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10.计算：
(1)$(-2)^3 × (-3)^2$；
(2)$(-3)^2 ÷ (-2^4)$；
(3)$-\dfrac{3^3}{4} × 4$；
(4)$(\dfrac{3}{4})^3 ÷ (-\dfrac{3}{2})^3$。
(1)$(-2)^3 × (-3)^2$；
(2)$(-3)^2 ÷ (-2^4)$；
(3)$-\dfrac{3^3}{4} × 4$；
(4)$(\dfrac{3}{4})^3 ÷ (-\dfrac{3}{2})^3$。
答案
10.解:(1)原式$=(-8)×9=-72$。
(2)原式$=9÷(-16)=-\dfrac{9}{16}$。
(3)原式$=-\dfrac{27}{4}×4=-27$。
(4)原式$=\dfrac{27}{64}÷(-\dfrac{27}{8})=\dfrac{27}{64}×(-\dfrac{8}{27})=-\dfrac{1}{8}$。
(2)原式$=9÷(-16)=-\dfrac{9}{16}$。
(3)原式$=-\dfrac{27}{4}×4=-27$。
(4)原式$=\dfrac{27}{64}÷(-\dfrac{27}{8})=\dfrac{27}{64}×(-\dfrac{8}{27})=-\dfrac{1}{8}$。
解析
【分析】
解决这组计算题需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除。计算乘方时需注意：①负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；②要区分底数是否带括号，比如$-2^4$的底数是2，先算$2^4$再添加负号，和$(-2)^4$的结果完全不同。乘除运算时先确定结果的符号，再计算绝对值的乘积或商即可。
【解析】
(1) 先算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-3)^2=9$，再算乘法：原式$=(-8)×9=-72$。
(2) 先算乘方：$(-3)^2=9$，$-2^4=-16$，再算除法：原式$=9÷(-16)=-\dfrac{9}{16}$。
(3) 先算乘方：$3^3=27$，再算乘法：原式$=-\dfrac{27}{4}×4=-27$。
(4) 先算乘方：$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，再将除法转化为乘法计算：原式$=\dfrac{27}{64}÷(-\dfrac{27}{8})=\dfrac{27}{64}×(-\dfrac{8}{27})=-\dfrac{1}{8}$。
【答案】
(1)$-72$；(2)$-\dfrac{9}{16}$；(3)$-27$；(4)$-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
有理数乘方运算、有理数乘除运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题，核心考查乘方的计算规则和乘除运算的符号判断，易错点是混淆带括号与不带括号的乘方的底数，计算时按照运算顺序逐步计算，注意核查符号即可避免错误。
【难度系数】
0.8
解决这组计算题需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除。计算乘方时需注意：①负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；②要区分底数是否带括号，比如$-2^4$的底数是2，先算$2^4$再添加负号，和$(-2)^4$的结果完全不同。乘除运算时先确定结果的符号，再计算绝对值的乘积或商即可。
【解析】
(1) 先算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-3)^2=9$，再算乘法：原式$=(-8)×9=-72$。
(2) 先算乘方：$(-3)^2=9$，$-2^4=-16$，再算除法：原式$=9÷(-16)=-\dfrac{9}{16}$。
(3) 先算乘方：$3^3=27$，再算乘法：原式$=-\dfrac{27}{4}×4=-27$。
(4) 先算乘方：$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，再将除法转化为乘法计算：原式$=\dfrac{27}{64}÷(-\dfrac{27}{8})=\dfrac{27}{64}×(-\dfrac{8}{27})=-\dfrac{1}{8}$。
【答案】
(1)$-72$；(2)$-\dfrac{9}{16}$；(3)$-27$；(4)$-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
有理数乘方运算、有理数乘除运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题，核心考查乘方的计算规则和乘除运算的符号判断，易错点是混淆带括号与不带括号的乘方的底数，计算时按照运算顺序逐步计算，注意核查符号即可避免错误。
【难度系数】
0.8
11. 已知 $2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, \dots$。根据这个规律，试猜想 $2^{204}$ 的末位数字，并说明理由。
答案
11. 解:$2^{204}$ 的末位数字是 6。理由如下：
$204÷4=51$,又由题知,$2^n$ 的末位数字以 2,4,8,6 四个一组循环,$2^{204}$ 的末位数字恰好是第 4 个,所以 $2^{204}$ 的末位数字是 6。
$204÷4=51$,又由题知,$2^n$ 的末位数字以 2,4,8,6 四个一组循环,$2^{204}$ 的末位数字恰好是第 4 个,所以 $2^{204}$ 的末位数字是 6。
解析
【分析】
解题时首先观察给出的2的前几次乘方的末位数字，可发现末位数字存在周期性重复的规律，先确定循环周期为4，循环节为2、4、8、6；再计算指数204除以周期4的结果，根据余数判断$2^{204}$的末位数字对应循环节中的第几个数，即可得出结论，若刚好整除则对应循环节最后一个数。
【解析】
观察已知条件可得：
$2^1$的末位数字是2，$2^2$的末位数字是4，$2^3$的末位数字是8，$2^4$的末位数字是6，
$2^5$的末位数字回到2，由此可知$2^n$的末位数字以2、4、8、6四个数字为一组循环出现，周期为4。
计算$204÷4=51$，无余数，说明$2^{204}$的末位数字对应循环节的最后一个数字。
因此$2^{204}$的末位数字是6。
【答案】
$2^{204}$的末位数字是6。
【知识点】
有理数乘方；数字规律探究
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察归纳出幂次末位的循环周期，再结合除法运算确定所求项在周期中的位置，掌握该方法可解决多数同类型的数字幂次末位求解问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察给出的2的前几次乘方的末位数字，可发现末位数字存在周期性重复的规律，先确定循环周期为4，循环节为2、4、8、6；再计算指数204除以周期4的结果，根据余数判断$2^{204}$的末位数字对应循环节中的第几个数，即可得出结论，若刚好整除则对应循环节最后一个数。
【解析】
观察已知条件可得：
$2^1$的末位数字是2，$2^2$的末位数字是4，$2^3$的末位数字是8，$2^4$的末位数字是6，
$2^5$的末位数字回到2，由此可知$2^n$的末位数字以2、4、8、6四个数字为一组循环出现，周期为4。
计算$204÷4=51$，无余数，说明$2^{204}$的末位数字对应循环节的最后一个数字。
因此$2^{204}$的末位数字是6。
【答案】
$2^{204}$的末位数字是6。
【知识点】
有理数乘方；数字规律探究
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察归纳出幂次末位的循环周期，再结合除法运算确定所求项在周期中的位置，掌握该方法可解决多数同类型的数字幂次末位求解问题。
【难度系数】
0.8
12.【数学文化】我们平常用的数是十进制的数，如$2639=2× 10^3+6× 10^2+3× 10^1+9$，表示十进制的数要用十个数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。在计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。如二进制中$101=1× 2^2+0× 2^1+1$，与十进制的5相等。二进制中的1101等于十进制中的哪个数？
答案
12. 13
解析
【分析】
我们可以先参照题目给出的十进制数展开、二进制转十进制的示例，总结转换规则：二进制数转十进制数时，需要把二进制每一位的数码，乘以2的对应幂次（从左往右数，第n位对应的幂次为总位数减n，也可从右往左数，最低位对应2⁰，往左依次幂次加1），最后把所有乘积相加，就能得到对应的十进制数。解题时先确定二进制数1101每一位对应的2的幂次，再按规则计算求和即可。
【解析】
根据题目给出的二进制转十进制的规则可得：
$\begin{aligned}1101&=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1\\&=8 + 4 + 0 + 1\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
有理数乘方，进制转换，新定义运算
【点评】
本题结合计算机二进制的数学文化背景，考查对新规则的阅读理解能力和有理数乘方的基础计算能力，只要读懂转换规则，细心计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
我们可以先参照题目给出的十进制数展开、二进制转十进制的示例，总结转换规则：二进制数转十进制数时，需要把二进制每一位的数码，乘以2的对应幂次（从左往右数，第n位对应的幂次为总位数减n，也可从右往左数，最低位对应2⁰，往左依次幂次加1），最后把所有乘积相加，就能得到对应的十进制数。解题时先确定二进制数1101每一位对应的2的幂次，再按规则计算求和即可。
【解析】
根据题目给出的二进制转十进制的规则可得：
$\begin{aligned}1101&=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1\\&=8 + 4 + 0 + 1\\&=13\end{aligned}$
【答案】
13
【知识点】
有理数乘方，进制转换，新定义运算
【点评】
本题结合计算机二进制的数学文化背景，考查对新规则的阅读理解能力和有理数乘方的基础计算能力，只要读懂转换规则，细心计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
13.【数学文化】13世纪数学家斐波纳奇的《计算之书》中有这样一个问题:在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴,每头毛驴驮着7只口袋,每只口袋里装着7个面包,每个面包附有7把餐刀,每把餐刀有7只刀鞘,则刀鞘数为(
A.42
B.49
C.$7^6$
D.$7^7$
C
)。A.42
B.49
C.$7^6$
D.$7^7$
答案
13.C
解析
【分析】
本题考查乘方的实际应用，解题时可以逐层推算各物品的数量：已知每一层物品的数量都是上一层的7倍，我们只需要数清楚从老妇人到刀鞘一共包含多少个7相乘，就能将刀鞘的总数量转化为乘方的形式，对应选出正确选项即可，注意不要多数或漏数相同因数的个数。
【解析】
我们根据题意逐层计算总数量：
1. 老妇人总数：$7 = 7^1$
2. 毛驴总数：每位妇人赶7头，共$7 × 7 = 7^2$
3. 口袋总数：每头毛驴驮7只，共$7^2 × 7 = 7^3$
4. 面包总数：每只口袋装7个，共$7^3 × 7 = 7^4$
5. 餐刀总数：每个面包附7把，共$7^4 × 7 = 7^5$
6. 刀鞘总数：每把餐刀有7只，共$7^5 × 7 = 7^6$
因此刀鞘数为$7^6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数的乘法运算
【点评】
本题结合经典数学文化命题，考查乘方的实际应用，解题核心是理清不同物品之间的数量关系，准确判断相同因数的个数，将连乘运算转化为乘方形式简化结果。
【难度系数】
0.7
本题考查乘方的实际应用，解题时可以逐层推算各物品的数量：已知每一层物品的数量都是上一层的7倍，我们只需要数清楚从老妇人到刀鞘一共包含多少个7相乘，就能将刀鞘的总数量转化为乘方的形式，对应选出正确选项即可，注意不要多数或漏数相同因数的个数。
【解析】
我们根据题意逐层计算总数量：
1. 老妇人总数：$7 = 7^1$
2. 毛驴总数：每位妇人赶7头，共$7 × 7 = 7^2$
3. 口袋总数：每头毛驴驮7只，共$7^2 × 7 = 7^3$
4. 面包总数：每只口袋装7个，共$7^3 × 7 = 7^4$
5. 餐刀总数：每个面包附7把，共$7^4 × 7 = 7^5$
6. 刀鞘总数：每把餐刀有7只，共$7^5 × 7 = 7^6$
因此刀鞘数为$7^6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数的乘法运算
【点评】
本题结合经典数学文化命题，考查乘方的实际应用，解题核心是理清不同物品之间的数量关系，准确判断相同因数的个数，将连乘运算转化为乘方形式简化结果。
【难度系数】
0.7
