6. 如图，$△ ABC$为等边三角形，$M$是线段$BC$上的任意一点，$N$是线段$CA$上的任意一点，且$BM=CN$，$BN$与$AM$交于点$Q$.

(1)求证$△ BAN ≌ △ ACM$；
(2)求$∠ BQM$的大小.

6.(1)证明
∵△ABC 为等边三角形，
∴ AB = BC = CA, ∠BAC =∠BCA=60°.
∵BM=CN,
∴CM=AN.
∵在△BAN 和△ACM 中，
$\begin{cases}BA=AC,\\∠BAN=∠ACM,\\AN=CM,\end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)解
∵由(1)知∠CAM=∠ABN,
∴∠BQM = ∠ABN + ∠BAQ =∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.

【分析】
(1) 要证明△BAN≌△ACM，首先结合等边三角形的性质可得AB=AC、∠BAN=∠ACM=60°，再结合已知BM=CN，可推导出AN=CM，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求∠BQM的度数时，先观察角的位置，∠BQM是△ABQ的外角，根据外角性质可知它等于不相邻的两个内角和，再结合(1)的全等结论得到对应角相等，通过等量代换即可将∠BQM转化为等边三角形的内角，直接得到度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠BCA=60°，
∵BM=CN，
∴BC-BM=AC-CN，即CM=AN，
在△BAN和△ACM中：
$\begin{cases} BA=AC \\ ∠BAN=∠ACM \\ AN=CM \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM（SAS）。
(2) 解：
由(1)的全等结论可得∠CAM=∠ABN，
∵∠BQM是△ABQ的外角，
∴∠BQM = ∠ABN + ∠BAQ，
将∠ABN替换为∠CAM得：
∠BQM = ∠CAM + ∠BAQ = ∠BAC = 60°。
【答案】
(1) △BAN≌△ACM成立；
(2) ∠BQM=60°
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形SAS判定；三角形外角性质
【点评】
本题属于等边三角形与全等三角形结合的基础常考题，解题关键是熟练运用等边三角形的边、角特性构造全等条件，再结合全等的性质和外角的规律完成角度代换，需要注意挖掘图形中隐含的角的和差关系。
【难度系数】
0.75

7.如图,在等边三角形ABC中,点E在边AB上,点D在CB的延长线上,且$ED=EC$,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.

7. 解 AE=DB,理由：
过点 E 作EF//BC 交 AC 于点F.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC.
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠FEC=∠ECD,
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°.
∵ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠EDB=∠CEF.
∵在△EDB 和△CEF 中，
$\begin{cases}∠EBD=∠CFE,\\∠EDB=∠CEF,\\ED=CE,\end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS),
∴DB=EF.
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE,
∴AE=DB.

【分析】
要确定AE与DB的大小关系，通常可通过全等三角形或等量代换证明两条线段相等。首先结合等边三角形的性质，我们可以过点E作EF平行于BC，构造出小等边三角形AEF，将AE转化为EF，接下来只需证明EF与DB相等即可。结合已知ED=EC可推导得到角相等的条件，进而证明△EDB和△CEF全等，得到DB=EF，最后通过等量代换就能得到AE与DB的关系。
【解析】
过点E作EF//BC交AC于点F。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC。
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠FEC=∠ECD，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°。
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠CEF。
∵在△EDB和△CEF中，
$\begin{cases}∠EBD=∠CFE,\\∠EDB=∠CEF,\\ED=CE,\end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS)，
∴DB=EF。
∵△AEF是等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=DB。
【答案】
AE=DB
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形性质应用的典型题型，核心解题思路是通过作平行线构造等边三角形和全等三角形，将待证相等的两条线段通过中间量EF建立关联，解题时要熟练掌握等边三角形、全等三角形的性质，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7