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14. 如图，在$△ ABC$和$△ DEF$中，$B$、$E$、$C$、$F$在同一条直线上，下面有四个论断，请你选择其中3个作为条件，余下的1个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.
① $AB=DE$； ② $AC=DF$； ③ $∠ ABC=∠ DEF$； ④ $BE=CF$.
① $AB=DE$； ② $AC=DF$； ③ $∠ ABC=∠ DEF$； ④ $BE=CF$.
答案
真命题为:已知在$△ ABC$和$∠ DEF$中,B、E、C、F在同一条直线上,并且$AB=DE$,$AC=DF$,$BE=FC$,求证:$∠ ABC=∠ DEF$.证明提示:可证明$△ ABC ≌ △ DEF$
解析
【分析】
我们可选择①②④作为条件，③作为结论构造真命题，思考步骤如下：首先已知BE=CF，B、E、C、F共线，那么BE加公共部分EC就等于CF加EC，可得BC=EF；此时△ABC和△DEF中已有AB=DE、AC=DF、BC=EF三组边对应相等，满足边边边（SSS）全等判定条件，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应角相等，即可推出∠ABC=∠DEF。
【解析】
已知：在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。
求证：∠ABC=∠DEF。
证明：
∵ BE=CF，
∴ BE+EC=CF+EC（等式的性质），即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DE\\AC=DF\\BC=EF\end{array} $
∴ △ABC≌△DEF（SSS），
∴ ∠ABC=∠DEF（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
真命题为：已知在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，并且$AB=DE$，$AC=DF$，$BE=FC$，求证：$∠ ABC=∠ DEF$。证明：由$BE=FC$推出$BC=EF$，再根据SSS证明$△ ABC ≌ △ DEF$，即可得到$∠ ABC=∠ DEF$。
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是开放性试题，需要自主选择条件和结论构造真命题，重点考查全等三角形判定定理和性质的灵活运用，解题时要注意公共线段的转化，将已知线段相等转化为三角形对应边相等是解题的关键。
【难度系数】
0.7
我们可选择①②④作为条件，③作为结论构造真命题，思考步骤如下：首先已知BE=CF，B、E、C、F共线，那么BE加公共部分EC就等于CF加EC，可得BC=EF；此时△ABC和△DEF中已有AB=DE、AC=DF、BC=EF三组边对应相等，满足边边边（SSS）全等判定条件，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应角相等，即可推出∠ABC=∠DEF。
【解析】
已知：在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。
求证：∠ABC=∠DEF。
证明：
∵ BE=CF，
∴ BE+EC=CF+EC（等式的性质），即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DE\\AC=DF\\BC=EF\end{array} $
∴ △ABC≌△DEF（SSS），
∴ ∠ABC=∠DEF（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
真命题为：已知在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，并且$AB=DE$，$AC=DF$，$BE=FC$，求证：$∠ ABC=∠ DEF$。证明：由$BE=FC$推出$BC=EF$，再根据SSS证明$△ ABC ≌ △ DEF$，即可得到$∠ ABC=∠ DEF$。
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是开放性试题，需要自主选择条件和结论构造真命题，重点考查全等三角形判定定理和性质的灵活运用，解题时要注意公共线段的转化，将已知线段相等转化为三角形对应边相等是解题的关键。
【难度系数】
0.7
15. 如图,已知AC、BD相交于点O,且AB=DC,AC=DB,那么∠A=∠D吗?说明理由. 
答案
$∠ A = ∠ D$.提示:连结$BC$,可证明$△ ABC ≌ △ DCB$
解析
【分析】
要证明∠A=∠D，通常可通过证明两角所在的三角形全等得到。题目已知AB=DC、AC=DB，此时只需构造出包含这两组边、且有公共边的两个三角形即可：连接公共边BC，就能得到△ABC和△DCB的三组对应边都相等，可通过“边边边（SSS）”判定两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
∠A=∠D，理由如下：
连接BC，在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB=DC（已知）\\AC=DB（已知）\\BC=CB（公共边相等）\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ DCB$（SSS）
∴$∠ A=∠ D$（全等三角形的对应角相等）
【答案】
$∠ A=∠ D$
【知识点】
1. SSS判定三角形全等 2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是合理添加辅助线构造全等三角形，要注意挖掘题中公共边这类隐含条件，主要考察全等三角形判定与性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明∠A=∠D，通常可通过证明两角所在的三角形全等得到。题目已知AB=DC、AC=DB，此时只需构造出包含这两组边、且有公共边的两个三角形即可：连接公共边BC，就能得到△ABC和△DCB的三组对应边都相等，可通过“边边边（SSS）”判定两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
∠A=∠D，理由如下：
连接BC，在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB=DC（已知）\\AC=DB（已知）\\BC=CB（公共边相等）\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ DCB$（SSS）
∴$∠ A=∠ D$（全等三角形的对应角相等）
【答案】
$∠ A=∠ D$
【知识点】
1. SSS判定三角形全等 2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是合理添加辅助线构造全等三角形，要注意挖掘题中公共边这类隐含条件，主要考察全等三角形判定与性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图,要用“HL”判定$Rt△ ABC ≌ Rt△ A'B'C'$的条件是 【 】
A.$AC=A'C', BC=B'C'$
B.$∠ A=∠ A', AB=A'B'$
C.$AC=A'C', AB=A'B'$
D.$∠ B=∠ B', BC=B'C'$
A.$AC=A'C', BC=B'C'$
B.$∠ A=∠ A', AB=A'B'$
C.$AC=A'C', AB=A'B'$
D.$∠ B=∠ B', BC=B'C'$
答案
C
解析
【分析】
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。先确定题中两个直角三角形的边的属性：Rt△ABC和Rt△A'B'C'的直角为∠C、∠C'，因此斜边是AB、A'B'，直角边为AC、BC和A'C'、B'C'。解题时只需判断各选项的条件是否满足“一条斜边+一条直角边对应相等”的要求即可。
【解析】
“HL”判定的适用条件为：两个直角三角形的斜边对应相等，且任意一条直角边也对应相等。我们逐一分析选项：
A选项：$AC=A'C'$，$BC=B'C'$，是两条直角边对应相等，属于SAS判定，不符合HL的要求，错误；
B选项：$∠A=∠A'$，$AB=A'B'$，是一个锐角加斜边对应相等，属于AAS判定，不符合HL的要求，错误；
C选项：$AC=A'C'$（直角边相等），$AB=A'B'$（斜边相等），完全满足HL的判定条件，正确；
D选项：$∠B=∠B'$，$BC=B'C'$，是一个锐角加直角边对应相等，属于ASA或AAS判定，不符合HL的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理；全等三角形判定
【点评】
本题考查对HL判定定理的理解，要注意HL是直角三角形特有的全等判定方法，需区分其与普通三角形全等判定定理的差异，不要混淆不同判定方法的对应条件。
【难度系数】
0.8
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。先确定题中两个直角三角形的边的属性：Rt△ABC和Rt△A'B'C'的直角为∠C、∠C'，因此斜边是AB、A'B'，直角边为AC、BC和A'C'、B'C'。解题时只需判断各选项的条件是否满足“一条斜边+一条直角边对应相等”的要求即可。
【解析】
“HL”判定的适用条件为：两个直角三角形的斜边对应相等，且任意一条直角边也对应相等。我们逐一分析选项：
A选项：$AC=A'C'$，$BC=B'C'$，是两条直角边对应相等，属于SAS判定，不符合HL的要求，错误；
B选项：$∠A=∠A'$，$AB=A'B'$，是一个锐角加斜边对应相等，属于AAS判定，不符合HL的要求，错误；
C选项：$AC=A'C'$（直角边相等），$AB=A'B'$（斜边相等），完全满足HL的判定条件，正确；
D选项：$∠B=∠B'$，$BC=B'C'$，是一个锐角加直角边对应相等，属于ASA或AAS判定，不符合HL的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理；全等三角形判定
【点评】
本题考查对HL判定定理的理解，要注意HL是直角三角形特有的全等判定方法，需区分其与普通三角形全等判定定理的差异，不要混淆不同判定方法的对应条件。
【难度系数】
0.8
