13. 如图，$AB=BC$，$∠ BAD=∠ BCD=90°$，$D$是$EF$上一点，$AE ⊥ EF$于点$E$，$CF ⊥ EF$于点$F$，$AE=CF$. 求证:$\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$.

13. 连结BD. $\because ∠ BAD = ∠ BCD = 90°,\therefore △ ABD$和$△ CBD$均为直角三角形. 在Rt△ABD和Rt△CBD中,$\because \begin{cases} AB = BC, \\ BD = BD, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD. \therefore AD = CD. \because AE ⊥ EF$于点E, $CF ⊥ EF$于点F,$\therefore ∠ E = ∠ F = 90°$. 在Rt△ADE和Rt△CDF中,$\because \begin{cases} AE = CF, \\ AD = CD, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$

【分析】
要证明$\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$，已知$AE ⊥ EF$、$CF ⊥ EF$可得$∠E=∠F=90°$，且题目给出$AE=CF$，根据直角三角形全等的HL判定定理，还需要证明斜边$AD=CD$。观察已知条件，$AB=BC$，$∠BAD=∠BCD=90°$，可通过连接$BD$，利用HL先证明$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD$，即可得到$AD=CD$，进而完成证明。
【解析】
证明：连结$BD$。
$\because ∠ BAD = ∠ BCD = 90°$，
$\therefore △ ABD$和$△ CBD$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CBD$中，
$\begin{cases} AB = BC \\ BD = BD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD$（HL），
$\therefore AD = CD$。
$\because AE ⊥ EF$于点$E$，$CF ⊥ EF$于点$F$，
$\therefore ∠ E = ∠ F = 90°$，即$△ADE$和$△CDF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，
$\begin{cases} AE = CF \\ AD = CD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$（HL）。
【答案】
13. 连结BD. $\because ∠ BAD = ∠ BCD = 90°,\therefore △ ABD$和$△ CBD$均为直角三角形. 在Rt△ABD和Rt△CBD中,$\because \begin{cases} AB = BC, \\ BD = BD, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD. \therefore AD = CD. \because AE ⊥ EF$于点E, $CF ⊥ EF$于点F,$\therefore ∠ E = ∠ F = 90°$. 在Rt△ADE和Rt△CDF中,$\because \begin{cases} AE = CF, \\ AD = CD, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$
【知识点】
HL判定定理，全等三角形性质，辅助线构造
【点评】
本题解题的关键是合理连接公共边BD作为辅助线，先通过HL证明一对直角三角形全等得到对应边相等，再利用HL证明目标三角形全等，考查了对直角三角形全等判定方法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6

14. 如图,在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中,$∠ C=∠ C'=90°$,$AC=A'C'$,$AD$、$A'D'$分别为边$BC$、$B'C'$上的中线,且$AD=A'D'$. 求证:
(1) $Rt△ ACD ≌ Rt△ A'C'D'$;
(2) $Rt△ ABC ≌ Rt△ A'B'C'$.

(1) $\because ∠ C = ∠ C' = 90°,\therefore △ ACD$和$△ A'C'D'$都是直角三角形. 在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中,$\because \begin{cases} AD = A'D', \\ AC = A'C', \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'$
(2) 由(1)知,$\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D',\therefore CD = C'D'. \because AD、A'D'$分别为边$BC$、$B'C'$上的中线,$\therefore CB = C'B' = 2CD$. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,$\because \begin{cases} AC = A'C', \\ ∠ C = ∠ C', \\ CB = C'B', \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$

【分析】
(1) 要证$\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'$，首先由已知$∠ C=∠ C'=90°$，可确定两个三角形均为直角三角形，再结合已知的斜边$AD=A'D'$、直角边$AC=A'C'$，满足直角三角形全等的HL判定条件，即可完成证明。
(2) 要证$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$，已知$AC=A'C'$、$∠ C=∠ C'=90°$，只需证得$BC=B'C'$即可。借助(1)的全等结论可得$CD=C'D'$，再结合$AD$、$A'D'$是$BC$、$B'C'$上的中线，可推出$BC=2CD$、$B'C'=2C'D'$，进而得到$BC=B'C'$，最终用SAS判定两个大三角形全等。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ C = ∠ C' = 90°$，
$\therefore △ ACD$和$△ A'C'D'$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ACD$和$\mathrm{Rt}△A'C'D'$中：
$\begin{cases} AD = A'D' \\ AC = A'C' \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'$。
(2) 证明：
由(1)知$\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'$，
$\therefore CD = C'D'$。
$\because AD$、$A'D'$分别为边$BC$、$B'C'$上的中线，
$\therefore CB = 2CD$，$C'B' = 2C'D'$，即$CB=C'B'$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△A'B'C'$中：
$\begin{cases} AC = A'C' \\ ∠ C = ∠ C' \\ CB = C'B' \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$。
【答案】
(1) $\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'$，证明如上；
(2) $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$，证明如上。
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，中线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时需注意前后设问的递进关系，将前一问的结论作为后一问的已知条件，结合相关性质推导所需的相等量，准确选用全等判定定理即可完成证明。
【难度系数】
0.8