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18. 如图是一个圆柱体容器与一个长方体容器，现把圆柱体容器中盛满水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满.求长方体容器的宽.（每个容器的厚度均忽略不计）
答案
∵ 水的体积为$π·(\dfrac{8mn}{2})^2·\dfrac{3}{2}m^3n^2=24πm^5n^4$,
∴ 长方体容器的容积为$24πm^5n^4$.
∵ 长方体的体积=长×宽×高,
∴ 长方体容器的宽为:$24πm^5n^4 ÷ 2mn^2 ÷ 6m^2n^2 = 2πm^2$
解析
【分析】
解题核心是抓住“水的体积不变”这一关键，即圆柱体容器的容积等于长方体容器的容积。第一步先回忆圆柱体积公式$V_{圆柱}=πr^2h$（$r$为底面半径，$h$为高），已知圆柱底面直径，先求出半径，代入公式计算出水的体积；第二步回忆长方体体积公式$V_{长方体}=长×宽×高$，已知长方体的长、高和体积，将公式变形为“宽=体积÷长÷高”，再运用单项式的乘除运算法则计算即可得到长方体的宽。
【解析】
首先计算水的体积，即圆柱体容器的容积：
圆柱底面直径为$8mn$，因此底面半径$r=\dfrac{8mn}{2}=4mn$，圆柱的高$h=\dfrac{3}{2}m^3n^2$，代入圆柱体积公式得：
$\begin{aligned}V_水&=π·(4mn)^2·\dfrac{3}{2}m^3n^2\\&=π·16m^2n^2·\dfrac{3}{2}m^3n^2\\&=24πm^5n^4\end{aligned}$
因为水恰好倒满长方体容器，所以长方体容积等于水的体积，即$V_{长方体}=24πm^5n^4$。
已知长方体的长为$6m^2n^2$，高为$2mn^2$，根据长方体体积公式变形可得：
$\begin{aligned}宽&=V_{长方体}÷长÷高\\&=24πm^5n^4 ÷ 2mn^2 ÷ 6m^2n^2\\&=(24π÷2÷6)·(m^5÷m÷m^2)·(n^4÷n^2÷n^2)\\&=2πm^2\end{aligned}$
【答案】
$2πm^2$
【知识点】
圆柱体积计算；长方体体积计算；单项式乘除运算
【点评】
本题考查等体积转化的数学思想，结合立体图形体积公式与整式运算设置考点，解题关键是明确水的体积在倾倒前后保持不变，计算时要注意单项式运算中同底数幂的运算规则，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.65
解题核心是抓住“水的体积不变”这一关键，即圆柱体容器的容积等于长方体容器的容积。第一步先回忆圆柱体积公式$V_{圆柱}=πr^2h$（$r$为底面半径，$h$为高），已知圆柱底面直径，先求出半径，代入公式计算出水的体积；第二步回忆长方体体积公式$V_{长方体}=长×宽×高$，已知长方体的长、高和体积，将公式变形为“宽=体积÷长÷高”，再运用单项式的乘除运算法则计算即可得到长方体的宽。
【解析】
首先计算水的体积，即圆柱体容器的容积：
圆柱底面直径为$8mn$，因此底面半径$r=\dfrac{8mn}{2}=4mn$，圆柱的高$h=\dfrac{3}{2}m^3n^2$，代入圆柱体积公式得：
$\begin{aligned}V_水&=π·(4mn)^2·\dfrac{3}{2}m^3n^2\\&=π·16m^2n^2·\dfrac{3}{2}m^3n^2\\&=24πm^5n^4\end{aligned}$
因为水恰好倒满长方体容器，所以长方体容积等于水的体积，即$V_{长方体}=24πm^5n^4$。
已知长方体的长为$6m^2n^2$，高为$2mn^2$，根据长方体体积公式变形可得：
$\begin{aligned}宽&=V_{长方体}÷长÷高\\&=24πm^5n^4 ÷ 2mn^2 ÷ 6m^2n^2\\&=(24π÷2÷6)·(m^5÷m÷m^2)·(n^4÷n^2÷n^2)\\&=2πm^2\end{aligned}$
【答案】
$2πm^2$
【知识点】
圆柱体积计算；长方体体积计算；单项式乘除运算
【点评】
本题考查等体积转化的数学思想，结合立体图形体积公式与整式运算设置考点，解题关键是明确水的体积在倾倒前后保持不变，计算时要注意单项式运算中同底数幂的运算规则，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.65
1. 计算$(3x^3 + 6x^2 - 2x) ÷ 2x$的结果是 【 】
A.$3x^2 + 3x -1$
B.$\frac{3}{2}x^2 + 3x$
C.$\frac{3}{2}x^2 + 3x + 1$
D.$\frac{3}{2}x^2 + 3x -1$
A.$3x^2 + 3x -1$
B.$\frac{3}{2}x^2 + 3x$
C.$\frac{3}{2}x^2 + 3x + 1$
D.$\frac{3}{2}x^2 + 3x -1$
答案
D
解析
【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。运算时要注意两点：一是每一项计算时遵循单项式除以单项式的规则，系数相除，同底数幂的指数相减，二是不要漏看每一项的符号。我们可以把原式拆成三个单项式分别除以2x，计算出每个商后合并即可得到结果，再对应选项选出答案。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(3x^3 + 6x^2 - 2x) ÷ 2x&=3x^3÷2x + 6x^2÷2x + (-2x)÷2x\\&=\frac{3}{2}x^{3-1} + 3x^{2-1} + (-1)x^{1-1}\\&=\frac{3}{2}x^2 + 3x -1\end{aligned}$
对比选项，结果与D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察多项式除以单项式的运算法则的应用，运算时需注意每一项的符号，避免因符号出错丢分，熟练掌握单项式除法的运算规则是解对本题的关键。
【难度系数】
0.85
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。运算时要注意两点：一是每一项计算时遵循单项式除以单项式的规则，系数相除，同底数幂的指数相减，二是不要漏看每一项的符号。我们可以把原式拆成三个单项式分别除以2x，计算出每个商后合并即可得到结果，再对应选项选出答案。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(3x^3 + 6x^2 - 2x) ÷ 2x&=3x^3÷2x + 6x^2÷2x + (-2x)÷2x\\&=\frac{3}{2}x^{3-1} + 3x^{2-1} + (-1)x^{1-1}\\&=\frac{3}{2}x^2 + 3x -1\end{aligned}$
对比选项，结果与D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察多项式除以单项式的运算法则的应用，运算时需注意每一项的符号，避免因符号出错丢分，熟练掌握单项式除法的运算规则是解对本题的关键。
【难度系数】
0.85
2. (太康期中)长方形的面积为$12ab^2 - 9a^2b$，若它的一边长为$3ab$，则另一边长为 【 】
A.1
B.$4b - 3a$
C.$4b - 3$
D.$4 - 3a$
A.1
B.$4b - 3a$
C.$4b - 3$
D.$4 - 3a$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆长方形面积公式：长方形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求另一边长只需用面积除以已知边长，因此本题实际是计算多项式$12ab^2 - 9a^2b$除以单项式$3ab$的结果。计算时遵循多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可得到最终结果。
【解析】
根据长方形边长与面积的关系，另一边长为：
$(12ab^2 - 9a^2b)÷ 3ab$
按照多项式除以单项式的运算法则拆分计算：
1. 计算第一项的商：$12ab^2÷ 3ab=(12÷3)·(a÷ a)·(b^2÷ b)=4b$
2. 计算第二项的商：$-9a^2b÷ 3ab=(-9÷3)·(a^2÷ a)·(b÷ b)=-3a$
3. 合并两个商得到结果：$4b-3a$
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础应用题型，解题核心是先结合几何公式列出运算式，再严格按照多项式除以单项式的规则计算，运算过程中需注意系数符号和同底数幂的除法规则，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方形面积公式：长方形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求另一边长只需用面积除以已知边长，因此本题实际是计算多项式$12ab^2 - 9a^2b$除以单项式$3ab$的结果。计算时遵循多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可得到最终结果。
【解析】
根据长方形边长与面积的关系，另一边长为：
$(12ab^2 - 9a^2b)÷ 3ab$
按照多项式除以单项式的运算法则拆分计算：
1. 计算第一项的商：$12ab^2÷ 3ab=(12÷3)·(a÷ a)·(b^2÷ b)=4b$
2. 计算第二项的商：$-9a^2b÷ 3ab=(-9÷3)·(a^2÷ a)·(b÷ b)=-3a$
3. 合并两个商得到结果：$4b-3a$
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础应用题型，解题核心是先结合几何公式列出运算式，再严格按照多项式除以单项式的规则计算，运算过程中需注意系数符号和同底数幂的除法规则，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算中，正确的是 【 】
A.$(3x^2 + x) ÷ x = 3x$
B.$(-10ab^2 + 5ab) ÷ (-5ab) = 2b - 1$
C.$(9m^5 - 6m^2n^3) ÷ (-3m^2) = 3m^3 - 2n^3$
D.$(2y^2 - y) ÷ 2y = y - 2$
A.$(3x^2 + x) ÷ x = 3x$
B.$(-10ab^2 + 5ab) ÷ (-5ab) = 2b - 1$
C.$(9m^5 - 6m^2n^3) ÷ (-3m^2) = 3m^3 - 2n^3$
D.$(2y^2 - y) ÷ 2y = y - 2$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需运用多项式除以单项式的运算法则，解题思路是逐个计算每个选项的结果，再和选项给出的结果对比，选出正确的一项。计算时注意：①先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加；②运算中要注意符号的正负；③同底数幂相除时遵循底数不变、指数相减的规则，不要漏除常数项。
【解析】
多项式除以单项式的法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，结合同底数幂除法法则（底数不变，指数相减）逐个计算：
A选项：$(3x^2 + x) ÷ x = 3x^2÷x + x÷x = 3x + 1 ≠ 3x$，故A错误；
B选项：$(-10ab^2 + 5ab) ÷ (-5ab) = (-10ab^2)÷(-5ab) + 5ab÷(-5ab) = 2b - 1$，与选项结果一致，故B正确；
C选项：$(9m^5 - 6m^2n^3) ÷ (-3m^2) = 9m^5÷(-3m^2) + (-6m^2n^3)÷(-3m^2) = -3m^3 + 2n^3 ≠ 3m^3 - 2n^3$，故C错误；
D选项：$(2y^2 - y) ÷ 2y = 2y^2÷2y + (-y)÷2y = y - \frac{1}{2} ≠ y - 2$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式运算
【点评】
本题是整式除法的基础考查题，解题核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，运算时要格外注意符号处理，避免出现漏项、符号错误、系数计算错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需运用多项式除以单项式的运算法则，解题思路是逐个计算每个选项的结果，再和选项给出的结果对比，选出正确的一项。计算时注意：①先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加；②运算中要注意符号的正负；③同底数幂相除时遵循底数不变、指数相减的规则，不要漏除常数项。
【解析】
多项式除以单项式的法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，结合同底数幂除法法则（底数不变，指数相减）逐个计算：
A选项：$(3x^2 + x) ÷ x = 3x^2÷x + x÷x = 3x + 1 ≠ 3x$，故A错误；
B选项：$(-10ab^2 + 5ab) ÷ (-5ab) = (-10ab^2)÷(-5ab) + 5ab÷(-5ab) = 2b - 1$，与选项结果一致，故B正确；
C选项：$(9m^5 - 6m^2n^3) ÷ (-3m^2) = 9m^5÷(-3m^2) + (-6m^2n^3)÷(-3m^2) = -3m^3 + 2n^3 ≠ 3m^3 - 2n^3$，故C错误；
D选项：$(2y^2 - y) ÷ 2y = 2y^2÷2y + (-y)÷2y = y - \frac{1}{2} ≠ y - 2$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式运算
【点评】
本题是整式除法的基础考查题，解题核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，运算时要格外注意符号处理，避免出现漏项、符号错误、系数计算错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
4. 当$a=\dfrac{3}{4}$时，代数式$(28a^3 - 28a^2 + 7a) ÷ (7a)$的值为 【 】
A.$\dfrac{25}{4}$
B.$-4$
C.$-\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{1}{4}$
A.$\dfrac{25}{4}$
B.$-4$
C.$-\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
本题是代数式求值类题目，解题时优先选择先化简再代入的思路，可降低计算出错率：第一步依据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式7a，第二步把所得的商相加得到最简代数式，第三步将a的值代入最简式计算结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：先化简给定的代数式：
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以7a，再把商相加：
$\begin{aligned}(28a^3 - 28a^2 + 7a) ÷ 7a&=28a^3÷7a - 28a^2÷7a + 7a÷7a\\&=4a^2 - 4a + 1\end{aligned}$
也可利用完全平方公式将化简结果变形为：$4a^2 - 4a + 1=(2a-1)^2$
将$a=\dfrac{3}{4}$代入上式计算：
$\begin{aligned}(2×\dfrac{3}{4}-1)^2&=(\dfrac{3}{2}-1)^2\\&=(\dfrac{1}{2})^2\\&=\dfrac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
多项式除以单项式；代数式求值；完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，先化简再代入的运算思路能大幅减少计算量，降低出错概率，要熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，可灵活运用乘法公式进一步简化运算。
【难度系数】
0.8
本题是代数式求值类题目，解题时优先选择先化简再代入的思路，可降低计算出错率：第一步依据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式7a，第二步把所得的商相加得到最简代数式，第三步将a的值代入最简式计算结果，匹配对应选项即可。
【解析】
解：先化简给定的代数式：
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以7a，再把商相加：
$\begin{aligned}(28a^3 - 28a^2 + 7a) ÷ 7a&=28a^3÷7a - 28a^2÷7a + 7a÷7a\\&=4a^2 - 4a + 1\end{aligned}$
也可利用完全平方公式将化简结果变形为：$4a^2 - 4a + 1=(2a-1)^2$
将$a=\dfrac{3}{4}$代入上式计算：
$\begin{aligned}(2×\dfrac{3}{4}-1)^2&=(\dfrac{3}{2}-1)^2\\&=(\dfrac{1}{2})^2\\&=\dfrac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
多项式除以单项式；代数式求值；完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，先化简再代入的运算思路能大幅减少计算量，降低出错概率，要熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，可灵活运用乘法公式进一步简化运算。
【难度系数】
0.8
5. 计算$4xy(x-y)^2 ÷ 2xy(x-y)$的结果是 【 】
A.$-8xy(x-y)^2$
B.$2(x-y)$
C.$2xy(x-y)$
D.$2x-y$
A.$-8xy(x-y)^2$
B.$2(x-y)$
C.$2xy(x-y)$
D.$2x-y$
答案
B
解析
【分析】
本题是单项式除以单项式的运算题，解题时可运用单项式除法法则分步计算：第一步先计算系数的商，第二步将相同因式分别按同底数幂的除法规则运算，注意可将$(x-y)$看作一个整体处理，无需展开$(x-y)^2$即可简化计算，最后将各部分的商相乘即可得到结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则分步计算：
1. 计算系数的商：$4÷2=2$
2. 计算相同字母因式的商：$x÷ x=1$，$y÷ y=1$
3. 将$(x-y)$看作整体，计算同底数幂的商：$(x-y)^2÷(x-y)=(x-y)^{2-1}=x-y$
4. 将各部分结果相乘：$2×1×1×(x-y)=2(x-y)$
综上，运算结果为$2(x-y)$。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法；整体思想
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式除法的运算能力，解题时将$(x-y)$视为整体计算可有效提升解题效率、避免展开计算出现的错误，熟练掌握单项式除法法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
本题是单项式除以单项式的运算题，解题时可运用单项式除法法则分步计算：第一步先计算系数的商，第二步将相同因式分别按同底数幂的除法规则运算，注意可将$(x-y)$看作一个整体处理，无需展开$(x-y)^2$即可简化计算，最后将各部分的商相乘即可得到结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则分步计算：
1. 计算系数的商：$4÷2=2$
2. 计算相同字母因式的商：$x÷ x=1$，$y÷ y=1$
3. 将$(x-y)$看作整体，计算同底数幂的商：$(x-y)^2÷(x-y)=(x-y)^{2-1}=x-y$
4. 将各部分结果相乘：$2×1×1×(x-y)=2(x-y)$
综上，运算结果为$2(x-y)$。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法；整体思想
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式除法的运算能力，解题时将$(x-y)$视为整体计算可有效提升解题效率、避免展开计算出现的错误，熟练掌握单项式除法法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
