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7. 某商场共有3扇门，购物者若从一扇门进，从另一扇门出，一共有多少种不同的走法？
若商场有4扇门，按以上走法有多少种？5扇门呢？n扇门呢？
若商场有4扇门，按以上走法有多少种？5扇门呢？n扇门呢？
答案
3扇门共有6种走法,4扇门共有12种走法,5扇门共有20种走法,n扇门共有$n(n-1)$种走法.提示:有3扇门时,从一扇门进,可以有两扇门出,故有两种走法,这样共有$3×2=6$种走法.其他情况同理可得
解析
【分析】
解题时可将走法拆分为“选进门”和“选出门”两个独立步骤分析：首先确定进门的可选数量，再根据“进出不能为同一扇门”的限制确定出门的可选数量，根据分步计数的思路，将两步的可选数量相乘即可得到总走法；再从3、4、5扇门的特殊情况推导到n扇门的一般规律即可。
【解析】
1. 当有3扇门时：
第一步选进门：共有3种不同的选择；
第二步选出门：不能与进门为同一扇，剩余2种选择；
总走法 = 进门选择数 × 出门选择数 = 3×2=6（种）。
2. 当有4扇门时：
进门有4种选择，出门有4-1=3种选择，总走法=4×3=12（种）。
3. 当有5扇门时：
进门有5种选择，出门有5-1=4种选择，总走法=5×4=20（种）。
4. 当有n扇门时：
进门有n种选择，出门不能与进门相同，有(n-1)种选择，总走法 = n×(n-1)=n(n-1)（种）。
【答案】
3扇门共有6种走法,4扇门共有12种走法,5扇门共有20种走法,n扇门共有$n(n-1)$种走法。
【知识点】
分步计数原理，规律归纳，代数式表示
【点评】
本题属于基础计数类题型，核心是明确走法的两个步骤和进出不同门的限制条件，通过特殊情况推导一般规律的思路，能很好地锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8
解题时可将走法拆分为“选进门”和“选出门”两个独立步骤分析：首先确定进门的可选数量，再根据“进出不能为同一扇门”的限制确定出门的可选数量，根据分步计数的思路，将两步的可选数量相乘即可得到总走法；再从3、4、5扇门的特殊情况推导到n扇门的一般规律即可。
【解析】
1. 当有3扇门时：
第一步选进门：共有3种不同的选择；
第二步选出门：不能与进门为同一扇，剩余2种选择；
总走法 = 进门选择数 × 出门选择数 = 3×2=6（种）。
2. 当有4扇门时：
进门有4种选择，出门有4-1=3种选择，总走法=4×3=12（种）。
3. 当有5扇门时：
进门有5种选择，出门有5-1=4种选择，总走法=5×4=20（种）。
4. 当有n扇门时：
进门有n种选择，出门不能与进门相同，有(n-1)种选择，总走法 = n×(n-1)=n(n-1)（种）。
【答案】
3扇门共有6种走法,4扇门共有12种走法,5扇门共有20种走法,n扇门共有$n(n-1)$种走法。
【知识点】
分步计数原理，规律归纳，代数式表示
【点评】
本题属于基础计数类题型，核心是明确走法的两个步骤和进出不同门的限制条件，通过特殊情况推导一般规律的思路，能很好地锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8
8. 将正面分别标有数字6、7、8，背面图案相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.
（1）随机抽取一张，求抽得偶数的概率$P(偶数)$.
（2）随机抽取一张作为个位上的数字，再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为“68”的概率是多少？
（1）随机抽取一张，求抽得偶数的概率$P(偶数)$.
（2）随机抽取一张作为个位上的数字，再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为“68”的概率是多少？
答案
（1）$P(偶数)=\frac{2}{3}$ （2）能组成的两位数为:67,68,76,78,86,87，恰好为“68”的概率是$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先明确随机抽取1张卡片的所有等可能结果总数，再找出其中抽到偶数的结果数，根据古典概型的概率计算公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）即可求解。
（2）求解第二问时，首先要注意抽取是不放回的，即个位和十位数字不能重复，按照固定十位的固定顺序列举出所有能组成的两位数，得到总结果数，再找出恰好是“68”的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果：抽到6、抽到7、抽到8，其中抽得偶数的结果有2种（抽到6、抽到8），因此：
$P(偶数)=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{2}{3}$
（2）由于是先后抽取两张卡片组成两位数，数字不可重复，按固定十位的方法列举所有可能的两位数：
① 十位为6时，个位可以是7、8，组成的数为67、68；
② 十位为7时，个位可以是6、8，组成的数为76、78；
③ 十位为8时，个位可以是6、7，组成的数为86、87；
因此能组成的两位数共有6种等可能的结果，其中恰好为“68”的结果只有1种，因此：
$P(恰好为68)=\frac{1}{6}$
【答案】
（1）$P(偶数)=\frac{2}{3}$
（2）能组成的两位数为:67,68,76,78,86,87，恰好为“68”的概率是$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，重点考查对概率公式的理解和运用，第二问解题的关键是注意不放回抽取的规则，列举时按照固定顺序可避免出现重复或遗漏的问题，熟练掌握基础方法即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
（1）求解第一问时，先明确随机抽取1张卡片的所有等可能结果总数，再找出其中抽到偶数的结果数，根据古典概型的概率计算公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）即可求解。
（2）求解第二问时，首先要注意抽取是不放回的，即个位和十位数字不能重复，按照固定十位的固定顺序列举出所有能组成的两位数，得到总结果数，再找出恰好是“68”的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果：抽到6、抽到7、抽到8，其中抽得偶数的结果有2种（抽到6、抽到8），因此：
$P(偶数)=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{2}{3}$
（2）由于是先后抽取两张卡片组成两位数，数字不可重复，按固定十位的方法列举所有可能的两位数：
① 十位为6时，个位可以是7、8，组成的数为67、68；
② 十位为7时，个位可以是6、8，组成的数为76、78；
③ 十位为8时，个位可以是6、7，组成的数为86、87；
因此能组成的两位数共有6种等可能的结果，其中恰好为“68”的结果只有1种，因此：
$P(恰好为68)=\frac{1}{6}$
【答案】
（1）$P(偶数)=\frac{2}{3}$
（2）能组成的两位数为:67,68,76,78,86,87，恰好为“68”的概率是$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，重点考查对概率公式的理解和运用，第二问解题的关键是注意不放回抽取的规则，列举时按照固定顺序可避免出现重复或遗漏的问题，熟练掌握基础方法即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
9. (河北中考)抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1、2、3中的一个数字),若向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$,出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$,则该木块不可能是 【 】
答案
A
解析
【分析】
要判断该木块不可能是哪个选项，首先根据概率公式计算出正方体6个面上数字1、2、3各自的面数：事件发生的概率=对应事件的面数÷总面数（共6个面），由此可算出1、2、3的面数。再结合“单个数字若只有1个面，不可能同时出现在两个相邻面上”的特点，逐一排查选项即可。
【解析】
首先计算各数字的面数：
正方体总共有6个面，
数字1的面数：$6×\frac{1}{2}=3$（个），
数字2的面数：$6×\frac{1}{3}=2$（个），
数字3的面数：$6-3-2=1$（个）。
由此可知，该正方体上仅1个面标有数字3，不可能有两个相邻的面同时为数字3。
观察各选项：
A选项的正面和右侧面都是数字3，两个相邻面均为3，说明至少有2个面标3，与计算结果矛盾，不可能符合条件；
B选项相邻面均为1，1共有3个面，可存在相邻的1，符合要求；
C选项仅1个面为3，符合要求；
D选项相邻面均为2，2共有2个面，可存在相邻的2，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
概率计算，正方体面的特征
【点评】
本题结合立体图形的性质考查概率的基础应用，解题关键是先根据概率算出各数字的面数，再结合相邻面的性质排查错误选项，难度不高。
【难度系数】
0.7
要判断该木块不可能是哪个选项，首先根据概率公式计算出正方体6个面上数字1、2、3各自的面数：事件发生的概率=对应事件的面数÷总面数（共6个面），由此可算出1、2、3的面数。再结合“单个数字若只有1个面，不可能同时出现在两个相邻面上”的特点，逐一排查选项即可。
【解析】
首先计算各数字的面数：
正方体总共有6个面，
数字1的面数：$6×\frac{1}{2}=3$（个），
数字2的面数：$6×\frac{1}{3}=2$（个），
数字3的面数：$6-3-2=1$（个）。
由此可知，该正方体上仅1个面标有数字3，不可能有两个相邻的面同时为数字3。
观察各选项：
A选项的正面和右侧面都是数字3，两个相邻面均为3，说明至少有2个面标3，与计算结果矛盾，不可能符合条件；
B选项相邻面均为1，1共有3个面，可存在相邻的1，符合要求；
C选项仅1个面为3，符合要求；
D选项相邻面均为2，2共有2个面，可存在相邻的2，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
概率计算，正方体面的特征
【点评】
本题结合立体图形的性质考查概率的基础应用，解题关键是先根据概率算出各数字的面数，再结合相邻面的性质排查错误选项，难度不高。
【难度系数】
0.7
10.（广西模拟）小明有四张纸牌，正面分别写着－2、－1、0、1，背面都写着m，那么在摸牌游戏中，小明能使方程$x^2 + x + m = 0$有实数根的概率为
$\frac{3}{4}$
.答案
10. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路分两步：第一步，先根据一元二次方程有实数根的条件，求出参数m的取值范围；第二步，确定摸牌的所有等可能结果，统计满足m取值范围的结果数量，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + x + m = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=1$，$c=m$。
方程有实数根的条件是$\Delta ≥ 0$，代入得：
$1^2 - 4×1× m ≥ 0$
$1 - 4m ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ \frac{1}{4}$
摸牌的所有等可能结果共4种，对应m的取值分别为-2、-1、0、1，其中满足$m ≤ \frac{1}{4}$的取值有-2、-1、0，共3种。
根据概率公式，所求概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$P=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，同时考察了方程和概率的相关知识，解题的关键是正确利用根的判别式求出m的取值范围，解不等式时要注意不等号的方向变化，再结合等可能事件的概率计算方法求解即可。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路分两步：第一步，先根据一元二次方程有实数根的条件，求出参数m的取值范围；第二步，确定摸牌的所有等可能结果，统计满足m取值范围的结果数量，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + x + m = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=1$，$c=m$。
方程有实数根的条件是$\Delta ≥ 0$，代入得：
$1^2 - 4×1× m ≥ 0$
$1 - 4m ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ \frac{1}{4}$
摸牌的所有等可能结果共4种，对应m的取值分别为-2、-1、0、1，其中满足$m ≤ \frac{1}{4}$的取值有-2、-1、0，共3种。
根据概率公式，所求概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$P=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，同时考察了方程和概率的相关知识，解题的关键是正确利用根的判别式求出m的取值范围，解不等式时要注意不等号的方向变化，再结合等可能事件的概率计算方法求解即可。
【难度系数】
0.7
11.(仁怀模拟)已知一次函数$y=(k-1)x-3$，其中k的值可以从-3、-2、0、2四个数中选取，则能使该函数的y值随x值的增大而减小的概率为
$\frac{3}{4}$
。答案
11. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题需要结合一次函数的增减性与概率公式求解。首先回忆一次函数的增减规律：当一次项系数小于0时，y随x的增大而减小，据此列出关于k的不等式，求出满足条件的k的取值范围；然后从给定的4个k值中统计符合范围的数值个数；最后根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果。
【解析】
对于一次函数$y=ax+b$（$a≠0$），若y值随x值的增大而减小，则需满足一次项系数$a＜0$。
针对本题的函数$y=(k-1)x-3$，可得不等式：$k-1＜0$，解得$k＜1$。
已知k可从-3、-2、0、2四个数中选取，共4种等可能的情况，其中满足$k＜1$的k值有-3、-2、0，共3种情况。
根据概率计算公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{所有等可能的情况数}$，代入得所求概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
一次函数的性质，概率计算
【点评】
本题是一次函数与概率的基础综合题，解题核心是先利用函数增减性确定参数的取值范围，再结合概率公式计算，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.75
本题需要结合一次函数的增减性与概率公式求解。首先回忆一次函数的增减规律：当一次项系数小于0时，y随x的增大而减小，据此列出关于k的不等式，求出满足条件的k的取值范围；然后从给定的4个k值中统计符合范围的数值个数；最后根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果。
【解析】
对于一次函数$y=ax+b$（$a≠0$），若y值随x值的增大而减小，则需满足一次项系数$a＜0$。
针对本题的函数$y=(k-1)x-3$，可得不等式：$k-1＜0$，解得$k＜1$。
已知k可从-3、-2、0、2四个数中选取，共4种等可能的情况，其中满足$k＜1$的k值有-3、-2、0，共3种情况。
根据概率计算公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{所有等可能的情况数}$，代入得所求概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
一次函数的性质，概率计算
【点评】
本题是一次函数与概率的基础综合题，解题核心是先利用函数增减性确定参数的取值范围，再结合概率公式计算，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.75
12. 如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字.（当指针恰好指在分界线上时不计次数，然后重转）
（1）转动转盘，转出的数字小于4的概率是
（2）随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，并与数字2和4分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率.
（1）转动转盘，转出的数字小于4的概率是
$\frac{1}{3}$
；（2）随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，并与数字2和4分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率.
答案
12.（1）$\frac{1}{3}$ （2）$\because$构成三角形的条件是两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,$\therefore 4-2=2＜$第三边$＜2+4=6$.$\therefore$与数字2和4分别作为三条线段长度的有3、4、5这3种可能结果.$\therefore$能构成三角形的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
（1）首先明确转盘被平均分为6等份，转动转盘时转出每个数字是等可能的，总共有6种等可能结果，先筛选出小于4的数字，统计其数量，再根据概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可。
（2）先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两条边长为2和4，先求出第三条边的取值范围，再从转盘的6个数字中找出符合取值范围的数字，统计数量后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）转盘被平均分成6等份，转出2、3、4、5、6、7这6个数字是等可能的，共6种等可能结果。
其中转出的数字小于4的有2、3，共2种结果，
因此转出的数字小于4的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）设转出的数字为第三边的长度，记为$x$，根据三角形三边关系：
两边之差＜第三边＜两边之和，即 $4-2 ＜ x ＜ 4+2$，
解得 $2 ＜ x ＜ 6$。
在2、3、4、5、6、7这6个数字中，满足$2 ＜ x ＜ 6$的数字有3、4、5，共3种结果，
因此这三条线段能构成三角形的概率为 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
概率的计算，三角形三边关系，等可能事件
【点评】
本题将概率计算与几何知识点结合，重点考查基础概念的应用能力，解题的关键是准确筛选出符合条件的结果数，整体解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确转盘被平均分为6等份，转动转盘时转出每个数字是等可能的，总共有6种等可能结果，先筛选出小于4的数字，统计其数量，再根据概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可。
（2）先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两条边长为2和4，先求出第三条边的取值范围，再从转盘的6个数字中找出符合取值范围的数字，统计数量后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）转盘被平均分成6等份，转出2、3、4、5、6、7这6个数字是等可能的，共6种等可能结果。
其中转出的数字小于4的有2、3，共2种结果，
因此转出的数字小于4的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）设转出的数字为第三边的长度，记为$x$，根据三角形三边关系：
两边之差＜第三边＜两边之和，即 $4-2 ＜ x ＜ 4+2$，
解得 $2 ＜ x ＜ 6$。
在2、3、4、5、6、7这6个数字中，满足$2 ＜ x ＜ 6$的数字有3、4、5，共3种结果，
因此这三条线段能构成三角形的概率为 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
概率的计算，三角形三边关系，等可能事件
【点评】
本题将概率计算与几何知识点结合，重点考查基础概念的应用能力，解题的关键是准确筛选出符合条件的结果数，整体解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
