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典例1 有下列 3 个代数式：$x^4 + 3xy - 2xy^4 -5x^3y^3 -1,2027,-x.$
(1)单项式的个数是
(2)2027 的次数是
(3)$x^4 + 3xy -2xy^4 -5x^3y^3 -1$ 是
(1)单项式的个数是
2
.(2)2027 的次数是
0
,$-x$ 的系数是-1
.(3)$x^4 + 3xy -2xy^4 -5x^3y^3 -1$ 是
六
次五
项式,其中二次项为$3xy$
,常数项为$-1$
.答案
典例1 答案 (1) 2 (2) 0 -1 (3) 六 五 $3xy$ $-1$
解析
【分析】
解题需先回忆整式相关基础概念，按小问逐一分析：
(1) 首先明确单项式的定义：数与字母的积构成的代数式是单项式，单独的数或单独的字母也属于单项式，据此判断三个代数式中符合单项式定义的个数即可。
(2) 常数的次数规定为0；单项式的系数是单项式中的数字因数，据此求解两个空。
(3) 多项式的次数为多项式中次数最高的项的次数，项数为多项式包含的单项式的总个数（含常数项）；再从中找出次数为2的项（二次项）、不含字母的项（常数项）即可。
【解析】
(1) 根据单项式定义判断：
$x^4 + 3xy - 2xy^4 -5x^3y^3 -1$是多个单项式的和，属于多项式；
2027是单独的数，属于单项式；
$-x$是数字$-1$与字母$x$的积，属于单项式；
因此单项式的个数是2。
(2) 单独的常数的次数为0，因此2027的次数是0；
单项式$-x$的数字因数是$-1$，因此它的系数是$-1$。
(3) 先计算多项式$x^4 + 3xy -2xy^4 -5x^3y^3 -1$中每一项的次数：
$x^4$的次数为4，$3xy$的次数为$1+1=2$，$-2xy^4$的次数为$1+4=5$，$-5x^3y^3$的次数为$3+3=6$，$-1$是常数项次数为0；
可知次数最高的项为$-5x^3y^3$，次数是6，该多项式共包含5个单项式，因此它是六次五项式；
其中次数为2的二次项是$3xy$，不含字母的常数项是$-1$。
【答案】
(1) 2
(2) 0；-1
(3) 六；五；$3xy$；$-1$
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数与次数；多项式的项与次数
【点评】
本题是整式相关的基础概念题，解题核心是准确识记单项式、多项式的各类定义，注意计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，不要混淆多项式的次数和单个单项式的次数。
【难度系数】
0.9
解题需先回忆整式相关基础概念，按小问逐一分析：
(1) 首先明确单项式的定义：数与字母的积构成的代数式是单项式，单独的数或单独的字母也属于单项式，据此判断三个代数式中符合单项式定义的个数即可。
(2) 常数的次数规定为0；单项式的系数是单项式中的数字因数，据此求解两个空。
(3) 多项式的次数为多项式中次数最高的项的次数，项数为多项式包含的单项式的总个数（含常数项）；再从中找出次数为2的项（二次项）、不含字母的项（常数项）即可。
【解析】
(1) 根据单项式定义判断：
$x^4 + 3xy - 2xy^4 -5x^3y^3 -1$是多个单项式的和，属于多项式；
2027是单独的数，属于单项式；
$-x$是数字$-1$与字母$x$的积，属于单项式；
因此单项式的个数是2。
(2) 单独的常数的次数为0，因此2027的次数是0；
单项式$-x$的数字因数是$-1$，因此它的系数是$-1$。
(3) 先计算多项式$x^4 + 3xy -2xy^4 -5x^3y^3 -1$中每一项的次数：
$x^4$的次数为4，$3xy$的次数为$1+1=2$，$-2xy^4$的次数为$1+4=5$，$-5x^3y^3$的次数为$3+3=6$，$-1$是常数项次数为0；
可知次数最高的项为$-5x^3y^3$，次数是6，该多项式共包含5个单项式，因此它是六次五项式；
其中次数为2的二次项是$3xy$，不含字母的常数项是$-1$。
【答案】
(1) 2
(2) 0；-1
(3) 六；五；$3xy$；$-1$
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数与次数；多项式的项与次数
【点评】
本题是整式相关的基础概念题，解题核心是准确识记单项式、多项式的各类定义，注意计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，不要混淆多项式的次数和单个单项式的次数。
【难度系数】
0.9
典例2 先化简，再求值：$-\dfrac{1}{6}(3x^3 + 6x^2 + 18) + \dfrac{1}{2}(x^3 - 4x^2 + 4)$，其中 $x = -\dfrac{1}{3}$。
答案
典例2 解 $-\frac{1}{6}(3x^3 + 6x^2 + 18) + \frac{1}{2}(x^3 - 4x^2 + 4)$
$=-\frac{1}{2}x^3 - x^2 - 3 + \frac{1}{2}x^3 - 2x^2 + 2$
$=-3x^2 -1.$
当 $x = -\frac{1}{3}$ 时，原式 $=-3×(-\frac{1}{3})^2 -1 = -\frac{1}{3} -1 = -\frac{4}{3}.$
$=-\frac{1}{2}x^3 - x^2 - 3 + \frac{1}{2}x^3 - 2x^2 + 2$
$=-3x^2 -1.$
当 $x = -\frac{1}{3}$ 时，原式 $=-3×(-\frac{1}{3})^2 -1 = -\frac{1}{3} -1 = -\frac{4}{3}.$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步去括号，需利用乘法分配律将括号外的系数乘到括号内的每一项，同时注意括号前系数的正负，避免符号错误和漏乘；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，把整式化简到最简形式，后续代入计算会更简便；第三步将x的取值代入化简后的式子计算结果，比直接代入原式计算效率更高、错误率更低。
【解析】
解：先对整式进行化简：
$-\dfrac{1}{6}(3x^3 + 6x^2 + 18) + \dfrac{1}{2}(x^3 - 4x^2 + 4)$
根据乘法分配律去括号：
$=-\dfrac{1}{6}×3x^3 -\dfrac{1}{6}×6x^2 -\dfrac{1}{6}×18 + \dfrac{1}{2}× x^3 - \dfrac{1}{2}×4x^2 + \dfrac{1}{2}×4$
$=-\dfrac{1}{2}x^3 - x^2 - 3 + \dfrac{1}{2}x^3 - 2x^2 + 2$
合并同类项：
$=(-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{1}{2}x^3)+(-x^2-2x^2)+(-3+2)$
$=-3x^2 -1$
再将$x = -\dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=-3×(-\dfrac{1}{3})^2 -1$
$=-3×\dfrac{1}{9} -1$
$=-\dfrac{1}{3} -1$
$=-\dfrac{4}{3}$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，核心考查整式加减的运算能力，解题时要注意去括号时的符号变化，运用乘法分配律时要乘遍括号内的每一项，避免漏乘出错。先化简再求值的思路能大幅降低计算量，是解决此类问题的通用方法。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步去括号，需利用乘法分配律将括号外的系数乘到括号内的每一项，同时注意括号前系数的正负，避免符号错误和漏乘；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，把整式化简到最简形式，后续代入计算会更简便；第三步将x的取值代入化简后的式子计算结果，比直接代入原式计算效率更高、错误率更低。
【解析】
解：先对整式进行化简：
$-\dfrac{1}{6}(3x^3 + 6x^2 + 18) + \dfrac{1}{2}(x^3 - 4x^2 + 4)$
根据乘法分配律去括号：
$=-\dfrac{1}{6}×3x^3 -\dfrac{1}{6}×6x^2 -\dfrac{1}{6}×18 + \dfrac{1}{2}× x^3 - \dfrac{1}{2}×4x^2 + \dfrac{1}{2}×4$
$=-\dfrac{1}{2}x^3 - x^2 - 3 + \dfrac{1}{2}x^3 - 2x^2 + 2$
合并同类项：
$=(-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{1}{2}x^3)+(-x^2-2x^2)+(-3+2)$
$=-3x^2 -1$
再将$x = -\dfrac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=-3×(-\dfrac{1}{3})^2 -1$
$=-3×\dfrac{1}{9} -1$
$=-\dfrac{1}{3} -1$
$=-\dfrac{4}{3}$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，核心考查整式加减的运算能力，解题时要注意去括号时的符号变化，运用乘法分配律时要乘遍括号内的每一项，避免漏乘出错。先化简再求值的思路能大幅降低计算量，是解决此类问题的通用方法。
【难度系数】
0.8
