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1. 一个暗箱中放有$ a $个除颜色外其他完全相同的小球，这$ a $个小球中只有2个红球，每次将小球搅拌均匀后，任意摸出1个小球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20％，那么可以估算$ a $的值是 【 】
A.15
B.10
C.4
D.3
A.15
B.10
C.4
D.3
答案
B
解析
【分析】
首先明确大量重复试验的规律：随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件对应的概率附近，因此本题中摸到红球的频率稳定在20%，就可以认为摸到红球的概率为20%。再结合简单事件的概率计算公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，本题中摸到红球的对应情况数是红球的个数2，总情况数是小球总个数a，据此列方程求解即可得到a的估算值。
【解析】
解：
∵大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在20%，
∴可估计摸到红球的概率为$20\%=0.2$，
根据概率公式可得：$\frac{2}{a}=0.2$，
解得$a=2÷0.2=10$，
经检验，$a=10$是原方程的解，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；概率公式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是理解大量重复试验下频率与概率的对应关系，结合简单概率公式即可快速求解，是频率与概率板块的常规题型。
【难度系数】
0.8
首先明确大量重复试验的规律：随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件对应的概率附近，因此本题中摸到红球的频率稳定在20%，就可以认为摸到红球的概率为20%。再结合简单事件的概率计算公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，本题中摸到红球的对应情况数是红球的个数2，总情况数是小球总个数a，据此列方程求解即可得到a的估算值。
【解析】
解：
∵大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在20%，
∴可估计摸到红球的概率为$20\%=0.2$，
根据概率公式可得：$\frac{2}{a}=0.2$，
解得$a=2÷0.2=10$，
经检验，$a=10$是原方程的解，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；概率公式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是理解大量重复试验下频率与概率的对应关系，结合简单概率公式即可快速求解，是频率与概率板块的常规题型。
【难度系数】
0.8
2.（辽宁中考）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外其他都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为
【 】
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
【 】
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
这是一道有放回摸球的概率计算问题，解题时可先通过列举法（列表或画树状图）罗列出两次摸球的所有等可能结果，再从中找出两次摸出小球颜色相同的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算结果。要注意本题是放回摸球，两次摸球的结果相互独立，第一次摸球的结果不会影响第二次摸球的可能性。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次\第二次 | 红 | 黄 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，红） | （红，黄） |
| 黄 | （黄，红） | （黄，黄） |
由列表可知，一共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色小球的结果有2种（两次均为红色、两次均为黄色）。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两次颜色相同})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1.列举法求概率 2.概率公式
【点评】
本题属于概率计算的基础常规题型，解题核心是准确梳理所有等可能的试验结果，做题时要注意区分“有放回”和“不放回”两类摸球试验的区别，避免因混淆两种情况算错总结果数。
【难度系数】
0.8
这是一道有放回摸球的概率计算问题，解题时可先通过列举法（列表或画树状图）罗列出两次摸球的所有等可能结果，再从中找出两次摸出小球颜色相同的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算结果。要注意本题是放回摸球，两次摸球的结果相互独立，第一次摸球的结果不会影响第二次摸球的可能性。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次\第二次 | 红 | 黄 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，红） | （红，黄） |
| 黄 | （黄，红） | （黄，黄） |
由列表可知，一共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色小球的结果有2种（两次均为红色、两次均为黄色）。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两次颜色相同})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1.列举法求概率 2.概率公式
【点评】
本题属于概率计算的基础常规题型，解题核心是准确梳理所有等可能的试验结果，做题时要注意区分“有放回”和“不放回”两类摸球试验的区别，避免因混淆两种情况算错总结果数。
【难度系数】
0.8
3.（贵州中考）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：
| 抛掷次数$n$ | 20 | 60 | 100 | 120 | 140 | 160 | 500 | 1000 | 2000 | 5000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| “正面朝上”的次数$m$ | 12 | 38 | 58 |
| 75 | 88 | 275 | 550 | 1100 | 2750 |
| “正面朝上”的频率$\frac{m}{n}$ | 0.60 | 0.63 | 0.58 | 0.52 | 0.54 | 0.55 | 0.55 | 0.55 | 0.55 | 0.55 |
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 【 】
A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
| 抛掷次数$n$ | 20 | 60 | 100 | 120 | 140 | 160 | 500 | 1000 | 2000 | 5000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| “正面朝上”的次数$m$ | 12 | 38 | 58 |
| 75 | 88 | 275 | 550 | 1100 | 2750 || “正面朝上”的频率$\frac{m}{n}$ | 0.60 | 0.63 | 0.58 | 0.52 | 0.54 | 0.55 | 0.55 | 0.55 | 0.55 | 0.55 |
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 【 】
A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
答案
B
解析
【分析】
解题需用到频率估计概率的核心思想：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。因此我们只需观察表格中抛掷次数逐渐增大时，“正面朝上”的频率最终稳定在哪个数值，这个数值就是概率的估计值。
【解析】
根据频率估计概率的规律，当试验次数足够大时，频率的稳定值即为对应事件的概率。观察表格数据可知：随着抛掷次数n不断增大，当n≥160时，“正面朝上”的频率稳定为0.55，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率
【点评】
本题考查频率与概率的关系，解题关键是明确只有试验次数足够多时，稳定的频率才能用来估计概率，属于基础考点。
【难度系数】
0.9
解题需用到频率估计概率的核心思想：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。因此我们只需观察表格中抛掷次数逐渐增大时，“正面朝上”的频率最终稳定在哪个数值，这个数值就是概率的估计值。
【解析】
根据频率估计概率的规律，当试验次数足够大时，频率的稳定值即为对应事件的概率。观察表格数据可知：随着抛掷次数n不断增大，当n≥160时，“正面朝上”的频率稳定为0.55，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率
【点评】
本题考查频率与概率的关系，解题关键是明确只有试验次数足够多时，稳定的频率才能用来估计概率，属于基础考点。
【难度系数】
0.9
4. 如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果，下面是根据试验结果所作出的四个推断，其中合理的是
【 】
A.当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B.当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C.随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D.若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
【 】
A.当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B.当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C.随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D.若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
答案
C
解析
【分析】
本题考查频率与概率的相关概念，解题时首先明确两个核心认知：①频率是单次试验得到的结果，具有随机性，相同试验次数下不同试验的频率可能不同；②概率是事件的固有属性，是固定不变的，当试验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近，可利用稳定的频率估计概率。带着这两点逐个分析选项即可得到答案。
【解析】
结合频率和概率的性质逐个分析选项：
A. 当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的频率约为0.620，因此对应次数约为$1000×0.620=620$，并不是确定为620次，故A错误；
B. 概率是事件的固定属性，不会随试验次数的变化而变化，“钉尖向上”的概率是稳定值，并非投掷第1000次时概率才是0.620，故B错误；
C. 由统计图可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率逐渐稳定在0.618附近，根据用频率估计概率的知识，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故C正确；
D. 频率具有随机性，若再次进行模拟试验，投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的区别
【点评】
本题是基础的概念辨析题，核心考查对频率的随机性、概率的确定性的理解，解题关键是掌握“只有试验次数足够多时，稳定的频率才能用于估计概率”这一结论，避免混淆频率和概率的概念。
【难度系数】
0.7
本题考查频率与概率的相关概念，解题时首先明确两个核心认知：①频率是单次试验得到的结果，具有随机性，相同试验次数下不同试验的频率可能不同；②概率是事件的固有属性，是固定不变的，当试验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近，可利用稳定的频率估计概率。带着这两点逐个分析选项即可得到答案。
【解析】
结合频率和概率的性质逐个分析选项：
A. 当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的频率约为0.620，因此对应次数约为$1000×0.620=620$，并不是确定为620次，故A错误；
B. 概率是事件的固定属性，不会随试验次数的变化而变化，“钉尖向上”的概率是稳定值，并非投掷第1000次时概率才是0.620，故B错误；
C. 由统计图可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率逐渐稳定在0.618附近，根据用频率估计概率的知识，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故C正确；
D. 频率具有随机性，若再次进行模拟试验，投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的区别
【点评】
本题是基础的概念辨析题，核心考查对频率的随机性、概率的确定性的理解，解题关键是掌握“只有试验次数足够多时，稳定的频率才能用于估计概率”这一结论，避免混淆频率和概率的概念。
【难度系数】
0.7
5.（浙江模拟）思思和想想参加“飞向太空模拟活动”，随机选择“飞向月球”“飞向火星”中的一项，那么两人同时选择“飞向火星”的概率是
$\frac{1}{4}$
。答案
5. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要计算两人同时选择“飞向火星”的概率，首先明确这是两步独立的随机事件，我们可以通过列举法找出所有等可能的结果，再统计符合要求的结果数量，最后根据“概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能的结果数”的公式计算即可。首先确定思思有2种选择，想想也有2种独立的选择，先算出总结果数，再找出两人都选“飞向火星”的结果数，代入公式即可得到答案。
【解析】
将“飞向月球”记为A，“飞向火星”记为B，列举两人的所有选择情况：
1. 思思选A，想想选A；
2. 思思选A，想想选B；
3. 思思选B，想想选A；
4. 思思选B，想想选B。
总共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“飞向火星”的结果只有1种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两人同时选飞向火星})=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
概率公式；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是准确枚举所有等可能的事件结果，再结合概率公式求解，掌握基础的概率计算方法就能轻松解决。
【难度系数】
0.85
要计算两人同时选择“飞向火星”的概率，首先明确这是两步独立的随机事件，我们可以通过列举法找出所有等可能的结果，再统计符合要求的结果数量，最后根据“概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能的结果数”的公式计算即可。首先确定思思有2种选择，想想也有2种独立的选择，先算出总结果数，再找出两人都选“飞向火星”的结果数，代入公式即可得到答案。
【解析】
将“飞向月球”记为A，“飞向火星”记为B，列举两人的所有选择情况：
1. 思思选A，想想选A；
2. 思思选A，想想选B；
3. 思思选B，想想选A；
4. 思思选B，想想选B。
总共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“飞向火星”的结果只有1种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两人同时选飞向火星})=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
概率公式；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是准确枚举所有等可能的事件结果，再结合概率公式求解，掌握基础的概率计算方法就能轻松解决。
【难度系数】
0.85
