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11. 在相同条件下的多次重复试验中,一个随机事件发生的频率为$f$,该事件的概率为$P$,则下列说法中正确的是 【 】
A.试验次数越多,$f$越大
B.$f$与$P$都可能发生变化
C.试验次数越多,$f$越接近于$P$
D.当试验次数很大时,$f$在$P$附近摆动,并趋于稳定
A.试验次数越多,$f$越大
B.$f$与$P$都可能发生变化
C.试验次数越多,$f$越接近于$P$
D.当试验次数很大时,$f$在$P$附近摆动,并趋于稳定
答案
D
解析
【分析】
本题考查频率与概率的相关概念，解题时首先要明确两个核心概念的区别：概率是随机事件的固有属性，是固定不变的常数；频率是重复试验中事件发生次数与试验总次数的比值，会随试验发生变化。再结合频率的稳定性规律逐一分析选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确概念：①概率$P$是随机事件发生可能性大小的度量，是事件本身的固有属性，固定不变；②频率$f$是某轮重复试验中，事件发生次数与试验总次数的比值，随试验结果变化。
选项A：试验次数越多，频率只会围绕概率上下波动，不会随试验次数增加而增大，例如抛硬币正面朝上的概率为0.5，增加抛硬币次数，正面频率不会持续变大，故A错误。
选项B：概率$P$是固定不变的，只有频率$f$会发生变化，故B错误。
选项C：试验次数越多，频率不是必然越来越接近概率，存在偶然偏离的可能，因此该表述不准确，故C错误。
选项D：根据频率的稳定性规律，当试验次数足够大时，频率会在概率$P$附近摆动，并逐渐趋于稳定，该表述正确。
【答案】
D
【知识点】
频率的稳定性，频率与概率的区别与联系
【点评】
本题是基础概念辨析题，易错点在于误选C选项，需注意频率趋近于概率是统计层面的规律性结论，并非试验次数越多频率就一定越接近概率，只有当试验次数足够大时，频率才会稳定在概率附近。
【难度系数】
0.6
本题考查频率与概率的相关概念，解题时首先要明确两个核心概念的区别：概率是随机事件的固有属性，是固定不变的常数；频率是重复试验中事件发生次数与试验总次数的比值，会随试验发生变化。再结合频率的稳定性规律逐一分析选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确概念：①概率$P$是随机事件发生可能性大小的度量，是事件本身的固有属性，固定不变；②频率$f$是某轮重复试验中，事件发生次数与试验总次数的比值，随试验结果变化。
选项A：试验次数越多，频率只会围绕概率上下波动，不会随试验次数增加而增大，例如抛硬币正面朝上的概率为0.5，增加抛硬币次数，正面频率不会持续变大，故A错误。
选项B：概率$P$是固定不变的，只有频率$f$会发生变化，故B错误。
选项C：试验次数越多，频率不是必然越来越接近概率，存在偶然偏离的可能，因此该表述不准确，故C错误。
选项D：根据频率的稳定性规律，当试验次数足够大时，频率会在概率$P$附近摆动，并逐渐趋于稳定，该表述正确。
【答案】
D
【知识点】
频率的稳定性，频率与概率的区别与联系
【点评】
本题是基础概念辨析题，易错点在于误选C选项，需注意频率趋近于概率是统计层面的规律性结论，并非试验次数越多频率就一定越接近概率，只有当试验次数足够大时，频率才会稳定在概率附近。
【难度系数】
0.6
12. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表：
有下列结论：①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次试验的结果一定是“盖面朝上”；③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53.其中，正确的结论是
有下列结论：①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次试验的结果一定是“盖面朝上”；③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53.其中，正确的结论是
①③
.(只填序号)答案
12. ①③
解析
【分析】
解题时首先回忆频率与概率的相关知识点：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件概率的估计值；同时单次随机试验的结果是不确定的，无法提前预知。接下来我们逐个分析三个结论：①先观察频率的稳定值，若瓶盖质地均匀，盖面朝上的概率应接近0.5，对比本次试验的频率稳定值即可判断；②单次抛掷的结果是随机的，据此判断说法是否正确；③观察表格中频率的变化趋势，看试验次数增大时频率是否趋近于0.53即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 分析结论①：从表格数据可以看到，当试验次数足够大时，盖面朝上的频率稳定在0.53左右，明显偏离0.5。如果瓶盖质地均匀，盖面朝上和朝下的概率应该都接近0.5，因此可以推断这枚瓶盖有很大可能性不是质地均匀的，故①正确。
2. 分析结论②：抛掷瓶盖属于随机试验，每次试验的结果都是随机的，第2000次试验的结果可能是盖面朝上，也可能是盖面朝下，不能说“一定是盖面朝上”，故②错误。
3. 分析结论③：观察表格中的频率数据，随着累计抛掷次数的增加，盖面朝上的频率逐渐在0.53附近波动，越来越稳定，因此随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53，故③正确。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
频率估计概率；随机事件的特点
【点评】
本题核心考查用频率估计概率的应用，需要明确：只有大量重复试验得到的稳定频率才能估计事件的概率，单次随机试验的结果不受频率影响，具有不确定性，解题时要结合数据的变化趋势判断频率的稳定值。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆频率与概率的相关知识点：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件概率的估计值；同时单次随机试验的结果是不确定的，无法提前预知。接下来我们逐个分析三个结论：①先观察频率的稳定值，若瓶盖质地均匀，盖面朝上的概率应接近0.5，对比本次试验的频率稳定值即可判断；②单次抛掷的结果是随机的，据此判断说法是否正确；③观察表格中频率的变化趋势，看试验次数增大时频率是否趋近于0.53即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 分析结论①：从表格数据可以看到，当试验次数足够大时，盖面朝上的频率稳定在0.53左右，明显偏离0.5。如果瓶盖质地均匀，盖面朝上和朝下的概率应该都接近0.5，因此可以推断这枚瓶盖有很大可能性不是质地均匀的，故①正确。
2. 分析结论②：抛掷瓶盖属于随机试验，每次试验的结果都是随机的，第2000次试验的结果可能是盖面朝上，也可能是盖面朝下，不能说“一定是盖面朝上”，故②错误。
3. 分析结论③：观察表格中的频率数据，随着累计抛掷次数的增加，盖面朝上的频率逐渐在0.53附近波动，越来越稳定，因此随着试验次数的增大，“盖面朝上”的频率接近0.53，故③正确。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
频率估计概率；随机事件的特点
【点评】
本题核心考查用频率估计概率的应用，需要明确：只有大量重复试验得到的稳定频率才能估计事件的概率，单次随机试验的结果不受频率影响，具有不确定性，解题时要结合数据的变化趋势判断频率的稳定值。
【难度系数】
0.75
13. 某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘，商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在某一区域就可以获得相应的奖品。下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）上表中，$a=$
（2）请估计当$n$很大时，频率将会在一个常数
（3）转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
（第13题）
（1）上表中，$a=$
0.605
，$b=$472
。（2）请估计当$n$很大时，频率将会在一个常数
0.6
附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是0.6
。（3）转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
（第13题）答案
13. (1) 0.605 472 (2) 0.6 0.6 (3) $(1-0.6)× 360°=144°$，$\therefore$ 表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是$144°$
解析
【分析】
（1）求解a、b可依据频率的基本计算公式：频率=频数÷试验总次数，反过来频数=试验总次数×对应频率，找到对应组的数值代入计算即可；
（2）根据频率的稳定性规律：当试验次数n很大时，频率会稳定在某个常数（即事件发生的概率）附近，观察表格中频率的变化趋势，找到趋近的常数即可得到获得牛奶的概率；
（3）整个转盘的圆心角为360°，先计算出获得“面粉”的概率，再用概率乘360°即可求出对应扇形的圆心角度数。
【解析】
（1）根据频率计算公式可得：$a=\frac{605}{1000}=0.605$；$b=800×0.59=472$；
（2）观察表格中的频率数据，随着试验次数增加，频率逐渐趋近于0.6，因此当n很大时，频率将会在常数0.6附近摆动，根据频率估计概率的思想，转动转盘一次获得“牛奶”的概率约为0.6；
（3）转动转盘获得“面粉”的概率为$1-0.6=0.4$，因此“面粉”区域的扇形圆心角为：$(1-0.6)× 360°=144°$。
【答案】
(1) $0.605$；$472$
(2) $0.6$；$0.6$
(3) $144°$
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率；扇形圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景考查频率与概率的相关知识，注重知识点的实际应用，解题的核心是掌握频率的计算公式、频率稳定性的规律，能熟练结合概率计算扇形圆心角度数。
【难度系数】
0.7
（1）求解a、b可依据频率的基本计算公式：频率=频数÷试验总次数，反过来频数=试验总次数×对应频率，找到对应组的数值代入计算即可；
（2）根据频率的稳定性规律：当试验次数n很大时，频率会稳定在某个常数（即事件发生的概率）附近，观察表格中频率的变化趋势，找到趋近的常数即可得到获得牛奶的概率；
（3）整个转盘的圆心角为360°，先计算出获得“面粉”的概率，再用概率乘360°即可求出对应扇形的圆心角度数。
【解析】
（1）根据频率计算公式可得：$a=\frac{605}{1000}=0.605$；$b=800×0.59=472$；
（2）观察表格中的频率数据，随着试验次数增加，频率逐渐趋近于0.6，因此当n很大时，频率将会在常数0.6附近摆动，根据频率估计概率的思想，转动转盘一次获得“牛奶”的概率约为0.6；
（3）转动转盘获得“面粉”的概率为$1-0.6=0.4$，因此“面粉”区域的扇形圆心角为：$(1-0.6)× 360°=144°$。
【答案】
(1) $0.605$；$472$
(2) $0.6$；$0.6$
(3) $144°$
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率；扇形圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景考查频率与概率的相关知识，注重知识点的实际应用，解题的核心是掌握频率的计算公式、频率稳定性的规律，能熟练结合概率计算扇形圆心角度数。
【难度系数】
0.7
