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6.(淮安中考)一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中.通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球
12
个.答案
6. 12
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是利用“大量重复试验中，频率的稳定值等于对应事件发生的概率”这一规律。首先我们可以得到摸到白球的概率为0.4，接下来设红球个数为x，可表示出袋中球的总个数为(8+x)，再根据概率的计算公式：摸到白球的概率=白球的个数÷袋中球的总个数，列出方程求解即可得到红球的数量。
【解析】
解：设袋中约有红球$x$个。
∵大量重复摸球试验后，摸到白球的频率稳定在0.4，
∴摸到白球的概率为0.4，
根据概率公式可得：
$\frac{8}{8+x}=0.4$
解方程：
$8=0.4(8+x)$
$8=3.2+0.4x$
$0.4x=4.8$
$x=12$
经检验，$x=12$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题属于基础常考题，考查用频率估计概率的实际应用，解题关键是明确频率稳定值与概率的关系，结合概率公式列方程求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心思路是利用“大量重复试验中，频率的稳定值等于对应事件发生的概率”这一规律。首先我们可以得到摸到白球的概率为0.4，接下来设红球个数为x，可表示出袋中球的总个数为(8+x)，再根据概率的计算公式：摸到白球的概率=白球的个数÷袋中球的总个数，列出方程求解即可得到红球的数量。
【解析】
解：设袋中约有红球$x$个。
∵大量重复摸球试验后，摸到白球的频率稳定在0.4，
∴摸到白球的概率为0.4，
根据概率公式可得：
$\frac{8}{8+x}=0.4$
解方程：
$8=0.4(8+x)$
$8=3.2+0.4x$
$0.4x=4.8$
$x=12$
经检验，$x=12$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题属于基础常考题，考查用频率估计概率的实际应用，解题关键是明确频率稳定值与概率的关系，结合概率公式列方程求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 随机掷一枚质地均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是
$\frac{3}{4}$
。答案
7. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
要计算掷两次硬币至少有一次正面朝上的概率，属于古典概型问题，解题有两种常用思路：①先列举出掷两次硬币所有等可能的结果，再统计出至少有一次正面朝上的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可；②“至少有一次正面朝上”的对立事件是“两次都是反面朝上”，可以先计算对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率得到所求概率，这种方法对“至少”“至多”类问题更简便。
【解析】
方法一：枚举法
随机掷一枚质地均匀的硬币两次，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中至少有一次正面朝上的结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正），共3种。
根据古典概型概率公式，可得所求概率为$\frac{3}{4}$。
方法二：对立事件法
“至少有一次正面朝上”的对立事件为“两次均为反面朝上”。
掷两次硬币两次都是反面朝上的结果只有1种，对应概率为$\frac{1}{4}$，
因此至少有一次正面朝上的概率为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
古典概型计算；枚举法求概率；对立事件求概率
【点评】
本题是概率基础常考题，核心考查古典概型的计算方法，解题时既可以通过枚举所有结果直接计算，也可以利用对立事件简化运算，处理“至少”“至多”类概率问题时，优先考虑对立事件法可以减少计算量，避免漏数、多数结果。
【难度系数】
0.8
要计算掷两次硬币至少有一次正面朝上的概率，属于古典概型问题，解题有两种常用思路：①先列举出掷两次硬币所有等可能的结果，再统计出至少有一次正面朝上的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可；②“至少有一次正面朝上”的对立事件是“两次都是反面朝上”，可以先计算对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率得到所求概率，这种方法对“至少”“至多”类问题更简便。
【解析】
方法一：枚举法
随机掷一枚质地均匀的硬币两次，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中至少有一次正面朝上的结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正），共3种。
根据古典概型概率公式，可得所求概率为$\frac{3}{4}$。
方法二：对立事件法
“至少有一次正面朝上”的对立事件为“两次均为反面朝上”。
掷两次硬币两次都是反面朝上的结果只有1种，对应概率为$\frac{1}{4}$，
因此至少有一次正面朝上的概率为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
古典概型计算；枚举法求概率；对立事件求概率
【点评】
本题是概率基础常考题，核心考查古典概型的计算方法，解题时既可以通过枚举所有结果直接计算，也可以利用对立事件简化运算，处理“至少”“至多”类概率问题时，优先考虑对立事件法可以减少计算量，避免漏数、多数结果。
【难度系数】
0.8
8. 一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一只球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复。下表是试验进行中的一组统计数据：
（1）估计：当n很大时，摸到白球的频率会接近
（2）假若你去摸一次，则摸到白球的概率是
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只。
（1）估计：当n很大时，摸到白球的频率会接近
0.6
；（2）假若你去摸一次，则摸到白球的概率是
0.6
，摸到黑球的概率是0.4
；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只。
答案
8. (1) 0.6 (2) 0.6 0.4 (3) 黑球有8只，白球有12只
解析
【分析】
解题思路围绕“频率与概率的关系”展开：
① 解决第（1）问：观察试验数据的规律，当试验次数n越来越大时，摸到白球的频率会逐渐稳定，找到这个稳定值即可；
② 解决第（2）问：根据频率估计概率的原理，频率的稳定值就是事件发生的概率，再结合“对立事件概率和为1”，就能算出摸到黑球的概率；
③ 解决第（3）问：利用“部分数量=总数量×对应概率”，分别计算白球、黑球的数量即可。
【解析】
（1）观察表格中摸到白球的频率数据：随着摸球次数n不断增大，频率依次为0.58、0.64、0.58、0.59、0.605、0.601，逐渐在0.6附近波动，因此当n很大时，摸到白球的频率会接近0.6。
（2）大量重复试验中，频率的稳定值即为事件发生的概率，因此摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率 = 1 - 摸到白球的概率 = 1 - 0.6 = 0.4。
（3）已知口袋中球的总数量为20只：
白球的数量：$20 × 0.6 = 12$（只）
黑球的数量：$20 × 0.4 = 8$（只）
【答案】
(1) 0.6；(2) 0.6，0.4；(3) 黑球有8只，白球有12只
【知识点】
用频率估计概率，概率的基本计算
【点评】
本题属于频率与概率的基础应用类题目，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，掌握用频率估计概率的方法，再结合概率的基本性质计算对应数量，是概率章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路围绕“频率与概率的关系”展开：
① 解决第（1）问：观察试验数据的规律，当试验次数n越来越大时，摸到白球的频率会逐渐稳定，找到这个稳定值即可；
② 解决第（2）问：根据频率估计概率的原理，频率的稳定值就是事件发生的概率，再结合“对立事件概率和为1”，就能算出摸到黑球的概率；
③ 解决第（3）问：利用“部分数量=总数量×对应概率”，分别计算白球、黑球的数量即可。
【解析】
（1）观察表格中摸到白球的频率数据：随着摸球次数n不断增大，频率依次为0.58、0.64、0.58、0.59、0.605、0.601，逐渐在0.6附近波动，因此当n很大时，摸到白球的频率会接近0.6。
（2）大量重复试验中，频率的稳定值即为事件发生的概率，因此摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率 = 1 - 摸到白球的概率 = 1 - 0.6 = 0.4。
（3）已知口袋中球的总数量为20只：
白球的数量：$20 × 0.6 = 12$（只）
黑球的数量：$20 × 0.4 = 8$（只）
【答案】
(1) 0.6；(2) 0.6，0.4；(3) 黑球有8只，白球有12只
【知识点】
用频率估计概率，概率的基本计算
【点评】
本题属于频率与概率的基础应用类题目，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，掌握用频率估计概率的方法，再结合概率的基本性质计算对应数量，是概率章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏(其中一个转出红色,另一个转出蓝色,即可配成紫色),其中A转盘被等分成两个扇形,B转盘被等分成三个扇形.如果同时转动两个转盘,那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是【 】
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{5}{6}$
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确配成紫色的条件：一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色。首先确定两个转盘的等可能结果：A转盘被等分成2份，有红、白2种等可能结果；B转盘被等分成3份，有黄、蓝、绿3种等可能结果。我们可以用列表法列出同时转动两个转盘的所有等可能结果，再从中筛选出符合配紫色条件的结果，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的结果：
| A转盘\B转盘 | 黄 | 蓝 | 绿 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | （红，黄） | （红，蓝） | （红，绿） |
| 白 | （白，黄） | （白，蓝） | （白，绿） |
由表可知，总共有$2×3=6$种等可能的结果。
根据配紫色的规则，需要一个转盘出红色、另一个出蓝色，观察可得只有（红，蓝）1种结果符合要求。
因此可配成紫色的概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
概率公式，列表法求概率，等可能事件
【点评】
本题是概率的常规考法，解题的关键是准确理解配紫色的规则，用列表法或树状图法不重不漏地列出所有等可能的结果，再代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确配成紫色的条件：一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色。首先确定两个转盘的等可能结果：A转盘被等分成2份，有红、白2种等可能结果；B转盘被等分成3份，有黄、蓝、绿3种等可能结果。我们可以用列表法列出同时转动两个转盘的所有等可能结果，再从中筛选出符合配紫色条件的结果，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的结果：
| A转盘\B转盘 | 黄 | 蓝 | 绿 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | （红，黄） | （红，蓝） | （红，绿） |
| 白 | （白，黄） | （白，蓝） | （白，绿） |
由表可知，总共有$2×3=6$种等可能的结果。
根据配紫色的规则，需要一个转盘出红色、另一个出蓝色，观察可得只有（红，蓝）1种结果符合要求。
因此可配成紫色的概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
概率公式，列表法求概率，等可能事件
【点评】
本题是概率的常规考法，解题的关键是准确理解配紫色的规则，用列表法或树状图法不重不漏地列出所有等可能的结果，再代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7
10.（成都期末）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的试验最有可能是
【 】
A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时的结果是“正面向上”
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面的点数是6
C.在“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出的是“石头”
D.袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【 】
A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时的结果是“正面向上”
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面的点数是6
C.在“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出的是“石头”
D.袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
答案
B
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率的应用，解题思路如下：首先明确核心规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在其概率附近。因此第一步先观察折线统计图，确定频率稳定的数值区间；第二步分别计算四个选项对应事件的理论概率，对比找到概率与稳定频率最接近的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该事件的频率稳定在0.15~0.2之间，即该事件的概率约在0.15~0.2范围内。
逐一计算各选项事件的概率：
A. 掷质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不在0.15~0.2范围内，不符合；
B. 掷质地均匀的正六面体骰子，朝上点数为6的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，在0.15~0.2范围内，符合；
C. “石头、剪刀、布”游戏中随机出“石头”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.333$，不在0.15~0.2范围内，不符合；
D. 从1白2黄的袋中随机取一个球是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.667$，不在0.15~0.2范围内，不符合。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；简单事件概率计算
【点评】
本题是频率估计概率的典型基础题，解题的核心是理解“大量重复试验下频率的稳定值等于事件概率”，再结合简单概率计算即可快速判断，掌握该类题型的关键是能准确从统计图中提取频率稳定区间，正确计算各事件概率。
【难度系数】
0.7
本题考查用频率估计概率的应用，解题思路如下：首先明确核心规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在其概率附近。因此第一步先观察折线统计图，确定频率稳定的数值区间；第二步分别计算四个选项对应事件的理论概率，对比找到概率与稳定频率最接近的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该事件的频率稳定在0.15~0.2之间，即该事件的概率约在0.15~0.2范围内。
逐一计算各选项事件的概率：
A. 掷质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不在0.15~0.2范围内，不符合；
B. 掷质地均匀的正六面体骰子，朝上点数为6的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，在0.15~0.2范围内，符合；
C. “石头、剪刀、布”游戏中随机出“石头”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.333$，不在0.15~0.2范围内，不符合；
D. 从1白2黄的袋中随机取一个球是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.667$，不在0.15~0.2范围内，不符合。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；简单事件概率计算
【点评】
本题是频率估计概率的典型基础题，解题的核心是理解“大量重复试验下频率的稳定值等于事件概率”，再结合简单概率计算即可快速判断，掌握该类题型的关键是能准确从统计图中提取频率稳定区间，正确计算各事件概率。
【难度系数】
0.7
