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11. 下列计算中，正确的是 【 】
A.$-2x^3y^3 ÷ \frac{1}{3}xy = -\frac{2}{3}x^2y^3$
B.$6a^3b^6 ÷ 2ab^3 = 3a^3b^4$
C.$-a^4b^5c ÷ a^3b^4c = -ab$
D.$x^3y^2z ÷ \frac{1}{2}x^2y = 2xy$
A.$-2x^3y^3 ÷ \frac{1}{3}xy = -\frac{2}{3}x^2y^3$
B.$6a^3b^6 ÷ 2ab^3 = 3a^3b^4$
C.$-a^4b^5c ÷ a^3b^4c = -ab$
D.$x^3y^2z ÷ \frac{1}{2}x^2y = 2xy$
答案
C
解析
【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题时需先回忆单项式除以单项式的运算法则，再按照法则逐一计算每个选项的结果，将计算结果和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。计算时要注意三个要点：①系数相除时注意符号，除以分数等于乘它的倒数；②同底数幂相除，底数不变指数相减；③不要遗漏只在被除式中存在的字母。
【解析】
单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的因式。我们逐一计算各选项：
A选项：$-2x^3y^3 ÷ \frac{1}{3}xy = (-2 ÷ \frac{1}{3}) · x^{3-1} · y^{3-1} = -6x^2y^2$，与选项给出的$-\frac{2}{3}x^2y^3$不符，A错误。
B选项：$6a^3b^6 ÷ 2ab^3 = (6÷2) · a^{3-1} · b^{6-3} = 3a^2b^3$，与选项给出的$3a^3b^4$不符，B错误。
C选项：$-a^4b^5c ÷ a^3b^4c = (-1÷1) · a^{4-3} · b^{5-4} · c^{1-1} = -ab$，与选项结果一致，C正确。
D选项：$x^3y^2z ÷ \frac{1}{2}x^2y = (1÷\frac{1}{2}) · x^{3-2} · y^{2-1} · z = 2xyz$，与选项给出的$2xy$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心考查对单项式除以单项式法则的掌握，运算时需格外注意系数的符号、指数的运算规则，不要漏写仅在被除式中出现的字母，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式除以单项式的运算，解题时需先回忆单项式除以单项式的运算法则，再按照法则逐一计算每个选项的结果，将计算结果和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。计算时要注意三个要点：①系数相除时注意符号，除以分数等于乘它的倒数；②同底数幂相除，底数不变指数相减；③不要遗漏只在被除式中存在的字母。
【解析】
单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的因式。我们逐一计算各选项：
A选项：$-2x^3y^3 ÷ \frac{1}{3}xy = (-2 ÷ \frac{1}{3}) · x^{3-1} · y^{3-1} = -6x^2y^2$，与选项给出的$-\frac{2}{3}x^2y^3$不符，A错误。
B选项：$6a^3b^6 ÷ 2ab^3 = (6÷2) · a^{3-1} · b^{6-3} = 3a^2b^3$，与选项给出的$3a^3b^4$不符，B错误。
C选项：$-a^4b^5c ÷ a^3b^4c = (-1÷1) · a^{4-3} · b^{5-4} · c^{1-1} = -ab$，与选项结果一致，C正确。
D选项：$x^3y^2z ÷ \frac{1}{2}x^2y = (1÷\frac{1}{2}) · x^{3-2} · y^{2-1} · z = 2xyz$，与选项给出的$2xy$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心考查对单项式除以单项式法则的掌握，运算时需格外注意系数的符号、指数的运算规则，不要漏写仅在被除式中出现的字母，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.8
12. 有下列四个算式:①$(-2x)^4 ÷ (-2x)^3 = -x$, ②$(-x^2)^{2n+1} ÷ (-x^2)^2 = -x^{4n-2}$, ③$a^5b^2 ÷ (a^2b)^2 = ab$, ④$18a^6b^4 ÷ (-3a^2b)^2 = 2a^2b^2$.其中,计算不正确的是 【 】
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③
答案
B
解析
【分析】
本题考查幂的运算及单项式除以单项式的计算，解题思路是逐个验证4个算式的计算结果是否正确：首先回忆同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，依次计算每个算式的正确结果，再和题干给出的结果对比，找出计算错误的算式，对应选出正确选项。
【解析】
我们逐个计算4个算式：
① $(-2x)^4 ÷ (-2x)^3$
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减：
原式$=(-2x)^{4-3}=(-2x)^1=-2x$，题干结果为$-x$，计算错误；
② $(-x^2)^{2n+1} ÷ (-x^2)^2$
同底数幂相减得指数为$(2n+1)-2=2n-1$，原式$=(-x^2)^{2n-1}$
由于$2n-1$是奇数，负号保留，结合幂的乘方法则：
原式$=-x^{2×(2n-1)}=-x^{4n-2}$，和题干结果一致，计算正确；
③ $a^5b^2 ÷ (a^2b)^2$
先根据积的乘方法则计算除数：$(a^2b)^2=a^{2×2}b^{1×2}=a^4b^2$
再做除法：原式$=a^5b^2 ÷a^4b^2=a^{5-4}b^{2-2}=a$，题干结果为$ab$，计算错误；
④ $18a^6b^4 ÷ (-3a^2b)^2$
先算除数：$(-3a^2b)^2=(-3)^2a^{2×2}b^{1×2}=9a^4b^2$
再做除法：原式$=18a^6b^4 ÷9a^4b^2=2a^{6-4}b^{4-2}=2a^2b^2$，和题干结果一致，计算正确。
综上，计算不正确的是①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法；积的乘方；单项式除以单项式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，计算时要特别注意符号的判断、指数的运算规则，避免因疏忽运算顺序或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算及单项式除以单项式的计算，解题思路是逐个验证4个算式的计算结果是否正确：首先回忆同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，依次计算每个算式的正确结果，再和题干给出的结果对比，找出计算错误的算式，对应选出正确选项。
【解析】
我们逐个计算4个算式：
① $(-2x)^4 ÷ (-2x)^3$
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减：
原式$=(-2x)^{4-3}=(-2x)^1=-2x$，题干结果为$-x$，计算错误；
② $(-x^2)^{2n+1} ÷ (-x^2)^2$
同底数幂相减得指数为$(2n+1)-2=2n-1$，原式$=(-x^2)^{2n-1}$
由于$2n-1$是奇数，负号保留，结合幂的乘方法则：
原式$=-x^{2×(2n-1)}=-x^{4n-2}$，和题干结果一致，计算正确；
③ $a^5b^2 ÷ (a^2b)^2$
先根据积的乘方法则计算除数：$(a^2b)^2=a^{2×2}b^{1×2}=a^4b^2$
再做除法：原式$=a^5b^2 ÷a^4b^2=a^{5-4}b^{2-2}=a$，题干结果为$ab$，计算错误；
④ $18a^6b^4 ÷ (-3a^2b)^2$
先算除数：$(-3a^2b)^2=(-3)^2a^{2×2}b^{1×2}=9a^4b^2$
再做除法：原式$=18a^6b^4 ÷9a^4b^2=2a^{6-4}b^{4-2}=2a^2b^2$，和题干结果一致，计算正确。
综上，计算不正确的是①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法；积的乘方；单项式除以单项式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，计算时要特别注意符号的判断、指数的运算规则，避免因疏忽运算顺序或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.7
13. 若$x^m y^n ÷ \frac{1}{4}x^3 y = 4x^2$，则 【 】
A.$m=6, n=1$
B.$m=5, n=1$
C.$m=5, n=0$
D.$m=6, n=0$
A.$m=6, n=1$
B.$m=5, n=1$
C.$m=5, n=0$
D.$m=6, n=0$
答案
B
解析
【分析】
本题可根据单项式除以单项式的运算法则先化简等式左侧的式子，再结合等式两边对应同底数幂的指数相等列方程求解m、n的值。具体思考步骤：第一步，回忆单项式除以单项式的计算规则：系数相除作为商的系数，同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；第二步，化简左侧式子后，将右侧的4x²补出y的零次幂（y⁰=1，不改变原式大小），再令相同底数的指数对应相等，即可列出关于m、n的一元一次方程，解方程就能得到结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算等式左侧：
$x^m y^n ÷ \frac{1}{4}x^3 y = (1÷\frac{1}{4}) · x^{m-3} · y^{n-1} = 4x^{m-3}y^{n-1}$
已知该结果等于$4x^2$，可将右侧变形为$4x^2y^0$（任意非零数的0次幂为1，因此$y^0=1$，不改变原式值）。
等式两边同类项的指数对应相等，因此可得：
对于x的指数：$m-3=2$，解得$m=5$
对于y的指数：$n-1=0$，解得$n=1$
因此$m=5，n=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法、零指数幂的性质
【点评】
本题是整式除法的基础题型，解题核心是熟练掌握单项式除法的运算法则，明确等式两边同类项的指数对应相等的规律，计算时注意不要遗漏缺项的幂的指数为0的隐含条件，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题可根据单项式除以单项式的运算法则先化简等式左侧的式子，再结合等式两边对应同底数幂的指数相等列方程求解m、n的值。具体思考步骤：第一步，回忆单项式除以单项式的计算规则：系数相除作为商的系数，同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；第二步，化简左侧式子后，将右侧的4x²补出y的零次幂（y⁰=1，不改变原式大小），再令相同底数的指数对应相等，即可列出关于m、n的一元一次方程，解方程就能得到结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算等式左侧：
$x^m y^n ÷ \frac{1}{4}x^3 y = (1÷\frac{1}{4}) · x^{m-3} · y^{n-1} = 4x^{m-3}y^{n-1}$
已知该结果等于$4x^2$，可将右侧变形为$4x^2y^0$（任意非零数的0次幂为1，因此$y^0=1$，不改变原式值）。
等式两边同类项的指数对应相等，因此可得：
对于x的指数：$m-3=2$，解得$m=5$
对于y的指数：$n-1=0$，解得$n=1$
因此$m=5，n=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法、零指数幂的性质
【点评】
本题是整式除法的基础题型，解题核心是熟练掌握单项式除法的运算法则，明确等式两边同类项的指数对应相等的规律，计算时注意不要遗漏缺项的幂的指数为0的隐含条件，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
14. 若$18a^{3}b^{2} ÷ m = 2ab^{2}$，则$m=$
$ 9a^2 $
。答案
14. $9a^2$
解析
【分析】
本题要求计算除式m，首先根据除法运算中各部分的关系：除数=被除数÷商，可列出求m的算式，再按照单项式除以单项式的运算法则逐步计算即可。计算时先处理系数的除法，再处理同底数幂的除法，最后将各部分的结果相乘得到最终的m。
【解析】
根据除法各部分之间的关系可得：
$m = 18a^{3}b^{2} ÷ 2ab^{2}$
按照单项式除以单项式的法则计算：
1. 系数相除：$18 ÷ 2 = 9$
2. 同底数幂分别相除：$a^{3} ÷ a = a^{3-1} = a^{2}$，$b^{2} ÷ b^{2} = 1$
3. 将所得结果相乘：$9 × a^{2} × 1 = 9a^{2}$
【答案】
$9a^2$
【知识点】
单项式除以单项式法则；同底数幂的除法
【点评】
本题是单项式除法的基础应用题型，解题的核心是先明确除法各部分的对应关系列出正确的算式，再熟练运用运算法则计算，运算过程中注意同底数幂相除时指数的变化规则，避免出现指数计算错误。
【难度系数】
0.8
本题要求计算除式m，首先根据除法运算中各部分的关系：除数=被除数÷商，可列出求m的算式，再按照单项式除以单项式的运算法则逐步计算即可。计算时先处理系数的除法，再处理同底数幂的除法，最后将各部分的结果相乘得到最终的m。
【解析】
根据除法各部分之间的关系可得：
$m = 18a^{3}b^{2} ÷ 2ab^{2}$
按照单项式除以单项式的法则计算：
1. 系数相除：$18 ÷ 2 = 9$
2. 同底数幂分别相除：$a^{3} ÷ a = a^{3-1} = a^{2}$，$b^{2} ÷ b^{2} = 1$
3. 将所得结果相乘：$9 × a^{2} × 1 = 9a^{2}$
【答案】
$9a^2$
【知识点】
单项式除以单项式法则；同底数幂的除法
【点评】
本题是单项式除法的基础应用题型，解题的核心是先明确除法各部分的对应关系列出正确的算式，再熟练运用运算法则计算，运算过程中注意同底数幂相除时指数的变化规则，避免出现指数计算错误。
【难度系数】
0.8
16. 计算：
(1) $\frac{3}{5}x^4y^3 ÷ (-\frac{5}{2}x^3y^2) · 4xy^2$；
(2) $27a^2by · (-\frac{1}{3}by^2)^3 ÷ \frac{1}{5}a^2b^3y^6$。
(1) $\frac{3}{5}x^4y^3 ÷ (-\frac{5}{2}x^3y^2) · 4xy^2$；
(2) $27a^2by · (-\frac{1}{3}by^2)^3 ÷ \frac{1}{5}a^2b^3y^6$。
答案
(1) $-\dfrac{24}{25}x^2y^3$ (2) $-5by$
解析
【分析】
这两道题均为整式的乘除混合运算，解题思路如下：
1. 确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序依次计算；
2. 运用单项式乘除法则：计算时系数先分别相乘除，同底数幂分别对应相乘除（乘法运算指数相加，除法运算指数相减），仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为结果的因式；
3. 重点关注符号：负数参与运算时，先确定每一步结果的符号，避免符号类计算错误。
【解析】
(1) 按照从左到右的顺序依次计算：
第一步：计算单项式除法
$\frac{3}{5}x^4y^3 ÷ (-\frac{5}{2}x^3y^2) = [\frac{3}{5} ÷ (-\frac{5}{2})] · x^{4-3} · y^{3-2} = -\frac{6}{25}xy$
第二步：计算单项式乘法
$-\frac{6}{25}xy · 4xy^2 = (-\frac{6}{25}×4) · x^{1+1} · y^{1+2} = -\frac{24}{25}x^2y^3$
(2) 先算乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
第一步：计算积的乘方
$(-\frac{1}{3}by^2)^3 = (-\frac{1}{3})^3 · b^3 · (y^2)^3 = -\frac{1}{27}b^3y^6$
第二步：计算单项式乘法
$27a^2by · (-\frac{1}{27}b^3y^6) = [27×(-\frac{1}{27})] · a^2 · b^{1+3} · y^{1+6} = -a^2b^4y^7$
第三步：计算单项式除法
$-a^2b^4y^7 ÷ \frac{1}{5}a^2b^3y^6 = (-1 ÷ \frac{1}{5}) · a^{2-2} · b^{4-3} · y^{7-6} = -5by$
【答案】
(1) $-\dfrac{24}{25}x^2y^3$ (2) $-5by$
【知识点】
单项式乘除运算，积的乘方运算，同底数幂的乘除
【点评】
本题是整式运算的基础题型，侧重考查幂的运算法则和整式乘除混合运算的掌握程度，解题时需严格遵循运算顺序，重点注意符号和指数的计算，熟练掌握该类题型可为后续多项式的混合运算打下坚实基础。
【难度系数】
0.7
这两道题均为整式的乘除混合运算，解题思路如下：
1. 确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序依次计算；
2. 运用单项式乘除法则：计算时系数先分别相乘除，同底数幂分别对应相乘除（乘法运算指数相加，除法运算指数相减），仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为结果的因式；
3. 重点关注符号：负数参与运算时，先确定每一步结果的符号，避免符号类计算错误。
【解析】
(1) 按照从左到右的顺序依次计算：
第一步：计算单项式除法
$\frac{3}{5}x^4y^3 ÷ (-\frac{5}{2}x^3y^2) = [\frac{3}{5} ÷ (-\frac{5}{2})] · x^{4-3} · y^{3-2} = -\frac{6}{25}xy$
第二步：计算单项式乘法
$-\frac{6}{25}xy · 4xy^2 = (-\frac{6}{25}×4) · x^{1+1} · y^{1+2} = -\frac{24}{25}x^2y^3$
(2) 先算乘方，再按从左到右顺序计算乘除：
第一步：计算积的乘方
$(-\frac{1}{3}by^2)^3 = (-\frac{1}{3})^3 · b^3 · (y^2)^3 = -\frac{1}{27}b^3y^6$
第二步：计算单项式乘法
$27a^2by · (-\frac{1}{27}b^3y^6) = [27×(-\frac{1}{27})] · a^2 · b^{1+3} · y^{1+6} = -a^2b^4y^7$
第三步：计算单项式除法
$-a^2b^4y^7 ÷ \frac{1}{5}a^2b^3y^6 = (-1 ÷ \frac{1}{5}) · a^{2-2} · b^{4-3} · y^{7-6} = -5by$
【答案】
(1) $-\dfrac{24}{25}x^2y^3$ (2) $-5by$
【知识点】
单项式乘除运算，积的乘方运算，同底数幂的乘除
【点评】
本题是整式运算的基础题型，侧重考查幂的运算法则和整式乘除混合运算的掌握程度，解题时需严格遵循运算顺序，重点注意符号和指数的计算，熟练掌握该类题型可为后续多项式的混合运算打下坚实基础。
【难度系数】
0.7
17. 当$a=-1$，$b=-2$，$c=1$时，求$[(-2)^2 a^2 b^2 c]^3 ÷ (-\dfrac{1}{2}ab^2)^2 ÷ (-\dfrac{2}{3}a^2 b)$的值。
答案
原式=$-384a^2bc^3$. 当$a=-1, b=-2, c=1$时,原式=$-384×(-1)^2×(-2)×1^3=768$
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，先利用积的乘方、幂的乘方运算法则计算原式中所有的乘方项，再根据单项式除以单项式的法则，将系数、同底数幂分别相除，得到最简整式；第二步将给定的a、b、c的取值代入最简整式计算结果，先化简再代入可大幅减少计算量，避免出错。运算时需重点关注符号和幂的指数变化规则。
【解析】
第一步：先计算各乘方项：
$[(-2)^2 a^2 b^2 c]^3 = (4a^2b^2c)^3 = 4^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3 · c^3 = 64a^6b^6c^3$
$(-\dfrac{1}{2}ab^2)^2 = (-\dfrac{1}{2})^2 · a^2 · (b^2)^2 = \dfrac{1}{4}a^2b^4$
第二步：将乘方结果代入原式，按照单项式除以单项式法则计算：
原式$= 64a^6b^6c^3 ÷ \dfrac{1}{4}a^2b^4 ÷ (-\dfrac{2}{3}a^2b)$
先计算系数部分：$64 ÷ \dfrac{1}{4} ÷ (-\dfrac{2}{3}) = 64 × 4 × (-\dfrac{3}{2}) = -384$
再计算同底数幂部分：
$a$的指数：$6-2-2=2$
$b$的指数：$6-4-1=1$
$c$的指数：$3$
因此化简结果为：$-384a^2bc^3$
第三步：代入$a=-1$，$b=-2$，$c=1$计算：
原式$=-384 × (-1)^2 × (-2) × 1^3 = -384 × 1 × (-2) × 1 = 768$
【答案】
$768$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；单项式除以单项式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查幂的运算规则和单项式除法的运算方法，先化简再求值的思路能有效简化计算过程，运算时要注意符号处理和指数的加减规则，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，先利用积的乘方、幂的乘方运算法则计算原式中所有的乘方项，再根据单项式除以单项式的法则，将系数、同底数幂分别相除，得到最简整式；第二步将给定的a、b、c的取值代入最简整式计算结果，先化简再代入可大幅减少计算量，避免出错。运算时需重点关注符号和幂的指数变化规则。
【解析】
第一步：先计算各乘方项：
$[(-2)^2 a^2 b^2 c]^3 = (4a^2b^2c)^3 = 4^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3 · c^3 = 64a^6b^6c^3$
$(-\dfrac{1}{2}ab^2)^2 = (-\dfrac{1}{2})^2 · a^2 · (b^2)^2 = \dfrac{1}{4}a^2b^4$
第二步：将乘方结果代入原式，按照单项式除以单项式法则计算：
原式$= 64a^6b^6c^3 ÷ \dfrac{1}{4}a^2b^4 ÷ (-\dfrac{2}{3}a^2b)$
先计算系数部分：$64 ÷ \dfrac{1}{4} ÷ (-\dfrac{2}{3}) = 64 × 4 × (-\dfrac{3}{2}) = -384$
再计算同底数幂部分：
$a$的指数：$6-2-2=2$
$b$的指数：$6-4-1=1$
$c$的指数：$3$
因此化简结果为：$-384a^2bc^3$
第三步：代入$a=-1$，$b=-2$，$c=1$计算：
原式$=-384 × (-1)^2 × (-2) × 1^3 = -384 × 1 × (-2) × 1 = 768$
【答案】
$768$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；单项式除以单项式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查幂的运算规则和单项式除法的运算方法，先化简再求值的思路能有效简化计算过程，运算时要注意符号处理和指数的加减规则，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
