1.如图，一张等边三角形形状的纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是().


A.$180°$
B.$220°$
C.$240°$
D.$300°$

1.C

【分析】
解题时先从已知条件入手：原图形是等边三角形，其所有内角均为60°；剪去一个角后得到四边形，而四边形内角和固定为360°。要求∠α+∠β的度数，只需用四边形内角和减去四边形中保留的原等边三角形的两个内角的度数即可。
【解析】
解：
∵原图形是等边三角形
∴等边三角形的每个内角都为60°，即剪去一角后得到的四边形中，下方两个内角的度数均为60°
又
∵四边形的内角和为360°
∴∠α + ∠β + 60° + 60° = 360°
计算得：∠α + ∠β = 360° - 120° = 240°
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是抓住图形变化中不变的内角度数，结合已学的多边形内角和性质即可快速求解，解题思路灵活，也可借助三角形外角的性质计算结果。
【难度系数】
0.8

2. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，下列结论：
①若$AB=BC$，则$△ ABC$是等边三角形；
②若$∠ A=60°$，则$△ ABC$是等边三角形；
③若$∠ B=60°$，则$△ ABC$是等边三角形.
其中正确的有().

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

2.D

【分析】
解题第一步先明确题干已知条件：△ABC中AB=AC，即△ABC是等腰三角形，要判断三个结论是否正确，需结合等边三角形的判定定理逐一推导验证：
1. 用“三边相等的三角形是等边三角形”验证结论①；
2. 用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”验证结论②和③，推导过程中会用到等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为180°的定理。
【解析】
已知△ABC中AB=AC，因此△ABC为等腰三角形，逐个分析结论：
①若AB=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，故①正确；
②若∠A=60°，根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可直接判定△ABC是等边三角形，故②正确；
③若∠B=60°，由等腰三角形两底角相等的性质得∠B=∠C=60°，再根据三角形内角和为180°，计算得∠A=180°-60°-60°=60°，三个内角均为60°，因此△ABC是等边三角形，故③正确。
综上，3个结论都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查等边三角形的判定规则，只要熟练掌握等腰和等边三角形的相关性质、判定定理，就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE=2，则DF=。

3.2

【分析】
解题时首先结合已知条件分析：已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，根据等边三角形“三线合一”的性质，可推出AD是∠BAC的角平分线；再观察到DE⊥AB、DF⊥AC，二者是点D到∠BAC两边的垂线段，结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可直接得到DE与DF的等量关系，代入DE的数值就能求出DF的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线
∴AD平分∠BAC（等边三角形三线合一）
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，即DE、DF分别是点D到∠BAC两边的距离
∴DF=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵DE=2
∴DF=2
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等边三角形三线合一的性质和角平分线的性质，熟练掌握相关几何性质就能快速解题，不需要复杂的推导。
【难度系数】
0.9

4. 如图，六边形ABCDEF的六个角都是$120°$，AB=1 cm，BC=3 cm，CD=3 cm，DE=2 cm，则这个六边形的周长是 cm.

4.15 解析 如图，分别作直线AB，CD，EF，使它们分别交于点G,H,P.
∵六边形 ABCDEF 的六个角都是120°,
∴它的每一个外角都是60°,
∴△APF,△BGC,△EDH,△PGH都是等边三角形，
∴GB = GC = BC = 3 cm, EH = DH=DE=2 cm,
∴GH=3+3+2=8(cm),
∴FA = PA = PF = 8 - 3 - 1 =4(cm),
∴EF=8-4-2=2(cm),
∴六边形 ABCDEF 的周长为 1+4+2+2+3+3=15(cm).

【分析】
解题时首先观察到六边形每个内角均为120°，可推出其每个外角为60°，由此想到通过延长六边形的三组对边构造等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质，先求出大等边三角形的边长，再逐步推算出六边形未知边AF、EF的长度，最后将所有边长相加即可得到六边形的周长。
【解析】
如图，分别作直线AB，CD，EF，使它们分别交于点G,H,P.
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴它的每一个外角的度数为$180°-120°=60°$，
∴$△ APF$、$△ BGC$、$△ EDH$、$△ PGH$均为等边三角形，
∴$GB=GC=BC=3\ \mathrm{cm}$，$EH=DH=DE=2\ \mathrm{cm}$，
∴$GH=GC+CD+DH=3+3+2=8(\mathrm{cm})$，
∵$△ PGH$是等边三角形，
∴$PG=GH=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PA=PG-AB-BG=8-1-3=4(\mathrm{cm})$，
∵$△ APF$是等边三角形，
∴$AF=PA=PF=4\ \mathrm{cm}$，
又
∵$PH=GH=8\ \mathrm{cm}$，即$PF+EF+EH=8\ \mathrm{cm}$，
∴$EF=8-PF-EH=8-4-2=2(\mathrm{cm})$，
∴六边形ABCDEF的周长为$AB+BC+CD+DE+EF+AF=1+3+3+2+2+4=15(\mathrm{cm})$。
【答案】
15
【知识点】
等边三角形的性质，多边形内角与外角，周长计算
【点评】
本题是多边形边长计算的典型题型，解题核心是根据120°内角的特征构造等边三角形，将未知边长的求解转化为等边三角形边长的运算，巧妙运用转化思想降低解题难度。
【难度系数】
0.6

5.如图,在$△ ECB$中,$∠ CEB=∠ B$,延长BE至点A,过点A作$AD// CE$,$∠ A=60°$,连接CD.求证:$△ ECB$是等边三角形.

5. 证明
∵ AD // CE,
∴ ∠A =∠CEB=60°.
∵∠CEB=∠B,
∴CE=CB,
∴△CEB 是等腰三角形.
又∠CEB=60°,
∴△CEB 是等边三角形.

【分析】
要证明△ECB是等边三角形，可结合等边三角形的判定定理梳理思路：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。首先利用平行线的性质，由AD//CE推出同位角∠A=∠CEB，得到∠CEB的度数；再结合已知∠CEB=∠B，先判定△ECB是等腰三角形；最后结合∠CEB=60°的条件，即可证明△ECB是等边三角形。
【解析】
证明：
∵ AD // CE，
∴ ∠A =∠CEB=60°，
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△CEB 是等腰三角形，
又∠CEB=60°，
∴△ECB 是等边三角形。
【答案】
证明：
∵ AD // CE，
∴ ∠A =∠CEB=60°，
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△CEB 是等腰三角形，
又∠CEB=60°，
∴△ECB 是等边三角形。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先通过平行线的性质得到60°的内角，再结合等腰、等边三角形的判定定理逐步推导，熟练掌握相关几何定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8