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8. 如图，$ED ⊥ AB$，$FC ⊥ AB$，垂足分别为点D、C，$AC=BD$，$AE=BF$。
（1）求证：$DE=CF$；
（2）若$CD=DE$，$∠ A=25°$，求$∠ AEC$的度数。
（1）求证：$DE=CF$；
（2）若$CD=DE$，$∠ A=25°$，求$∠ AEC$的度数。
答案
(1) $\because ED ⊥ AB, FC ⊥ AB,\therefore ∠ ADE = ∠ BCF = 90°. \because AC = BD,\therefore AD = BC. \mathrm{在Rt}△ ADE \mathrm{与Rt}△ BCF \mathrm{中},\because \begin{cases} AD = BC, \\ AE = BF, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BCF. \therefore DE = CF$
(2) $\because CD = DE, ∠ CDE = 90°, \therefore ∠ DCE = ∠ DEC = 45°. \because ∠ A = 25°, \therefore ∠ AEC = ∠ DCE - ∠ A = 20°$
(2) $\because CD = DE, ∠ CDE = 90°, \therefore ∠ DCE = ∠ DEC = 45°. \because ∠ A = 25°, \therefore ∠ AEC = ∠ DCE - ∠ A = 20°$
解析
【分析】
（1）要证$DE=CF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现。首先由$ED⊥ AB$、$FC⊥ AB$可得$△ ADE$和$△ BCF$均为直角三角形；已知$AC=BD$，两边同时加公共线段$CD$可推出$AD=BC$，结合已知斜边$AE=BF$，即可用HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等。
（2）求$∠ AEC$的度数，先根据$CD=DE$、$∠ CDE=90°$，可知$△ CDE$是等腰直角三角形，可算出$∠ DCE=45°$；再观察$∠ DCE$是$△ AEC$的外角，根据三角形外角性质，$∠ DCE$等于不相邻的两个内角$∠ A$与$∠ AEC$的和，代入已知角度即可求出$∠ AEC$。
【解析】
(1) 证明：$\because ED ⊥ AB, FC ⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE = ∠ BCF = 90°$。
$\because AC = BD$，$\therefore AC + CD = BD + CD$，即$AD = BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$\begin{cases} AD = BC \\ AE = BF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BCF \, (\mathrm{HL})$，
$\therefore DE = CF$。
(2) 解：$\because CD = DE$，$∠ CDE = 90°$，
$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$∠ DCE = ∠ DEC = 45°$。
$\because ∠ DCE$是$△ AEC$的外角，$\therefore ∠ DCE = ∠ A + ∠ AEC$，
已知$∠ A = 25°$，代入得：
$∠ AEC = ∠ DCE - ∠ A = 45° - 25° = 20°$。
【答案】
(1) $DE=CF$，得证；
(2) $∠ AEC=20°$
【知识点】
直角三角形全等判定，等腰直角三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是几何基础综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的特征及外角定理的应用，解题关键是准确找到全等的判定条件，灵活运用外角性质计算角度，能够锻炼几何基础应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证$DE=CF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现。首先由$ED⊥ AB$、$FC⊥ AB$可得$△ ADE$和$△ BCF$均为直角三角形；已知$AC=BD$，两边同时加公共线段$CD$可推出$AD=BC$，结合已知斜边$AE=BF$，即可用HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等。
（2）求$∠ AEC$的度数，先根据$CD=DE$、$∠ CDE=90°$，可知$△ CDE$是等腰直角三角形，可算出$∠ DCE=45°$；再观察$∠ DCE$是$△ AEC$的外角，根据三角形外角性质，$∠ DCE$等于不相邻的两个内角$∠ A$与$∠ AEC$的和，代入已知角度即可求出$∠ AEC$。
【解析】
(1) 证明：$\because ED ⊥ AB, FC ⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE = ∠ BCF = 90°$。
$\because AC = BD$，$\therefore AC + CD = BD + CD$，即$AD = BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$\begin{cases} AD = BC \\ AE = BF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BCF \, (\mathrm{HL})$，
$\therefore DE = CF$。
(2) 解：$\because CD = DE$，$∠ CDE = 90°$，
$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$∠ DCE = ∠ DEC = 45°$。
$\because ∠ DCE$是$△ AEC$的外角，$\therefore ∠ DCE = ∠ A + ∠ AEC$，
已知$∠ A = 25°$，代入得：
$∠ AEC = ∠ DCE - ∠ A = 45° - 25° = 20°$。
【答案】
(1) $DE=CF$，得证；
(2) $∠ AEC=20°$
【知识点】
直角三角形全等判定，等腰直角三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是几何基础综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的特征及外角定理的应用，解题关键是准确找到全等的判定条件，灵活运用外角性质计算角度，能够锻炼几何基础应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O。如果$AB=AC$，那么图中全等的直角三角形的对数是 【 】
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：CD⊥AB、BE⊥AC，说明图中有4个直角三角形，同时已知AB=AC。我们可以按照从整体到局部的顺序排查全等直角三角形：先判断包含公共角∠A的两个大直角三角形是否全等，再利用这对三角形全等得到的边、角相等的结论，结合公共边、对顶角的性质，逐一判断剩余的直角三角形是否全等即可。
【解析】
1. 证明$\boxed{△ ADC ≌ △ AEB}$：
∵ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴ $∠ ADC = ∠ AEB = 90°$
在$△ ADC$和$△ AEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC = ∠ AEB \\∠ A = ∠ A \\AC = AB\end{cases}$
∴ $△ ADC ≌ △ AEB$（AAS），由此可得$AD=AE$，$∠ C = ∠ B$；
结合$AB=AC$，可推出$AB - AD = AC - AE$，即$BD=CE$。
2. 证明$\boxed{Rt△ AOD ≌ Rt△ AOE}$：
在$Rt△ AOD$和$Rt△ AOE$中：
$\begin{cases}AO = AO \quad (\mathrm{公共边}) \\AD = AE\end{cases}$
∴ $Rt△ AOD ≌ Rt△ AOE$（HL）。
3. 证明$\boxed{△ BOD ≌ △ COE}$：
∵ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴ $∠ BDO = ∠ CEO = 90°$
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO \\∠ BOD = ∠ COE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD = CE\end{cases}$
∴ $△ BOD ≌ △ COE$（AAS）。
综上，全等的直角三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，HL定理，对顶角的性质
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定方法，解题时需要结合已知条件逐步推导，借助已证全等得到的边角相等的结论排查剩余三角形，注意按顺序梳理避免漏数全等三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：CD⊥AB、BE⊥AC，说明图中有4个直角三角形，同时已知AB=AC。我们可以按照从整体到局部的顺序排查全等直角三角形：先判断包含公共角∠A的两个大直角三角形是否全等，再利用这对三角形全等得到的边、角相等的结论，结合公共边、对顶角的性质，逐一判断剩余的直角三角形是否全等即可。
【解析】
1. 证明$\boxed{△ ADC ≌ △ AEB}$：
∵ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴ $∠ ADC = ∠ AEB = 90°$
在$△ ADC$和$△ AEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC = ∠ AEB \\∠ A = ∠ A \\AC = AB\end{cases}$
∴ $△ ADC ≌ △ AEB$（AAS），由此可得$AD=AE$，$∠ C = ∠ B$；
结合$AB=AC$，可推出$AB - AD = AC - AE$，即$BD=CE$。
2. 证明$\boxed{Rt△ AOD ≌ Rt△ AOE}$：
在$Rt△ AOD$和$Rt△ AOE$中：
$\begin{cases}AO = AO \quad (\mathrm{公共边}) \\AD = AE\end{cases}$
∴ $Rt△ AOD ≌ Rt△ AOE$（HL）。
3. 证明$\boxed{△ BOD ≌ △ COE}$：
∵ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴ $∠ BDO = ∠ CEO = 90°$
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO \\∠ BOD = ∠ COE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD = CE\end{cases}$
∴ $△ BOD ≌ △ COE$（AAS）。
综上，全等的直角三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，HL定理，对顶角的性质
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定方法，解题时需要结合已知条件逐步推导，借助已证全等得到的边角相等的结论排查剩余三角形，注意按顺序梳理避免漏数全等三角形。
【难度系数】
0.7
10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，$∠ C = ∠ C' = 90°$，有下列4组条件：①$AC = A'C'$，$∠ A = ∠ A'$；②$AC = A'C'$，$AB = A'B'$；③$AC = A'C'$，$BC = B'C'$；④$AB = A'B'$，$∠ A = ∠ A'$。其中，能判定$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$的条件的组数为 【 】
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】
解题时需逐一验证4组条件是否满足三角形全等的判定要求，注意直角三角形既适用普通三角形的全等判定定理（ASA、SAS、AAS、SSS），也适用专属的“斜边直角边（HL）”判定定理：首先明确两个三角形均为直角三角形，已有公共相等的直角∠C=∠C'，再结合每组给出的边、角条件对应判定即可，最后统计符合条件的组数。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，$∠ C = ∠ C' = 90°$，逐组判断：
1. 条件①：已知$AC = A'C'$，$∠ A = ∠ A'$，结合$∠ C = ∠ C' = 90°$，满足“角边角（ASA）”全等判定，可证两三角形全等，符合要求；
2. 条件②：已知$AC = A'C'$（直角边对应相等），$AB = A'B'$（斜边对应相等），满足直角三角形专属的“斜边直角边（HL）”全等判定，可证两三角形全等，符合要求；
3. 条件③：已知$AC = A'C'$，$∠ C = ∠ C' = 90°$，$BC = B'C'$，满足“边角边（SAS）”全等判定，可证两三角形全等，符合要求；
4. 条件④：已知$∠ A = ∠ A'$，$∠ C = ∠ C' = 90°$，$AB = A'B'$，满足“角角边（AAS）”全等判定，可证两三角形全等，符合要求。
综上，4组条件均能判定两个直角三角形全等。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 直角三角形全等的HL判定
【点评】
本题核心考查直角三角形全等的判定方法，解题时需注意不要忽略直角三角形同样适用普通三角形的全等判定定理，避免漏判符合要求的条件。
【难度系数】
0.8
解题时需逐一验证4组条件是否满足三角形全等的判定要求，注意直角三角形既适用普通三角形的全等判定定理（ASA、SAS、AAS、SSS），也适用专属的“斜边直角边（HL）”判定定理：首先明确两个三角形均为直角三角形，已有公共相等的直角∠C=∠C'，再结合每组给出的边、角条件对应判定即可，最后统计符合条件的组数。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，$∠ C = ∠ C' = 90°$，逐组判断：
1. 条件①：已知$AC = A'C'$，$∠ A = ∠ A'$，结合$∠ C = ∠ C' = 90°$，满足“角边角（ASA）”全等判定，可证两三角形全等，符合要求；
2. 条件②：已知$AC = A'C'$（直角边对应相等），$AB = A'B'$（斜边对应相等），满足直角三角形专属的“斜边直角边（HL）”全等判定，可证两三角形全等，符合要求；
3. 条件③：已知$AC = A'C'$，$∠ C = ∠ C' = 90°$，$BC = B'C'$，满足“边角边（SAS）”全等判定，可证两三角形全等，符合要求；
4. 条件④：已知$∠ A = ∠ A'$，$∠ C = ∠ C' = 90°$，$AB = A'B'$，满足“角角边（AAS）”全等判定，可证两三角形全等，符合要求。
综上，4组条件均能判定两个直角三角形全等。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 直角三角形全等的HL判定
【点评】
本题核心考查直角三角形全等的判定方法，解题时需注意不要忽略直角三角形同样适用普通三角形的全等判定定理，避免漏判符合要求的条件。
【难度系数】
0.8
11. 如图,将两块大小完全相同的等腰直角三角板的直角边分别贴紧∠AOB 的两边,45°角的顶点与∠AOB 的顶点互相重合,另外两条直角边相交于点 P,作射线 OP,则射线 OP 是∠AOB 的平分线,其中的原理利用了全等三角形的性质,那么判定△OMP≌△ONP 的依据是:
HL
.(写出全等依据的简写)答案
11. HL
解析
【分析】
首先观察△OMP和△ONP的特征：三角板的直角边紧贴∠AOB的两边，可得两个三角形都是直角三角形。接下来推导全等条件：两块三角板大小完全相同，因此它们的直角边OM=ON；OP是两个直角三角形的公共斜边，即两组边对应相等。结合直角三角形全等的特殊判定规则，即可确定判定依据。
【解析】
解：由题意得，∠OMP=∠ONP=90°，即△OMP和△ONP均为直角三角形。
∵两块等腰直角三角板大小完全相同，
∴直角边$OM=ON$。
又
∵OP是$Rt△ OMP$和$Rt△ ONP$的公共斜边，即$OP=OP$。
在$Rt△ OMP$和$Rt△ ONP$中：
$\{\begin{array}{l}OM=ON\\ OP=OP\end{array} $
∴$Rt△ OMP≌ Rt△ ONP(\mathrm{HL})$。
【答案】
HL
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定方法，解题关键是结合题意和图形特征，准确找出两个直角三角形对应相等的边，属于基础题型，要熟练掌握直角三角形特有的全等判定规则。
【难度系数】
0.8
首先观察△OMP和△ONP的特征：三角板的直角边紧贴∠AOB的两边，可得两个三角形都是直角三角形。接下来推导全等条件：两块三角板大小完全相同，因此它们的直角边OM=ON；OP是两个直角三角形的公共斜边，即两组边对应相等。结合直角三角形全等的特殊判定规则，即可确定判定依据。
【解析】
解：由题意得，∠OMP=∠ONP=90°，即△OMP和△ONP均为直角三角形。
∵两块等腰直角三角板大小完全相同，
∴直角边$OM=ON$。
又
∵OP是$Rt△ OMP$和$Rt△ ONP$的公共斜边，即$OP=OP$。
在$Rt△ OMP$和$Rt△ ONP$中：
$\{\begin{array}{l}OM=ON\\ OP=OP\end{array} $
∴$Rt△ OMP≌ Rt△ ONP(\mathrm{HL})$。
【答案】
HL
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定方法，解题关键是结合题意和图形特征，准确找出两个直角三角形对应相等的边，属于基础题型，要熟练掌握直角三角形特有的全等判定规则。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=10$，$BC=5$，$PQ=AB$，$P$、$Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动，当$AP=$
5或10
时，$△ ABC$与$△ PQA$全等。答案
12. 5或10
解析
【分析】
首先由已知条件可知△ABC和△PQA都是直角三角形，且斜边AB=PQ，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定两三角形全等。由于题目未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论直角边的对应关系，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△PQA均为直角三角形。
已知PQ=AB，分两种情况讨论：
① 当$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△QPA$时，对应直角边$AP=AC$，
∵$AC=10$，
∴$AP=10$；
② 当$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△PQA$时，对应直角边$AP=BC$，
∵$BC=5$，
∴$AP=5$。
综上，AP的长度为5或10。
【答案】
5或10
【知识点】
HL判定定理，全等三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定方法，解题时要注意当全等三角形的对应关系未明确时，需分类讨论所有可能的对应情况，防止出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
首先由已知条件可知△ABC和△PQA都是直角三角形，且斜边AB=PQ，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定两三角形全等。由于题目未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论直角边的对应关系，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△PQA均为直角三角形。
已知PQ=AB，分两种情况讨论：
① 当$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△QPA$时，对应直角边$AP=AC$，
∵$AC=10$，
∴$AP=10$；
② 当$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△PQA$时，对应直角边$AP=BC$，
∵$BC=5$，
∴$AP=5$。
综上，AP的长度为5或10。
【答案】
5或10
【知识点】
HL判定定理，全等三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定方法，解题时要注意当全等三角形的对应关系未明确时，需分类讨论所有可能的对应情况，防止出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
