊥ AB$于点F。
∵ CD是AB边上的高，
∴ $CD⊥ AB$，
∴ $EF// CD$，
∴ $△ BEF ∽ △ BCD$，
∴ $\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BE$，
∴ $BE=2CE$，$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$，
代入$CD=9$得：$\frac{EF}{9}=\frac{2}{3}$，解得$EF=6$。
在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE=90°$，$\sin∠ BAE=\frac{EF}{AE}=\frac{3}{4}$，
∴ $AE=\frac{EF}{\frac{3}{4}}=6×\frac{4}{3}=8$。
(2)
∵ $AE=BE$，$AE=8$，
∴ $BE=8$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
∵ $AE=BE$，$EF⊥ AB$，
∴ $AB=2AF=4\sqrt{7}$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BE=4$，
∴ $BC=BE+CE=12$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{12^2-9^2}=3\sqrt{7}$，
∴ $AD=AB-BD=4\sqrt{7}-3\sqrt{7}=\sqrt{7}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，
∴ $\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{7}}{9}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{7}}{9}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是合理添加辅助线构造相似三角形与直角三角形，结合相似性质、三角函数定义、等腰三角形性质和勾股定理逐步推导计算，能够较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
15.如图，A,B,P是半径为2的$\odot O$上的三个点，$∠ APB = 45°$，求弦AB的长。
（第15题）
（第15题）答案
解：
连接OA，OB。
由圆周角定理可得：∠AOB = 2∠APB = 2×45° = 90°。
∵⊙O的半径为2，
∴OA = OB = 2。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{OA^2 + OB^2}$ = $\sqrt{2^2 + 2^2}$ = $2\sqrt{2}$。
连接OA，OB。
由圆周角定理可得：∠AOB = 2∠APB = 2×45° = 90°。
∵⊙O的半径为2，
∴OA = OB = 2。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{OA^2 + OB^2}$ = $\sqrt{2^2 + 2^2}$ = $2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
要求弦AB的长，已知圆的半径和圆周角∠APB的度数，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此先作辅助线连接OA、OB，将圆周角转化为对应的圆心角，求出圆心角∠AOB的度数后，可判断△AOB的形状，再结合已知的半径长度，用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
连接OA，OB。
由圆周角定理可得：$∠ AOB = 2∠ APB = 2×45° = 90°$。
∵$\odot O$的半径为2，
∴$OA = OB = 2$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题核心是通过连接圆心与弦的端点构造圆心角，利用圆周角定理得到特殊直角三角形，再结合勾股定理求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要求弦AB的长，已知圆的半径和圆周角∠APB的度数，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此先作辅助线连接OA、OB，将圆周角转化为对应的圆心角，求出圆心角∠AOB的度数后，可判断△AOB的形状，再结合已知的半径长度，用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
连接OA，OB。
由圆周角定理可得：$∠ AOB = 2∠ APB = 2×45° = 90°$。
∵$\odot O$的半径为2，
∴$OA = OB = 2$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题核心是通过连接圆心与弦的端点构造圆心角，利用圆周角定理得到特殊直角三角形，再结合勾股定理求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
