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13. 某超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图所示的翻奖牌（图①中的奖牌对应的奖品如图②所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应金额的购物券），并规定：顾客一次购买不少于200元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会。
（1）某顾客购物消费了220元，获得一次翻奖牌的机会，则该顾客获得100元购物券的概率是
（2）求顾客平均每次翻奖牌的获奖金额（精确到0.1）；
（3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是$\frac{1}{3}$。
（1）某顾客购物消费了220元，获得一次翻奖牌的机会，则该顾客获得100元购物券的概率是
$\frac{1}{9}$
，获得20元购物券的概率是$\frac{4}{9}$
，不获奖的概率是$\frac{2}{9}$
；（2）求顾客平均每次翻奖牌的获奖金额（精确到0.1）；
（3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是$\frac{1}{3}$。
答案
13.（1）$\frac{1}{9}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{2}{9}$ （2）由(1)及顾客获得50元和10元购物券的概率均是$\frac{1}{9}$,得顾客平均每次翻奖牌的获奖金额为$\frac{1}{9}×100+\frac{4}{9}×20+\frac{1}{9}×50+\frac{1}{9}×10+\frac{2}{9}×0=\frac{240}{9}≈26.7$(元) （3）顾客翻奖牌一次,获得10元或谢谢惠顾(答案不唯一)
解析
【分析】
本题考查概率的相关计算及实际应用，解题思路如下：
1. 首先明确翻奖牌总共有9种等可能的结果，第一问分别数出获得100元购物券、20元购物券、不获奖的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可计算对应概率；
2. 第二问计算平均获奖金额属于加权平均数的应用，将每个获奖金额乘以对应的概率，求和即可得到平均每次的获奖金额；
3. 第三问是开放性问题，只要找到包含3种等可能结果的事件即可，因为$3÷9=\frac{1}{3}$。
【解析】
解：翻奖牌共有9个位置，每次翻牌时每个位置被翻到的可能性相等，即总共有9种等可能的结果。
（1）获得100元购物券的结果只有1种，故概率为$\frac{1}{9}$；
获得20元购物券的结果有4种，故概率为$\frac{4}{9}$；
不获奖（翻到谢谢惠顾）的结果有2种，故概率为$\frac{2}{9}$。
（2）由题意得，获得10元购物券的概率为$\frac{1}{9}$，获得50元购物券的概率为$\frac{1}{9}$，不获奖时获得金额为0元，因此平均每次翻奖牌的获奖金额为：
$\frac{1}{9}×100+\frac{4}{9}×20+\frac{1}{9}×50+\frac{1}{9}×10+\frac{2}{9}×0=\frac{240}{9}≈26.7$（元）
（3）示例事件：顾客翻奖牌一次，获得10元购物券或不获奖，该事件包含的结果数为$1+2=3$，概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，符合要求。
【答案】
（1）$\frac{1}{9}$；$\frac{4}{9}$；$\frac{2}{9}$
（2）约26.7元
（3）顾客翻奖牌一次，获得10元或谢谢惠顾（答案不唯一）
【知识点】
概率公式；加权平均数；随机事件
【点评】
本题属于概率基础应用题，贴近生活实际，解题的关键是准确梳理总等可能结果数和各事件对应的结果数，计算平均金额时要注意不要遗漏各金额的对应概率，第三问为开放性问题，只要符合概率要求即可。
【难度系数】
0.7
本题考查概率的相关计算及实际应用，解题思路如下：
1. 首先明确翻奖牌总共有9种等可能的结果，第一问分别数出获得100元购物券、20元购物券、不获奖的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可计算对应概率；
2. 第二问计算平均获奖金额属于加权平均数的应用，将每个获奖金额乘以对应的概率，求和即可得到平均每次的获奖金额；
3. 第三问是开放性问题，只要找到包含3种等可能结果的事件即可，因为$3÷9=\frac{1}{3}$。
【解析】
解：翻奖牌共有9个位置，每次翻牌时每个位置被翻到的可能性相等，即总共有9种等可能的结果。
（1）获得100元购物券的结果只有1种，故概率为$\frac{1}{9}$；
获得20元购物券的结果有4种，故概率为$\frac{4}{9}$；
不获奖（翻到谢谢惠顾）的结果有2种，故概率为$\frac{2}{9}$。
（2）由题意得，获得10元购物券的概率为$\frac{1}{9}$，获得50元购物券的概率为$\frac{1}{9}$，不获奖时获得金额为0元，因此平均每次翻奖牌的获奖金额为：
$\frac{1}{9}×100+\frac{4}{9}×20+\frac{1}{9}×50+\frac{1}{9}×10+\frac{2}{9}×0=\frac{240}{9}≈26.7$（元）
（3）示例事件：顾客翻奖牌一次，获得10元购物券或不获奖，该事件包含的结果数为$1+2=3$，概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，符合要求。
【答案】
（1）$\frac{1}{9}$；$\frac{4}{9}$；$\frac{2}{9}$
（2）约26.7元
（3）顾客翻奖牌一次，获得10元或谢谢惠顾（答案不唯一）
【知识点】
概率公式；加权平均数；随机事件
【点评】
本题属于概率基础应用题，贴近生活实际，解题的关键是准确梳理总等可能结果数和各事件对应的结果数，计算平均金额时要注意不要遗漏各金额的对应概率，第三问为开放性问题，只要符合概率要求即可。
【难度系数】
0.7
14. (1) 如图①,一边长为2a的正方形木质镖靶,四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心、半径为a的扇形.某人向此镖靶投镖,假设每次都投中,求他投中阴影部分的概率.
(2) 如图②是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图案,若在图案内随机取一点P,则点P恰好在阴影部分的概率是
(3) 若一个小玻璃球在如图③所示的地砖图案内自由滚动,甲、乙两人打赌,甲说,“小玻璃球一定会停在黑色区域上”,乙说,“小玻璃球一定会停在白色区域上”,你认为谁获胜的概率较大?通过计算说明.
(2) 如图②是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图案,若在图案内随机取一点P,则点P恰好在阴影部分的概率是
$\frac{2}{5}$
.(3) 若一个小玻璃球在如图③所示的地砖图案内自由滚动,甲、乙两人打赌,甲说,“小玻璃球一定会停在黑色区域上”,乙说,“小玻璃球一定会停在白色区域上”,你认为谁获胜的概率较大?通过计算说明.
答案
14.（1）根据题意知,图中正方形的面积为$2a×2a=4a^2$.图中阴影部分的面积为:$4a^2-4×\frac{1}{4}×π×a^2=4a^2-πa^2$.$\therefore$它击中阴影部分的概率$P=\frac{4a^2-πa^2}{4a^2}=\frac{4-π}{4}$ （2）$\frac{2}{5}$ （3）乙获胜的概率大.理由如下:$\because P(甲获胜)=\frac{12}{32}=\frac{3}{8},P(乙获胜)=\frac{20}{32}=\frac{5}{8},\frac{5}{8}＞\frac{3}{8},\therefore$乙获胜的概率大
解析
【分析】
这三道小题均属于几何概率问题，求解核心是“事件发生的概率=对应事件区域的面积÷总面积”，解题思路如下：
(1) 先计算边长为2a的正方形总面积，观察四个空白扇形：每个都是圆心角90°、半径为a的扇形，4个刚好拼成1个半径为a的整圆，用正方形面积减去整圆面积得到阴影面积，再代入概率公式计算即可。
(2) 先计算两个正方形的总面积，空白部分是底为3a、高为2a的直角三角形，用总面积减去空白三角形面积得到阴影面积，再求概率。
(3) 先数出整个地砖图案中小三角形的总个数，再数出黑色区域小三角形的个数，分别计算停在黑色、白色区域的概率，比较大小即可判断谁获胜概率大。
【解析】
(1) 正方形镖靶的总面积 = $2a×2a = 4a^2$，
四个空白扇形可拼成1个半径为a的整圆，空白总面积 = $πa^2$，
阴影部分面积 = $4a^2 - πa^2$，
∴投中阴影部分的概率$P=\frac{4a^2-πa^2}{4a^2}=\frac{4-π}{4}$。
(2) 图案的总面积 = 大正方形面积+小正方形面积 = $(2a)^2+a^2=5a^2$，
空白直角三角形的底为$2a+a=3a$，高为$2a$，空白面积 = $\frac{1}{2}×3a×2a=3a^2$，
阴影部分面积 = $5a^2-3a^2=2a^2$，
∴点P在阴影部分的概率$P=\frac{2a^2}{5a^2}=\frac{2}{5}$。
(3) 观察图③，整个图案共被平均分成32个完全相同的小三角形，其中黑色区域小三角形共12个，白色区域小三角形共$32-12=20$个。
∴$P(甲获胜)=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}$，$P(乙获胜)=\frac{20}{32}=\frac{5}{8}$，
∵$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$，
∴乙获胜的概率更大。
【答案】
(1) $\frac{4-π}{4}$；(2) $\frac{2}{5}$；(3) 乙获胜的概率大
【知识点】
几何概率计算，图形面积计算，概率比较
【点评】
本题围绕几何概率的应用设置问题，解题关键是明确几何概率的计算方法，即概率等于所求事件对应区域的面积与总面积的比值。解题时可通过图形拼接、计数等方法简化计算，要注意避免数错图形个数或算错面积。
【难度系数】
0.7
这三道小题均属于几何概率问题，求解核心是“事件发生的概率=对应事件区域的面积÷总面积”，解题思路如下：
(1) 先计算边长为2a的正方形总面积，观察四个空白扇形：每个都是圆心角90°、半径为a的扇形，4个刚好拼成1个半径为a的整圆，用正方形面积减去整圆面积得到阴影面积，再代入概率公式计算即可。
(2) 先计算两个正方形的总面积，空白部分是底为3a、高为2a的直角三角形，用总面积减去空白三角形面积得到阴影面积，再求概率。
(3) 先数出整个地砖图案中小三角形的总个数，再数出黑色区域小三角形的个数，分别计算停在黑色、白色区域的概率，比较大小即可判断谁获胜概率大。
【解析】
(1) 正方形镖靶的总面积 = $2a×2a = 4a^2$，
四个空白扇形可拼成1个半径为a的整圆，空白总面积 = $πa^2$，
阴影部分面积 = $4a^2 - πa^2$，
∴投中阴影部分的概率$P=\frac{4a^2-πa^2}{4a^2}=\frac{4-π}{4}$。
(2) 图案的总面积 = 大正方形面积+小正方形面积 = $(2a)^2+a^2=5a^2$，
空白直角三角形的底为$2a+a=3a$，高为$2a$，空白面积 = $\frac{1}{2}×3a×2a=3a^2$，
阴影部分面积 = $5a^2-3a^2=2a^2$，
∴点P在阴影部分的概率$P=\frac{2a^2}{5a^2}=\frac{2}{5}$。
(3) 观察图③，整个图案共被平均分成32个完全相同的小三角形，其中黑色区域小三角形共12个，白色区域小三角形共$32-12=20$个。
∴$P(甲获胜)=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}$，$P(乙获胜)=\frac{20}{32}=\frac{5}{8}$，
∵$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$，
∴乙获胜的概率更大。
【答案】
(1) $\frac{4-π}{4}$；(2) $\frac{2}{5}$；(3) 乙获胜的概率大
【知识点】
几何概率计算，图形面积计算，概率比较
【点评】
本题围绕几何概率的应用设置问题，解题关键是明确几何概率的计算方法，即概率等于所求事件对应区域的面积与总面积的比值。解题时可通过图形拼接、计数等方法简化计算，要注意避免数错图形个数或算错面积。
【难度系数】
0.7
