2. 如图，$BE=CF$，$AE ⊥ BC$，$DF ⊥ BC$，要根据“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ DCF$，则还需要添加的一个条件是 【 】

A.$AE=DF$
B.$∠ A=∠ D$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AB=DC$

D

【分析】
首先回忆“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，该判定仅适用于直角三角形的全等判定。先梳理题干已知条件：由AE⊥BC、DF⊥BC可得△ABE和△DCF都是直角三角形，且已经给出一组直角边BE=CF。要满足HL的判定要求，已有一组直角边相等，只需补充两个直角三角形的斜边对应相等即可，对应判断选项即可得出答案。
【解析】
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC=∠AEB=90°，即△ABE和△DCF均为直角三角形。
已知直角边BE=CF，若根据“HL”证明两三角形全等，还需斜边对应相等，即AB=DC：
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$\{\begin{array}{l}AB=DC\\ BE=CF\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ DCF$（HL）。
对其他选项分析：A选项AE=DF，用SAS判定全等，不符合HL要求；B选项∠A=∠D用AAS判定，C选项∠B=∠C用ASA判定，均不符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. HL判定定理
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的HL判定的适用条件，解题时要注意题目指定的判定方法，区分普通三角形全等判定和直角三角形特殊判定的差异，牢记HL仅适用于直角三角形，且需满足斜边加一条直角边对应相等的条件。
【难度系数】
0.7

3. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 【 】

A.斜边和一条直角边分别对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
D.两条直角边分别对应相等

B

【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，解题时首先回忆全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）以及直角三角形特有的HL判定定理，明确判定全等必须有至少一组边对应相等，再逐一分析每个选项是否满足判定条件即可。
【解析】
直角三角形全等的判定方法包括普通三角形的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理，还有特有的HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）判定定理，且判定全等必须有边对应相等的条件。
对各选项逐一分析：
A选项：斜边和一条直角边分别对应相等，符合HL判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B选项：两个锐角对应相等，仅能说明两个三角形的三个角都对应相等，没有边对应相等的条件，比如大小不同的两个含30°角的直角三角板，锐角都对应相等但不全等，因此不能判定全等，符合题意；
C选项：一条直角边相等，另一条直角边上的中线对应相等，可先根据HL证明：相等的直角边、相等的中线，以及另一条直角边的一半组成的小直角三角形全等，得到另一条直角边的一半相等，进而推出两条直角边都对应相等，再根据SAS可判定两个大直角三角形全等，不符合题意；
D选项：两条直角边分别对应相等，且夹角都是直角（相等），符合SAS判定定理，可判定两个直角三角形全等，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形判定定理
【点评】
本题考查全等三角形判定的应用，解题关键是牢记判定全等必须包含边相等的条件，仅角相等无法判定全等，要熟练掌握各类判定定理的适用条件，逐一排查选项即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$AB ⊥ EF$，$CD ⊥ EF$，垂足分别为点B 和点D，$BE = DF$. 若要用“HL”判定 $\mathrm{Rt}△ ABF ≌ \mathrm{Rt}△ CDE$，则需要添加的条件为：.
（第4题）

4. AF=CE

【分析】
要使用“HL”判定两个直角三角形全等，首先需明确HL的判定条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。第一步先由垂直定义确定△ABF和△CDE都是直角三角形；第二步根据已知BE=DF，利用线段和的关系可推出BF=DE，即已经得到一组直角边对应相等；第三步结合HL的要求，只需再补充两个三角形的斜边对应相等，即可满足判定条件，两个三角形的斜边分别为AF和CE，因此需添加AF=CE。
【解析】
解：
∵$AB ⊥ EF$，$CD ⊥ EF$，
∴$∠ ABF=∠ CDE=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$均为直角三角形。
∵$BE=DF$，
∴$BE+BD=DF+BD$，即$BF=DE$。
根据“HL”的判定规则，需要斜边对应相等，因此添加条件$AF=CE$：
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，
$\{\begin{array}{l}AF=CE\\BF=DE\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ ABF ≌ \mathrm{Rt}△ CDE$（HL）。
【答案】
$AF=CE$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；线段和差性质；垂直的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定定理的应用，解题时需先梳理已知条件推导出已有的相等边，再结合判定定理的要求补充缺失的条件，要注意HL仅适用于直角三角形的全等判定，不可直接用于一般三角形。
【难度系数】
0.7

5. 如图，已知$AD ⊥ BD$，$BC ⊥ AC$，$AD=BC$，则$△ CAB ≌ △ DBA$的理由是：。
（写出全等依据的简写）

5. HL

【分析】
要确定△CAB≌△DBA的判定依据，首先根据已知的垂直条件判断三角形类型：由AD⊥BD、BC⊥AC可知△CAB和△DBA都是直角三角形。接下来梳理全等条件：两个三角形共享斜边AB，即AB=BA，同时题目给出直角边AD=BC，刚好符合直角三角形特有的全等判定规则，即可推出对应的全等依据。
【解析】
解：
∵$AD ⊥ BD$，$BC ⊥ AC$，
∴$∠ C = ∠ D = 90°$，即$△ CAB$和$△ DBA$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ CAB$和$\mathrm{Rt}△ DBA$中：
$\begin{cases}AB = BA \quad (\mathrm{公共边相等}) \\BC = AD \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ CAB ≌ \mathrm{Rt}△ DBA$（HL）
【答案】
HL
【知识点】
HL判定定理，垂直的定义
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础题，解题核心是先明确三角形为直角三角形，再结合边的对应关系匹配判定规则，要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8

6. 如图，点E、C在BF上，BE=CF，∠A=∠D=90°，添加一个条件，可使Rt△ABC ≌ Rt△DFE.

6. AC=DE（答案不唯一）

【分析】
首先梳理已知条件：一是点E、C在BF上且BE=CF，可通过线段和差关系推导出两个直角三角形的斜边BC=EF；二是∠A=∠D=90°，说明△ABC和△DFE均为直角三角形。要证明两个直角三角形全等，可结合HL、AAS、ASA、SAS等全等判定定理，补充对应相等的边或角即可，例如补充直角边AC=DE，就能通过HL定理快速证明两个三角形全等。
【解析】
解：$\because BE=CF$
$\therefore BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF$
又$\because ∠ A=∠ D=90°$
$\therefore △ ABC$和$△ DFE$都是直角三角形
若添加条件$AC=DE$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DFE$中：
$\begin{cases} BC=EF \\ AC=DE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DFE \ (\mathrm{HL})$
注：也可添加$AB=DF$、$∠ B=∠ DEF$、$∠ ACB=∠ F$等条件，答案不唯一。
【答案】
$AC=DE$（答案不唯一）
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题属于条件开放类习题，需要先从已知条件中挖掘出隐含的等边$BC=EF$，再结合直角三角形全等的判定定理补充合适的条件，解题时可灵活选择不同的全等判定方法，主要考查对全等判定定理的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

7. 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，直线$l$经过顶点$C$，过$A$、$B$两点分别作$l$的垂线$AE$、$BF$，垂足分别点$E$、$F$，$AE=CF$. 求证：$∠ ACB=90°$.

在Rt△ACE和Rt△CBF中,$\because \begin{cases} AC=CB, \\ AE=CF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF. \therefore ∠ EAC = ∠ FCB. \because ∠ EAC + ∠ ACE = 90°,\therefore ∠ ACE + ∠ FCB = 90°. \therefore ∠ ACB = 180° - (∠ ACE + ∠ FCB) = 90°$

【分析】要证明∠ACB=90°，结合点C在直线l上，可知平角∠ECF=180°，因此只需证明∠ACE+∠FCB=90°即可。已知AE⊥直线l，可得Rt△ACE中∠EAC+∠ACE=90°，因此只需证明∠EAC=∠FCB，即可通过角的代换得到∠ACE+∠FCB=90°。观察∠EAC和∠FCB分别在Rt△ACE和Rt△CBF中，题目已知AC=BC、AE=CF，且两个三角形均为直角三角形，可通过HL判定两三角形全等，得到对应角相等，进而推导得出结论。
【解析】
证明：
∵AE⊥直线l，BF⊥直线l，
∴∠E=∠F=90°，即△ACE与△CBF均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ CBF$中，
$\begin{cases} AC=CB \\ AE=CF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$（HL），
$\therefore ∠ EAC = ∠ FCB$。
∵在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ EAC + ∠ ACE = 90°$，
$\therefore ∠ ACE + ∠ FCB = 90°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - (∠ ACE + ∠ FCB) = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$\boldsymbol{∠ ACB=90°}$，得证。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过HL证明直角三角形全等，再利用角的等量代换推导角度关系，能够有效考查学生对全等判定、全等性质的掌握程度和基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7