8. 如图,已知$AB=AD$,$DC=CB$.求证:$∠ B=∠ D$. (第8题)

提示:连结AC,可证明$△ ABC ≌ △ ADC$

【分析】
要证明∠B=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质推导。已知两组边相等AB=AD、DC=CB，我们可以连接AC作为公共边，构造△ABC和△ADC，此时两个三角形三组边对应相等，即可通过SSS判定两三角形全等，进而得到对应角相等的结论。
【解析】
证明：连接AC，
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD \quad (\mathrm{已知}) \\CB=DC \quad (\mathrm{已知}) \\AC=AC \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$
由全等三角形的对应角相等，可得$∠ B=∠ D$。
【答案】
$∠ B=∠ D$，证明如上。
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等证明的基础题型，解题的关键是合理构造辅助线，利用公共边得到三组边对应相等的条件，通过SSS判定全等后得到对应角相等，能帮助学生掌握构造全等三角形的基础方法。
【难度系数】
0.8

9. 如图，F、C在线段AD上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，BF＝EC. 图中的全等三角形共有 【 】

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
（第9题）

C

【分析】
解题时先从已知线段相等的条件出发，先通过线段和差关系推导出隐含的相等边，再结合题目给出的各组边相等的条件，依据SSS（边边边）全等判定定理逐一排查全等三角形即可。首先由AF=DC可推得AC=DF，这是推导第一组全等的关键；其次要注意FC是公共边，属于隐含的相等边，再结合AB=DE、BC=EF、BF=EC的已知条件，逐组验证全等即可。
【解析】
我们逐对找出全等三角形：
1. △ABF≌△DEC
已知AB=DE，AF=DC，BF=EC，三组边对应相等，根据SSS判定定理，可得△ABF≌△DEC。
2. △ABC≌△DEF
已知AF=DC，因此AF+FC=DC+FC，即AC=DF。又已知AB=DE，BC=EF，三组边对应相等，根据SSS判定定理，可得△ABC≌△DEF。
3. △BFC≌△ECF
已知BF=EC，BC=EF，且FC是两个三角形的公共边即FC=CF，三组边对应相等，根据SSS判定定理，可得△BFC≌△ECF。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
SSS判定全等、线段和差性质
【点评】
本题考查全等三角形边边边判定定理的基础应用，解题的关键是熟练推导线段和差得到相等边，同时注意挖掘公共边这类隐含的相等条件，避免漏找全等三角形。
【难度系数】
0.7

10. 根据下列已知条件，能作出唯一的△ABC的是 【 】

A.$∠ C=90°$，$AB=6$
B.$AB=4$，$BC=3$，$∠ A=30°$
C.$∠ A=60°$，$∠ B=45°$，$AB=4$
D.$AB=3$，$BC=4$，$CA=8$

C

【分析】
要判断能否作出唯一的△ABC，需结合两个核心要点分析：一是先判断给出的条件能否构成三角形，二是若能构成三角形，再判断条件是否符合三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），符合全等判定的条件就能作出唯一三角形，我们逐个分析选项即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. 仅给出直角∠C=90°和斜边AB=6，两条直角边长度未确定，可画出无数个大小不同的直角三角形，不能作出唯一△ABC；
B. 给出AB=4，BC=3，∠A=30°，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的条件，SSA不能判定三角形全等，可画出多个不同的三角形，不能作出唯一△ABC；
C. 给出∠A=60°，∠B=45°，AB=4，属于“两角及其夹边（ASA）”的条件，符合三角形全等的ASA判定定理，能作出唯一的△ABC；
D. 给出三边长AB=3，BC=4，CA=8，由于3+4=7＜8，不满足三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形。
综上，只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；三角形三边关系；三角形唯一确定条件
【点评】
本题属于基础概念综合题，需要熟练掌握三角形全等的判定定理，明确SSA不能判定三角形全等，同时不要忽略判断三边是否满足三角形的构成条件，是对三角形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.7

11.(温州期中)如图，$AE=AC$，$BC=DE$，若添加一个条件可得$△ ABC ≌ △ ADE$，则添加的条件可以是.(写出一个即可)

11. $AB=AD$(答案不唯一)

【分析】
要判定△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：已有两组对应边相等，即AE=AC，BC=DE。结合全等三角形的判定定理，若用“SSS（边边边）”判定，需要补充第三组对应边相等；若用“SAS（边角边）”判定，需要补充已知两组边的夹角相等，任选一个符合要求的条件即可。
【解析】
已知AE=AC，BC=DE，若添加条件AB=AD：
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD \\BC=DE \\AC=AE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE (\mathrm{SSS})$。
也可添加$∠ C=∠ E$，利用SAS证明全等，故答案不唯一。
【答案】
$AB=AD$（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、SSS判定定理、SAS判定定理
【点评】
本题属于开放性基础题，考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时需先明确已知的对应相等的边或角，再结合判定规则补充缺失的条件即可，注意对应边、对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在数学课上,老师让学生利用尺规作图,作∠MON 的平分线OB.小明的作法如图所示,连结BA、BC,你认为这种作法可判断△ABO≌△CBO 的依据是.(写出全等依据的简写)

12. SSS

【分析】
要判断△ABO≌△CBO的依据，首先需从尺规作角平分线的步骤中提取两个三角形对应边/角的相等关系：第一步以O为圆心画弧交OM、ON于A、C，可得OA和OC是同圆半径，长度相等；第二步分别以A、C为圆心画弧交于B，可得AB和CB是等圆半径，长度相等；另外OB是两个三角形的公共边，也相等。由此可知两个三角形三组对应边均相等，对应全等判定的SSS定理即可得结论。
【解析】
由尺规作∠MON平分线的操作过程可知：
1. 以O为圆心画弧时，OA、OC均为该圆弧的半径，因此$\boldsymbol{OA=OC}$；
2. 分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于B，因此AB、CB为等圆的半径，$\boldsymbol{AB=CB}$；
3. OB是$△ ABO$和$△ CBO$的公共边，因此$\boldsymbol{OB=OB}$。
在$△ ABO$和$△ CBO$中：
$\begin{cases}OA=OC \\AB=CB \\OB=OB\end{cases}$
根据三边对应相等的两个三角形全等（SSS），可判定$△ ABO ≌ △ CBO$，因此全等依据为SSS。
【答案】
SSS
【知识点】
1. 角平分线尺规作图 2. 全等三角形SSS判定
【点评】
本题结合尺规操作考查全等三角形的判定，解题核心是熟悉角平分线的作图步骤，从中提取对应边相等的条件，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8

13. 如图，已知$AB⊥ AC$，$AB=AC$，$AD=AE$，$BD=CE$. 求证：$AD⊥ AE$.

提示:证$△ ABD ≌ △ ACE$,得$∠ BAD = ∠ CAE$,再证$∠ BAC = ∠ DAE$ 即可

【分析】
解题首先从已知条件入手，题目给出三组对应边相等：AB=AC、AD=AE、BD=CE，符合全等三角形SSS的判定规则，因此第一步可证明△ABD与△ACE全等；全等后对应角相等可得∠BAD=∠CAE，将两个角同时减去公共角∠CAD，可推导出∠BAC=∠DAE，结合AB⊥AC即∠BAC=90°的条件，就能得到∠DAE=90°，从而证明AD⊥AE。
【解析】
证明：
∵ $AB⊥ AC$，
∴ $∠ BAC=90°$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC(\mathrm{已知})\\AD=AE(\mathrm{已知})\\BD=CE(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴ $△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SSS})$。
∴ $∠ BAD=∠ CAE$（全等三角形对应角相等）。
∴ $∠ BAD-∠ CAD=∠ CAE-∠ CAD$，即$∠ BAC=∠ DAE$。
∴ $∠ DAE=90°$，
∴ $AD⊥ AE$。
【答案】
$AD⊥ AE$，得证。
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是根据已知边的相等关系判定三角形全等，再通过角的和差完成等量代换推导得到直角，要求熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活进行角的等量转化。
【难度系数】
0.7