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含$30°$角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的
一半
。答案
一半
解析
【分析】
本题考查含30°角的直角三角形的基础性质，解题时可结合性质的推导逻辑思考：我们可以通过构造等边三角形验证结论，将两个全等的含30°角的直角三角形拼接，可得到一个边长等于原直角三角形斜边的等边三角形，原30°角所对的直角边恰好是等边三角形边长的一半，由此即可得出两者的数量关系。
【解析】
我们可以通过符合学段要求的推导验证结论：
设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=60°。
延长BC到点D，使CD=BC，连接AD。
∵AC⊥BD，BC=CD，
∴AC垂直平分BD，可得AB=AD。
又
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，即AB=BD。
∵BD=BC+CD=2BC，
∴AB=2BC，即BC=$\frac{1}{2}$AB。
因此直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查对核心几何性质的记忆，该性质是解决直角三角形边长计算、几何证明的常用基础结论，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.9
本题考查含30°角的直角三角形的基础性质，解题时可结合性质的推导逻辑思考：我们可以通过构造等边三角形验证结论，将两个全等的含30°角的直角三角形拼接，可得到一个边长等于原直角三角形斜边的等边三角形，原30°角所对的直角边恰好是等边三角形边长的一半，由此即可得出两者的数量关系。
【解析】
我们可以通过符合学段要求的推导验证结论：
设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=60°。
延长BC到点D，使CD=BC，连接AD。
∵AC⊥BD，BC=CD，
∴AC垂直平分BD，可得AB=AD。
又
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，即AB=BD。
∵BD=BC+CD=2BC，
∴AB=2BC，即BC=$\frac{1}{2}$AB。
因此直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查对核心几何性质的记忆，该性质是解决直角三角形边长计算、几何证明的常用基础结论，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.9
典例 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ AC$交$BC$于点$D$,求证$BC=3AD$.
答案
$\because ∠ BAC=120°,$
$\therefore ∠ BAD=120° - 90°=30°,$
$\therefore ∠ B=∠ BAD,\therefore AD=BD,$
$\therefore BC=3AD.$
$\therefore ∠ BAD=120° - 90°=30°,$
$\therefore ∠ B=∠ BAD,\therefore AD=BD,$
$\therefore BC=3AD.$
解析
【分析】
解题可按三步推导：①先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，计算出△ABC的底角∠B、∠C的度数；②由AD⊥AC得∠DAC=90°，计算出∠BAD的度数，发现∠BAD与∠B相等，根据“等角对等边”可得AD=BD；③在Rt△ADC中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”得到DC=2AD，最后将BC拆分为BD+DC，代入线段等量关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120°-90°=30°$，
∴ $∠ B=∠ BAD$，
∴ $AD=BD$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=30°$，
∴ $DC=2AD$，
∴ $BC=BD+DC=AD+2AD=3AD$。
【答案】
$BC=3AD$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考查等腰三角形和特殊直角三角形的性质应用，解题核心是通过角度推导找到线段间的等量关系，能有效巩固学生对基础几何定理的理解和运用。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推导：①先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，计算出△ABC的底角∠B、∠C的度数；②由AD⊥AC得∠DAC=90°，计算出∠BAD的度数，发现∠BAD与∠B相等，根据“等角对等边”可得AD=BD；③在Rt△ADC中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”得到DC=2AD，最后将BC拆分为BD+DC，代入线段等量关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120°-90°=30°$，
∴ $∠ B=∠ BAD$，
∴ $AD=BD$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=30°$，
∴ $DC=2AD$，
∴ $BC=BD+DC=AD+2AD=3AD$。
【答案】
$BC=3AD$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考查等腰三角形和特殊直角三角形的性质应用，解题核心是通过角度推导找到线段间的等量关系，能有效巩固学生对基础几何定理的理解和运用。
【难度系数】
0.7
举一反三 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 60°$，AD是BC边上的高，E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F.若$∠ AFB = 90°$，$EF=2$，求BF的长. 
答案
解
∵在△ABC 中,∠C=60°,AD 是BC 边上的高，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−60°=30°.
∵∠AFB=90°,EF=2，
∴AE=2EF=4.
∵点E为AD的中点，
∴DE=AE=4.
∵∠C=60°,∠BFC=90°，
∴∠EBD=30°，
∴BE=2DE=8，
∴BF=BE+EF=8+2=10.
∵在△ABC 中,∠C=60°,AD 是BC 边上的高，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−60°=30°.
∵∠AFB=90°,EF=2，
∴AE=2EF=4.
∵点E为AD的中点，
∴DE=AE=4.
∵∠C=60°,∠BFC=90°，
∴∠EBD=30°，
∴BE=2DE=8，
∴BF=BE+EF=8+2=10.
解析
【分析】
解题时先结合已知的直角和60°角，利用直角三角形两锐角互余求出30°角，再运用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，先在Rt△AEF中求出AE的长度，再结合E是AD中点得到DE的长度，接着在Rt△BED中求出BE的长度，最后将BE和EF相加即可得到BF的长。
【解析】
∵在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−60°=30°。
∵∠AFB=90°，EF=2，
∴AE=2EF=4。
∵点E为AD的中点，
∴DE=AE=4。
∵∠C=60°，∠BFC=90°，
∴∠EBD=30°，
∴BE=2DE=8，
∴BF=BE+EF=8+2=10。
【答案】
10
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余；线段中点的定义
【点评】
本题主要考查含30°角的直角三角形性质的应用，解题关键是结合已知的直角与60°角，推导得出对应直角三角形中的30°角，再结合中点性质逐步求解线段长度，熟练掌握相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的直角和60°角，利用直角三角形两锐角互余求出30°角，再运用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，先在Rt△AEF中求出AE的长度，再结合E是AD中点得到DE的长度，接着在Rt△BED中求出BE的长度，最后将BE和EF相加即可得到BF的长。
【解析】
∵在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−60°=30°。
∵∠AFB=90°，EF=2，
∴AE=2EF=4。
∵点E为AD的中点，
∴DE=AE=4。
∵∠C=60°，∠BFC=90°，
∴∠EBD=30°，
∴BE=2DE=8，
∴BF=BE+EF=8+2=10。
【答案】
10
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余；线段中点的定义
【点评】
本题主要考查含30°角的直角三角形性质的应用，解题关键是结合已知的直角与60°角，推导得出对应直角三角形中的30°角，再结合中点性质逐步求解线段长度，熟练掌握相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
