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4.已知$P=a^3 - 2ab + b^3$，$Q=a^3 - 3ab + b^3$，则当$a=-5$，$b=\frac{2}{5}$时，$P$，$Q$的大小关系为（
A.$P$与$Q$相等
B.$P$大于$Q$
C.$P$大于或等于$Q$
D.$P$小于$Q$
D
）。A.$P$与$Q$相等
B.$P$大于$Q$
C.$P$大于或等于$Q$
D.$P$小于$Q$
答案
4. D 解析 $P-Q=a^3 - 2ab + b^3-(a^3 - 3ab + b^3)=a^3 - 2ab + b^3 - a^3 + 3ab - b^3=ab$。
当 $a=-5,b=\frac{2}{5}$ 时，$P-Q=-5×\frac{2}{5}=-2$，即 $P-Q＜0$，故 $P＜Q$。故选 D。
当 $a=-5,b=\frac{2}{5}$ 时，$P-Q=-5×\frac{2}{5}=-2$，即 $P-Q＜0$，故 $P＜Q$。故选 D。
解析
【分析】
比较两个代数式大小的常用方法是作差法：先计算两个式子的差，再根据差的正负判断大小关系，若差＞0则被减数大，差=0则两式相等，差＜0则减数大。本题先对P-Q进行整式加减化简，再代入a、b的数值计算差的结果，最后根据结果正负判断P、Q的大小即可。
【解析】
首先计算P与Q的差：
$\begin{aligned}P-Q&=(a^3 - 2ab + b^3)-(a^3 - 3ab + b^3)\\&=a^3 - 2ab + b^3 - a^3 + 3ab - b^3\\&=ab\end{aligned}$
将$a=-5$，$b=\frac{2}{5}$代入化简结果得：
$ab=-5×\frac{2}{5}=-2＜0$
即$P-Q＜0$，因此$P＜Q$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
作差比较法；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题是整式大小比较的基础题型，作差后先化简再代入求值的思路，可大幅减少计算量，降低出错概率，解题时需注意去括号时的符号变化规则，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8
比较两个代数式大小的常用方法是作差法：先计算两个式子的差，再根据差的正负判断大小关系，若差＞0则被减数大，差=0则两式相等，差＜0则减数大。本题先对P-Q进行整式加减化简，再代入a、b的数值计算差的结果，最后根据结果正负判断P、Q的大小即可。
【解析】
首先计算P与Q的差：
$\begin{aligned}P-Q&=(a^3 - 2ab + b^3)-(a^3 - 3ab + b^3)\\&=a^3 - 2ab + b^3 - a^3 + 3ab - b^3\\&=ab\end{aligned}$
将$a=-5$，$b=\frac{2}{5}$代入化简结果得：
$ab=-5×\frac{2}{5}=-2＜0$
即$P-Q＜0$，因此$P＜Q$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
作差比较法；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题是整式大小比较的基础题型，作差后先化简再代入求值的思路，可大幅减少计算量，降低出错概率，解题时需注意去括号时的符号变化规则，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8
5. 小明做完一道填空题后，不小心把墨水洒在作业本中的题目上了.
$2(x^2 - \frac{1}{2}x + 1) + \boldsymbol{■} = 2x^2 + x.$
(1)如果小明的计算结果正确，请求出被墨水污染的代数式；
(2)若$x=-2$，求被墨水盖住的代数式的值.
$2(x^2 - \frac{1}{2}x + 1) + \boldsymbol{■} = 2x^2 + x.$
(1)如果小明的计算结果正确，请求出被墨水污染的代数式；
(2)若$x=-2$，求被墨水盖住的代数式的值.
答案
解 (1)被墨水污染的代数式为 $2x^2 + x - 2(x^2 - \frac{1}{2}x + 1) = 2x^2 + x - 2x^2 + x - 2 = 2x - 2$。
(2)当 $x=-2$ 时，$2x - 2 = 2×(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$。
(2)当 $x=-2$ 时，$2x - 2 = 2×(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$。
解析
【分析】
(1)要求被墨水污染的代数式，可将其看作未知加数，根据加法运算中“一个加数=和-另一个加数”的关系，用等号右侧的多项式减去左侧已知的多项式，再按照整式加减的运算规则，先去括号、再合并同类项即可求解；
(2)将$x=-2$直接代入第(1)问求出的代数式中，按照有理数的运算规则计算即可得到对应的值。
【解析】
(1)设被墨水污染的代数式为$A$，根据题意可得：
$\begin{aligned}A&=2x^2 + x - 2(x^2 - \frac{1}{2}x + 1)\\&=2x^2 + x - 2x^2 + x - 2\\&=2x - 2\end{aligned}$
(2)将$x=-2$代入$2x-2$中，得：
$\begin{aligned}2x - 2&=2×(-2) - 2\\&=-4 - 2\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
(1)$2x-2$；(2)$-6$
【知识点】
整式的加减；代数式求值；去括号法则
【点评】
本题是整式加减的基础应用类题目，解题的核心是利用加减法的互逆关系列出算式，计算时要注意去括号时的符号变化，代入求值时需严格遵循有理数运算规则，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
(1)要求被墨水污染的代数式，可将其看作未知加数，根据加法运算中“一个加数=和-另一个加数”的关系，用等号右侧的多项式减去左侧已知的多项式，再按照整式加减的运算规则，先去括号、再合并同类项即可求解；
(2)将$x=-2$直接代入第(1)问求出的代数式中，按照有理数的运算规则计算即可得到对应的值。
【解析】
(1)设被墨水污染的代数式为$A$，根据题意可得：
$\begin{aligned}A&=2x^2 + x - 2(x^2 - \frac{1}{2}x + 1)\\&=2x^2 + x - 2x^2 + x - 2\\&=2x - 2\end{aligned}$
(2)将$x=-2$代入$2x-2$中，得：
$\begin{aligned}2x - 2&=2×(-2) - 2\\&=-4 - 2\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
(1)$2x-2$；(2)$-6$
【知识点】
整式的加减；代数式求值；去括号法则
【点评】
本题是整式加减的基础应用类题目，解题的核心是利用加减法的互逆关系列出算式，计算时要注意去括号时的符号变化，代入求值时需严格遵循有理数运算规则，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
6.已知$M,N$为整式，且$M=x^2+kx-1$，$N=3x-2$.
(1)若$M+N$的计算结果中不含$x$的一次项，求$k$的值.
(2)小明说：“当$k=12$时，$x$取任何值，$M-4N$的值总是正数.”你认为他的说法正确吗？请说明理由.
(1)若$M+N$的计算结果中不含$x$的一次项，求$k$的值.
(2)小明说：“当$k=12$时，$x$取任何值，$M-4N$的值总是正数.”你认为他的说法正确吗？请说明理由.
答案
解 (1) $M+N=x^2+kx-1+3x-2=x^2+(k+3)x-3$。
因为 $M+N$ 的计算结果中不含 $x$ 的一次项，所以 $k+3=0$。所以 $k=-3$。
(2)正确。理由如下：
当 $k=12$ 时，$M-4N=x^2+12x-1-4(3x-2)=x^2+12x-1-12x+8=x^2+7$，
因为 $x^2$ 大于或等于 0，所以 $x^2+7$ 大于 0，即 $M-4N$ 的值总是正数。
因为 $M+N$ 的计算结果中不含 $x$ 的一次项，所以 $k+3=0$。所以 $k=-3$。
(2)正确。理由如下：
当 $k=12$ 时，$M-4N=x^2+12x-1-4(3x-2)=x^2+12x-1-12x+8=x^2+7$，
因为 $x^2$ 大于或等于 0，所以 $x^2+7$ 大于 0，即 $M-4N$ 的值总是正数。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要遵循整式加减的运算规则，先将M、N的表达式代入M+N，再合并同类项得到最简形式；题目要求结果不含x的一次项，即x的一次项的系数为0，据此列方程即可求出k的值。
(2) 解决第二问先将k=12代入M的表达式，再将M、N代入M-4N，按照去括号、合并同类项的步骤化简，最后结合平方数的非负性判断结果的正负，即可验证小明的说法是否正确。
【解析】
(1) 计算$M+N$：
$M+N=(x^2+kx-1)+(3x-2)=x^2+kx-1+3x-2=x^2+(k+3)x-3$
∵$M+N$的计算结果中不含x的一次项，
∴x的一次项系数为0，即$k+3=0$
解得$k=-3$
(2) 小明的说法正确，理由如下：
当$k=12$时，计算$M-4N$：
$M-4N=(x^2+12x-1)-4(3x-2)$
去括号得：$x^2+12x-1-12x+8$
合并同类项得：$x^2+7$
∵任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$
∴$x^2+7≥7＞0$，即无论x取任何值，$M-4N$的值总是正数，故小明的说法正确。
【答案】
(1) $k=-3$；(2) 小明的说法正确，理由见解析。
【知识点】
整式的加减；合并同类项；平方的非负性
【点评】
本题是整式加减的常见应用题型，解题核心是掌握整式加减的运算步骤，以及“多项式不含某一项则该项系数为0”的结论，计算时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问首先要遵循整式加减的运算规则，先将M、N的表达式代入M+N，再合并同类项得到最简形式；题目要求结果不含x的一次项，即x的一次项的系数为0，据此列方程即可求出k的值。
(2) 解决第二问先将k=12代入M的表达式，再将M、N代入M-4N，按照去括号、合并同类项的步骤化简，最后结合平方数的非负性判断结果的正负，即可验证小明的说法是否正确。
【解析】
(1) 计算$M+N$：
$M+N=(x^2+kx-1)+(3x-2)=x^2+kx-1+3x-2=x^2+(k+3)x-3$
∵$M+N$的计算结果中不含x的一次项，
∴x的一次项系数为0，即$k+3=0$
解得$k=-3$
(2) 小明的说法正确，理由如下：
当$k=12$时，计算$M-4N$：
$M-4N=(x^2+12x-1)-4(3x-2)$
去括号得：$x^2+12x-1-12x+8$
合并同类项得：$x^2+7$
∵任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$
∴$x^2+7≥7＞0$，即无论x取任何值，$M-4N$的值总是正数，故小明的说法正确。
【答案】
(1) $k=-3$；(2) 小明的说法正确，理由见解析。
【知识点】
整式的加减；合并同类项；平方的非负性
【点评】
本题是整式加减的常见应用题型，解题核心是掌握整式加减的运算步骤，以及“多项式不含某一项则该项系数为0”的结论，计算时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
