10.若A,B,C三点在同一直线上,且线段AB=4 cm,BC=2 cm,则A,C两点之间的距离为()。

A.2 cm
B.6 cm
C.2 cm或6 cm
D.无法确定

10.C

【分析】
这道题是三点共线下求两点距离的问题，解题时首先要明确点C的位置存在两种可能，不能只考虑单一情况：第一种是点C落在线段AB上，第二种是点C落在线段AB的延长线上，我们只需要分别对两种情况计算AC的长度，就能得到完整结果。
【解析】
已知A、B、C三点在同一直线上，分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时，AC的长度为AB与BC的差，即：
$\rm AC=AB-BC=4\ cm-2\ cm=2\ cm$
② 当点C在线段AB的延长线上时，AC的长度为AB与BC的和，即：
$\rm AC=AB+BC=4\ cm+2\ cm=6\ cm$
因此A、C两点之间的距离为2 cm或6 cm，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算；两点间的距离；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是遗漏点C的位置情况导致漏解，解决这类三点共线的线段长度问题时，要先梳理所有可能的点的位置关系，再分别计算对应长度。
【难度系数】
0.7

11.已知点M在线段AB上，在①$AB=2AM$，②$BM=\frac{1}{2}AB$，③$AM=BM$，④$AM+BM=AB$四个式子中，能说明M是线段AB的中点的式子有()。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

11.C

【分析】
解题前先明确线段中点的定义：若点在线段上，且把线段分成两条长度相等的线段，那么这个点就是该线段的中点。本题已给出M在线段AB上的前提，只需逐个判断四个式子能否推出AM=BM即可：首先结合线段和的关系（AB=AM+BM）验证前两个式子，均可推导得到AM=BM；第三个式子直接符合中点定义；第四个式子是所有线段上的点都满足的共性，无法证明两段长度相等，因此不满足判定要求。
【解析】
已知点M在线段AB上，线段中点的核心判定条件为AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，逐个分析如下：
1. 对①$AB=2AM$：
因为M在线段AB上，故$AB=AM+BM$，代入$AB=2AM$可得$2AM=AM+BM$，化简得$AM=BM$，可判定M是AB中点，①符合要求。
2. 对②$BM=\frac{1}{2}AB$：
同理代入$AB=AM+BM$，得$AM+BM=2BM$，化简得$AM=BM$，可判定M是AB中点，②符合要求。
3. 对③$AM=BM$：
直接满足线段中点的定义，可判定M是AB中点，③符合要求。
4. 对④$AM+BM=AB$：
任意在线段AB上的点都满足该等式，无法推出$AM=BM$，不能判定M是AB中点，④不符合要求。
综上，符合要求的式子共3个。
【答案】C
【知识点】线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】本题重点考查线段中点的判定，解题时要注意结合题干给出的点的位置前提分析，易错点是误将④当作判定条件，线段上任意一点都满足分线段所得两段和等于线段全长，不能用来判定中点。
【难度系数】0.7

12.已知A，B，C三点在同一条直线上，点M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=50，BC=20，求MN的长。

12.解:因为点M,N分别为AB,BC的中点，
所以BM=$\frac{1}{2}$AB=25,BN=$\frac{1}{2}$BC=10。
如图①,MN=BM+BN=25+10=35；
如图②,MN=BM-BN=25-10=15。
综上,MN的长为35或15。

【分析】
题目仅说明A、B、C三点共线，未明确C点的相对位置，因此需要分两种情况讨论：①点C在线段AB的延长线上（对应图①），②点C在线段AB上（对应图②）。首先根据线段中点的定义，求出BM、BN的长度，再结合两种情况中MN与BM、BN的和差关系，分别计算MN的长度即可。
【解析】
解：因为点M、N分别为线段AB、BC的中点，
所以$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×50=25$，$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×20=10$。
当点C在线段AB的延长线上时（如图①），$MN=BM+BN=25+10=35$；
当点C在线段AB上时（如图②），$MN=BM-BN=25-10=15$。
综上，MN的长为35或15。
【答案】
MN的长为35或15。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型易错题，解题的关键是注意三点共线未明确点的位置关系时，要结合图形分情况讨论，避免因漏算其中一种情况导致答案不完整。
【难度系数】
0.7

13.【数学应用】已知平面上四点A，B，C，D(每三点都不在一条直线上)。
(1)经过这四点最多能确定条直线。
(2)如图，现用这四点表示公园里的四个地方，如果点B，C在公园里湖对岸两处，A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？

13.解:(1)6
(2)从节省材料的角度考虑,应选择题图中路线②;如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择题图中路线①。因为两点之间线段最短,所以路线②比路线①短,可以节省材料;而路线①较长,可以在桥上较长时间观赏湖面风光。(答案合理即可)

【分析】
(1)计算四点最多确定的直线数量时，依据“两点确定一条直线”的基本事实，题目明确每三点不在同一直线上，因此任意两点都能确定一条不重复的直线，逐一枚举所有连线即可得到结果。
(2)节省材料对应路线长度最短，可结合“两点之间线段最短”的性质判断最短路线；想要更长时间观赏风光则需要选择路程更长的路线，对比两条路线的长度即可得出结论。
【解析】
(1)根据“两点确定一条直线”的基本事实，已知四点中任意三点都不在同一条直线上，因此两两连线可得到6条直线，分别是AB、AC、AD、BC、BD、CD。
(2)从节省材料角度考虑，需要选择长度最短的路线：根据“两点之间线段最短”的性质，路线②是直接连接B、C两点的线段，是B到C的最短路径，因此选择路线②；若想较长时间观赏湖面风光，需要选择路程更长的路线，路线①为B→A→D→C，长度大于路线②，且经过湖面区域，因此选择路线①。
【答案】
(1)6
(2)从节省材料的角度考虑，应选择题图中路线②；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择题图中路线①。因为两点之间线段最短，所以路线②比路线①短，可以节省材料；而路线①较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光。
【知识点】
两点确定一条直线；两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活场景考查线段和直线的基本性质，引导学生将所学数学知识应用到实际问题的解决中，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8

14.【综合与实践】如图，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为100 km，A，C间的路程为40 km。现计划在A，B之间建一个车站P，设P，C之间的路程为x km。
(1)用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和。
(2)若路程之和为102 km，则车站应建在何处？
(3)若要使车站到三个村庄的路程总和最小，则车站应建在何处？路程总和的最小值是多少？

14.解:(1)路程之和为 PA+PB+PC=AB+PC=(100+x)km。
(2)因为100+x=102,所以x=2,所以车站应建在C左侧或右侧2 km处。
(3)当x=0时,x+100=100,所以要使车站到三个村庄的路程总和最小,车站应建在C处,且路程总和的最小值为100 km。

【分析】
解题的核心突破口是：车站P建在A、B之间，因此PA+PB的和恒等于A、B之间的路程100km，为定值。
(1)求路程之和时，直接将三个路程相加，利用PA+PB=AB的关系，再代入PC=x即可得到含x的代数式；
(2)将路程和的数值代入第一问得到的代数式，解一元一次方程求出x的值，即可确定车站的位置；
(3)由于路程和的表达式中100是定值，要让总和最小，只需让x取最小值即可，x是线段PC的长度，最小值为0，据此即可求解。
【解析】
(1) 因为P在A、B之间，所以$PA+PB=AB=100\ \mathrm{km}$，又$PC=x\ \mathrm{km}$，
因此车站到三个村庄的路程之和为$PA+PB+PC=100+x$，单位为km。
(2) 令路程之和为102km，代入(1)的代数式得方程：$100+x=102$，
解得$x=2$，即PC的长度为2km，因此车站应建在C左侧或右侧2km处。
(3) 由于路程和为$100+x$，且线段长度非负，即$x\ge0$，因此当$x=0$时，路程和取得最小值，
最小值为$100+0=100\ \mathrm{km}$，此时P与C重合，即车站建在C处。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(100+x)\ \mathrm{km}}$
(2) 车站应建在C左侧或右侧2 km处
(3) 车站应建在C处，路程总和的最小值为$\boldsymbol{100\ \mathrm{km}}$
【知识点】
线段和差计算；一元一次方程应用；代数式最值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题关键是发现PA+PB为定值，大大简化了计算过程，既考查了几何线段的基本性质，也考查了方程和最值的基础分析能力，实用性较强。
【难度系数】
0.8