1.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是斜边$AB$上的高,$∠ ACD=30°$,那么下列结论正确的是().


A.$AD=\frac{1}{2}CD$
B.$AC=\frac{1}{2}AB$
C.$BD=\frac{1}{2}BC$
D.$CD=\frac{1}{2}AB$

1.B

【分析】
解题首先利用直角三角形两个锐角互余的性质，先由CD⊥AB、∠ACD=30°求出∠A的度数，再在Rt△ABC中求出∠B的度数，最后结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
解：
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°。
1. 推导各角度数：
在Rt△ADC中，∠ACD=30°，
∴∠A=90°-∠ACD=60°；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°。
2. 逐一分析选项：
A选项：在Rt△ADC中，30°角∠ACD对的直角边是AD，故$AD=\frac{1}{2}AC$，而非$AD=\frac{1}{2}CD$，A错误；
B选项：在Rt△ABC中，30°角∠B对的直角边是AC，故$AC=\frac{1}{2}AB$，B正确；
C选项：在Rt△CDB中，30°角∠B对的直角边是CD，故$CD=\frac{1}{2}BC$，而非$BD=\frac{1}{2}BC$，C错误；
D选项：由$BC=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$、$CD=\frac{1}{2}BC$可得$CD=\frac{\sqrt{3}}{4}AB≠\frac{1}{2}AB$，D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确找到每个直角三角形中30°角对应的直角边，避免混淆边的对应关系即可正确解题。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$∠ B=30°$，$P$是$BC$边上的动点，则$AP$的长可能是().


A.5
B.6.2
C.7.8
D.8

2.A 解析 根据垂线段最短,可知AP 的长不能小于3.
∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,
∴AB=6，
∴AP 的长不能大于6.
故选A.

【分析】
要确定AP的可能长度，需先求出AP的取值范围：①根据垂线段最短，点A到直线BC的最短距离是垂线段AC的长度，因此AP的最小值等于AC的长；②因为点P在BC边上运动，所以AP的最大值等于AB的长，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB长度后，即可得到AP的取值范围，再对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
根据垂线段最短可知，点A到BC边的最短距离为AC的长度，即$AP≥ AC=3$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB=2AC=2×3=6$。
因为P是BC边上的动点，所以AP的长度最大为AB的长，即$AP≤ 6$。
综上，AP的取值范围是$3≤ AP≤ 6$，四个选项中只有5符合该范围。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是结合动点的运动范围，利用相关几何性质确定线段的取值范围，再结合选项判断结果，主要考查学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

3. 如图，已知AD是△ABC的中线，∠1=2∠2，CE⊥AD于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F。若EF=6，则BC=。

3.12 解析
∵AD 是△ABC 的中线,
∴BD=CD.
∵CE⊥AD,BF⊥AD，
∴∠CED=∠F=90°.
∵在△CDE 和△BDF 中，
$\begin{cases}∠CED=∠BFD,\\∠2=∠BDF,\\CD=BD,\end{cases}$
∴△CDE≌△BDF(AAS)，
∴DE=DF=$\frac{1}{2}$EF=3.
∵∠1=2∠2,∠1+∠2=180°，
∴∠2=60°，
∴∠DCE=30°,
∴CD=2DE=6，
∴BC=2CD=12.

【分析】
解题时首先从已知条件入手，AD是△ABC的中线可得BD=CD，结合CE⊥AD、BF⊥AD得到两个直角相等，再加上对顶角相等，可证明△CDE和△BDF全等，得到DE=DF，进而求出DE的长度；接下来利用邻补角和为180°，结合∠1=2∠2求出∠2的度数，在Rt△CDE中根据含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，最后根据中线的性质得到BC=2CD即可算出结果。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠CED=∠BFD=90°。
在△CDE和△BDF中：
$\begin{cases}∠CED=∠BFD \\∠CDE=∠BDF \\CD=BD\end{cases}$
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴DE=DF，即$DE=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×6=3$。
∵∠1=2∠2，且∠1+∠2=180°，
∴$2∠2+∠2=180°$，解得∠2=60°，
在Rt△CDE中，∠DCE=90°-∠2=30°，
∴CD=2DE=2×3=6，
∴BC=2CD=2×6=12。
【答案】
12
【知识点】
三角形中线的定义；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是先通过全等三角形转化线段的等量关系，再结合角度关系利用特殊直角三角形的性质求解，能有效考查对几何基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, DE 是斜边 AC 的垂直平分线,分别交 AB,AC 于 D,E 两点. 若 BD=2,求 AD 的长.

4.解
∵∠ACB=60°,∠B=90°，
∴∠A=30°.
∵DE 是斜边AC 的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BCD=30°.
∵BD=2,
∴AD=CD=4.

【分析】
解题思路可按以下步骤展开：第一步，先根据直角三角形两锐角互余，结合已知的∠B=90°、∠ACB=60°，先求出∠A的度数；第二步，回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=CD，再根据等腰三角形等边对等角的性质，得到∠ACD=∠A，进而求出∠BCD的度数；第三步，在Rt△BCD中，利用含30°角的直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出CD的长度，也就得到了AD的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠ACB = 60°，
∴ ∠A = 90° - ∠ACB = 30°。
∵ DE是斜边AC的垂直平分线，
∴ AD = CD，
∴ ∠ACD = ∠A = 30°，
∴ ∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = 60° - 30° = 30°。
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，30°角所对的直角边BD=2，
∴ CD = 2BD = 4，
∴ AD = CD = 4。
【答案】
AD的长为4
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 含30°角的直角三角形的性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过垂直平分线的性质实现线段与角的等量转化，将所求AD转化为可直接求解的CD，再结合特殊直角三角形的性质计算，是对基础几何性质应用的常规考察。
【难度系数】
0.7

5. 上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得$∠ NAC=30°$，$∠ NBC=60°$。
(1)求从海岛B到灯塔C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？

5.解 (1)
∵∠NBC=60°,∠NAC=30°，
∴∠ACB=60°−30°=30°，
∴AB=BC.
∵AB=15×2=30(海里)，
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里.
(2)如图,过点C 作CP⊥AN 于点P,故小船在点P 处与灯塔C 的距离最短.

∵∠NBC=60°,∠BPC=90°，
∴∠PCB=90°−60°=30°，
∴PB=$\frac{1}{2}$BC=15(海里)，
15÷15=1(小时)，
∴这条船继续向正北航行,在上午的11 时小船与灯塔C 的距离最短.

【分析】
(1) 首先根据船的航行速度和时间计算AB的长度；再利用三角形外角的性质，计算出∠ACB的度数，发现∠ACB与∠NAC相等，根据等角对等边可得到BC=AB，即可求出B到C的距离。
(2) 根据“垂线段最短”，过C作AN的垂线CP，交点P就是小船与灯塔C距离最短的位置；在Rt△BCP中利用含30°角的直角三角形的性质求出PB的长度，结合船的速度算出航行时间，加上10时即可得到对应时刻。
【解析】
(1) 船从上午8时到10时共航行2小时，由速度为15海里/时可得：
$AB = 15 × 2 = 30$（海里）
∵∠NBC是△ABC的外角，
∴$∠ NBC = ∠ NAC + ∠ ACB$，
已知$∠ NBC=60°$，$∠ NAC=30°$，
∴$∠ ACB = 60° - 30° = 30°$，
∴$∠ ACB = ∠ NAC$，
根据等角对等边得$AB = BC$，
∴$BC = 30$海里。
(2) 根据垂线段最短，过点C作$CP ⊥ AN$于点P，此时小船在P处与灯塔C的距离最短，如图：

在$Rt△ BCP$中，$∠ BPC=90°$，$∠ PBC=60°$，
∴$∠ PCB = 90° - 60° = 30°$，
由含30°角的直角三角形的性质可得：
$PB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 30 = 15$（海里）
船从B航行到P所需时间：$15 ÷ 15 = 1$（小时）
$10时 + 1小时 = 11时$。
【答案】
(1) 从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
(2) 上午11时小船与灯塔C的距离最短。

【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合方位角场景考查几何知识的实际应用，解题核心是准确梳理角的数量关系，灵活运用等腰三角形判定和特殊直角三角形的性质，同时要理解垂线段最短的应用场景，属于基础应用题，能有效锻炼知识迁移能力。
【难度系数】
0.7

6.如图,已知∠O=60°,点P在边OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,求ON的长.

6.解 过点P 作PD⊥OB 于点D，

∵∠ODP=90°,∠O=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$×8=4.
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2，
∴MD=ND=$\frac{1}{2}$MN=1，
∴ON=OD+DN=4+1=5.

【分析】
要求ON的长度，可将ON拆分为OD和DN两段分别计算。首先观察到PM=PN，△PMN是等腰三角形，作等腰三角形底边上的高是常用辅助线思路：过P作PD⊥OB于D，一方面可利用等腰三角形“三线合一”的性质，直接得到DN是MN的一半，求出DN的长度；另一方面构造出Rt△OPD，结合已知∠O=60°可推出∠OPD=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD的长度，最后将两段长度相加即可得到ON的长。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠ODP=90°，∠O=60°，
∴∠OPD=180°-90°-60°=30°，
∴在Rt△OPD中，30°角所对直角边等于斜边的一半，即$OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4$。
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$MD=ND=\frac{1}{2}MN=1$，
∴$ON=OD+DN=4+1=5$。
【答案】
过点P 作PD⊥OB 于点D，

∵∠ODP=90°,∠O=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$×8=4.
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2，
∴MD=ND=$\frac{1}{2}$MN=1，
∴ON=OD+DN=4+1=5.
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是合理作出辅助线，同时结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质求解，这类作高的辅助线方法是几何题中的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7