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8. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有一道题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺。若设竿长为x尺，则可列方程为
（）
A.$x+5-\frac{1}{2}x=5$
B.$x-\frac{1}{2}(x+5)=1$
C.$x-\frac{1}{2}x+5=5$
D.$x-\frac{1}{2}(x+5)=5$
（）
A.$x+5-\frac{1}{2}x=5$
B.$x-\frac{1}{2}(x+5)=1$
C.$x-\frac{1}{2}x+5=5$
D.$x-\frac{1}{2}(x+5)=5$
答案
D
解析
设竿长为x尺，根据绳索比竿长5尺，可得绳索总长为$(x+5)$尺，绳索对折后的长度为$\frac{1}{2}(x+5)$尺。再根据“绳索对折后量竿，比竿短5尺”，得到等量关系：竿长 - 对折后绳索的长度 = 5，据此列方程得：$x-\frac{1}{2}(x+5)=5$。
9. 如图3，将两块三角板的直角$∠ AOB$与$∠ COD$的顶点$O$重合在一起，绕点$O$转动三角板$AOB$，使两块三角板仍有部分重叠，且$∠ AOD=3∠ BOD$，则$∠ AOC$的度数为（）
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
B
解析
已知∠AOB=90°，∠COD=90°，由角的和差关系可得∠AOD = ∠AOB + ∠BOD。结合题设条件∠AOD=3∠BOD，代入得3∠BOD = 90° + ∠BOD，解得∠BOD=45°。
又因为∠COD=90°，即∠COB + ∠BOD=90°，可得∠COB=90°-45°=45°。
因此∠AOC=∠AOB - ∠COB=90°-45°=45°。
又因为∠COD=90°，即∠COB + ∠BOD=90°，可得∠COB=90°-45°=45°。
因此∠AOC=∠AOB - ∠COB=90°-45°=45°。
10. 规定:对于任意有理数$a$与$b$,满足$a★b=\begin{cases}4a-b, & (a≥ b) \\ a-4b, & (a＜ b)\end{cases}$,例如$5★2=4×5-2=18$, $\frac{1}{2}★1=\frac{1}{2}-4×1=-\frac{7}{2}$。若有理数$x$满足$x★3=13$,则$x$的值为 $\ (\ )$
A.$25$
B.$4$
C.$4$或$25$
D.$2.5$或$25$
A.$25$
B.$4$
C.$4$或$25$
D.$2.5$或$25$
答案
B
解析
分两种情况讨论求解：
1. 当$x≥3$时，根据新定义运算规则，得$4x - 3 = 13$，解方程得$x=4$，满足$x≥3$，该解有效；
2. 当$x＜3$时，根据新定义运算规则，得$x - 4×3 = 13$，解方程得$x=25$，不满足$x＜3$，该解舍去。
综上，$x$的值为4。
1. 当$x≥3$时，根据新定义运算规则，得$4x - 3 = 13$，解方程得$x=4$，满足$x≥3$，该解有效；
2. 当$x＜3$时，根据新定义运算规则，得$x - 4×3 = 13$，解方程得$x=25$，不满足$x＜3$，该解舍去。
综上，$x$的值为4。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 如图4,王老师从家到学校有4条路,其中沿路线③走最近,其数学依据是。
11. 如图4,王老师从家到学校有4条路,其中沿路线③走最近,其数学依据是。
答案
两点之间，线段最短
12.计算:$7a^2 - 4a^2 =$。
答案
$\boldsymbol{3a^2}$
解析
解：
$7a^2 - 4a^2$
$=(7-4)a^2$
$=3a^2$
最终
$7a^2 - 4a^2$
$=(7-4)a^2$
$=3a^2$
最终
13.体育用品商店的每个篮球的价格为x元,每个足球的价格为y元,学校到体育用品商店购买8个篮球、6个足球共需的费用为元。
答案
$\boldsymbol{8x+6y}$
解析
解：
购买8个篮球的费用为8x元，购买6个足球的费用为6y元，
所以购买8个篮球、6个足球共需的费用为$(8x+6y)$元。
购买8个篮球的费用为8x元，购买6个足球的费用为6y元，
所以购买8个篮球、6个足球共需的费用为$(8x+6y)$元。
14. 如图5,点O在直线AB上,OD是∠BOC的平分线,若∠AOC=140°,则∠BOD的度数为。
答案
$\boldsymbol{20°}$
解析
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOC = 140°，
∴ ∠BOC = 180° - 140° = 40°，
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOC = 140°，
∴ ∠BOC = 180° - 140° = 40°，
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
15. 中国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问：生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（中国古代，1斤等于16两）。
今有干丝12斤，问：原有生丝多少？”则原有生丝为斤。
今有干丝12斤，问：原有生丝多少？”则原有生丝为斤。
答案
解：先统一单位，3斤12两 = $3 + \frac{12}{16} = 3.75$ 斤。
设原有生丝为$x$斤，根据生丝和对应干丝的比值不变，列方程：
$\frac{x}{12} = \frac{30}{30 - 3.75}$
化简得：
$\frac{x}{12} = \frac{30}{26.25}$
解得：
$x = \frac{12 × 30}{26.25} = \frac{96}{7}$
$\frac{96}{7}$
设原有生丝为$x$斤，根据生丝和对应干丝的比值不变，列方程：
$\frac{x}{12} = \frac{30}{30 - 3.75}$
化简得：
$\frac{x}{12} = \frac{30}{26.25}$
解得：
$x = \frac{12 × 30}{26.25} = \frac{96}{7}$
$\frac{96}{7}$
