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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°, BC = 1$，$AC = \sqrt{3}$，那么$\tan B$的值是________。
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。接下来确定所求角$∠ B$的对边和邻边：已知$∠ C=90°$，因此$∠ B$的对边是$AC$，邻边是$BC$，最后代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
根据正切的定义可得：$\tan B = \frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边} = \frac{AC}{BC}$，
将$BC=1$，$AC=\sqrt{3}$代入上式，
得$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考查题，解题核心是准确识别直角三角形中对应锐角的对边和邻边，牢记正切的运算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。接下来确定所求角$∠ B$的对边和邻边：已知$∠ C=90°$，因此$∠ B$的对边是$AC$，邻边是$BC$，最后代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
根据正切的定义可得：$\tan B = \frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边} = \frac{AC}{BC}$，
将$BC=1$，$AC=\sqrt{3}$代入上式，
得$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考查题，解题核心是准确识别直角三角形中对应锐角的对边和邻边，牢记正切的运算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 如图4-1-25,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$, $AB:AC=5:3$,那么$∠ A$的三个三角函数值分别为：$\sin A =$ 
$\frac{4}{5}$
, $\cos A =$ $\frac{3}{5}$
, $\tan A =$ $\frac{4}{3}$
. 答案
2. $\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数求值的基础题，解题思路如下：首先根据已知的边的比例关系，采用设参数的方法表示出两条边的长度；再利用勾股定理求出第三条边的长度；最后根据锐角三角函数的定义，分别找到∠A的对边、邻边和斜边，计算对应的比值即可。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$，$AB:AC=5:3$
∴ 可设$AB=5k$，$AC=3k$（$k＞0$）
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=\sqrt{25k^2-9k^2}=\sqrt{16k^2}=4k$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$
$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$
$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，比例设参
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础练习题，解题的核心是明确各锐角三角函数对应的边的比例关系，结合勾股定理求出未知边，通过设参数的方法可有效简化比例类计算，掌握基础定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数求值的基础题，解题思路如下：首先根据已知的边的比例关系，采用设参数的方法表示出两条边的长度；再利用勾股定理求出第三条边的长度；最后根据锐角三角函数的定义，分别找到∠A的对边、邻边和斜边，计算对应的比值即可。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$，$AB:AC=5:3$
∴ 可设$AB=5k$，$AC=3k$（$k＞0$）
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=\sqrt{25k^2-9k^2}=\sqrt{16k^2}=4k$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$
$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$
$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，比例设参
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础练习题，解题的核心是明确各锐角三角函数对应的边的比例关系，结合勾股定理求出未知边，通过设参数的方法可有效简化比例类计算，掌握基础定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=3$，则$\sin B=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$\frac{\sqrt{10}}{10}$
解析
【分析】
本题属于直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据正切函数的定义，明确tanA是∠A的对边与邻边的比值，由此可设参数表示两条直角边的长度；再利用勾股定理求出斜边的长度；最后根据正弦函数的定义，找到∠B的对边与斜边的比值，化简即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=3$
设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=3k$。
根据勾股定理，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(3k)^2}=\sqrt{10k^2}=\sqrt{10}k$。
根据锐角正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，代入边长得：
$\sin B=\frac{k}{\sqrt{10}k}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心是掌握各类锐角三角函数对应的边的比值关系，通过设参数的方式可以避免具体数值的限制，计算时注意最终结果要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题属于直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据正切函数的定义，明确tanA是∠A的对边与邻边的比值，由此可设参数表示两条直角边的长度；再利用勾股定理求出斜边的长度；最后根据正弦函数的定义，找到∠B的对边与斜边的比值，化简即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正切的定义：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=3$
设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=3k$。
根据勾股定理，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(3k)^2}=\sqrt{10k^2}=\sqrt{10}k$。
根据锐角正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，代入边长得：
$\sin B=\frac{k}{\sqrt{10}k}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心是掌握各类锐角三角函数对应的边的比值关系，通过设参数的方式可以避免具体数值的限制，计算时注意最终结果要将二次根式化为最简形式。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\tan A = \frac{1}{2}$，则$\sin A + \cos A =$
$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
.答案
4. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知正切值求正弦与余弦和的问题，解题思路如下：①先回忆锐角三角函数的定义，$\tan A$是角$A$的对边与邻边的比值，可通过设参数的方式表示出两条直角边的长度；②再利用勾股定理求出斜边的长度；③最后根据正弦、余弦的定义分别求出$\sin A$和$\cos A$的值，相加即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$
$\therefore$ 设$BC = k$（$k＞0$），则$AC = 2k$
由勾股定理得，斜边$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{k^2 + (2k)^2} = \sqrt{5k^2} = \sqrt{5}k$
$\therefore$ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{\sqrt{5}k} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2k}{\sqrt{5}k} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\therefore$ $\sin A + \cos A = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础常考题，核心考查对三角函数定义的理解，通过设参数表示边长的方法可以快速求解，熟练掌握三角函数的定义是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中已知正切值求正弦与余弦和的问题，解题思路如下：①先回忆锐角三角函数的定义，$\tan A$是角$A$的对边与邻边的比值，可通过设参数的方式表示出两条直角边的长度；②再利用勾股定理求出斜边的长度；③最后根据正弦、余弦的定义分别求出$\sin A$和$\cos A$的值，相加即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$
$\therefore$ 设$BC = k$（$k＞0$），则$AC = 2k$
由勾股定理得，斜边$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{k^2 + (2k)^2} = \sqrt{5k^2} = \sqrt{5}k$
$\therefore$ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{\sqrt{5}k} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2k}{\sqrt{5}k} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\therefore$ $\sin A + \cos A = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础常考题，核心考查对三角函数定义的理解，通过设参数表示边长的方法可以快速求解，熟练掌握三角函数的定义是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
5. $\sin 60°$，$\cos 45°$，$\sin 30°$之间的大小关系是
$\sin30° ＜ \cos45° ＜ \sin60°$
.答案
5. $\sin30° ＜ \cos45° ＜ \sin60°$
解析
【分析】
要比较这三个锐角三角函数值的大小，我们可以先回忆并写出30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，由于三个值的分母相同，直接比较分子的大小即可得出三者的大小关系。
【解析】
解：先写出各三角函数的准确值：
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$
由于三个数均为正数，且分母均为2，分子满足$1＜\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，因此可得：
$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$
即$\sin30° ＜ \cos45° ＜ \sin60°$
【答案】
$\sin30° ＜ \cos45° ＜ \sin60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，只要能准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦值，就能快速完成大小比较。
【难度系数】
0.9
要比较这三个锐角三角函数值的大小，我们可以先回忆并写出30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，由于三个值的分母相同，直接比较分子的大小即可得出三者的大小关系。
【解析】
解：先写出各三角函数的准确值：
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$
由于三个数均为正数，且分母均为2，分子满足$1＜\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，因此可得：
$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$
即$\sin30° ＜ \cos45° ＜ \sin60°$
【答案】
$\sin30° ＜ \cos45° ＜ \sin60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，只要能准确记忆30°、45°、60°的正弦、余弦值，就能快速完成大小比较。
【难度系数】
0.9
6.在$△ ABC$中,已知$∠ A+∠ B=90°,$那么$\tan A· \tan B=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }.$
答案
6. 1
解析
【分析】
首先根据已知条件∠A+∠B=90°，可得出∠A与∠B互余，即∠B=90°-∠A。结合锐角三角函数中互余两角的正切与余切的转换关系，以及同角正切和余切互为倒数的性质，即可求出tanA·tanB的结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠A+∠B=90°
∴∠B=90°-∠A
根据互余锐角的三角函数关系：$\tan(90°-α)=\cotα$
可得$\tan B=\tan(90°-∠A)=\cot∠A$
又
∵同角的正切与余切互为倒数，即$\cotα=\frac{1}{\tanα}$
∴$\tan A·\tan B=\tan A·\cot A=\tan A·\frac{1}{\tan A}=1$（∠A为锐角，$\tan A≠0$）
【答案】
1
【知识点】
互余角的三角函数性质；同角三角函数的倒数关系
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查互余锐角的三角函数转换规则，熟练掌握互余角的三角函数关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先根据已知条件∠A+∠B=90°，可得出∠A与∠B互余，即∠B=90°-∠A。结合锐角三角函数中互余两角的正切与余切的转换关系，以及同角正切和余切互为倒数的性质，即可求出tanA·tanB的结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠A+∠B=90°
∴∠B=90°-∠A
根据互余锐角的三角函数关系：$\tan(90°-α)=\cotα$
可得$\tan B=\tan(90°-∠A)=\cot∠A$
又
∵同角的正切与余切互为倒数，即$\cotα=\frac{1}{\tanα}$
∴$\tan A·\tan B=\tan A·\cot A=\tan A·\frac{1}{\tan A}=1$（∠A为锐角，$\tan A≠0$）
【答案】
1
【知识点】
互余角的三角函数性质；同角三角函数的倒数关系
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查互余锐角的三角函数转换规则，熟练掌握互余角的三角函数关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
7. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$为锐角，$\sin A = \dfrac{1}{2}$，$\tan B = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，则$△ ABC$的形状为
等腰三角形
。答案
7. 等腰三角形
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需先确定三个内角的度数，解题思路如下：第一步，结合∠A、∠B为锐角的条件，根据特殊锐角的三角函数值，分别求出∠A和∠B的度数；第二步，观察两个角的数量关系，结合等腰三角形的判定规则即可判断三角形形状。
【解析】
解：
∵∠A为锐角，且$\sin A=\dfrac{1}{2}$，
∴$∠ A=30°$，
∵∠B为锐角，且$\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠ B=30°$，
∴$∠ A=∠ B$，
根据等角对等边可得$AC=BC$，因此△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
特殊角的三角函数值；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度，只要能准确识记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，结合角的关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，需先确定三个内角的度数，解题思路如下：第一步，结合∠A、∠B为锐角的条件，根据特殊锐角的三角函数值，分别求出∠A和∠B的度数；第二步，观察两个角的数量关系，结合等腰三角形的判定规则即可判断三角形形状。
【解析】
解：
∵∠A为锐角，且$\sin A=\dfrac{1}{2}$，
∴$∠ A=30°$，
∵∠B为锐角，且$\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠ B=30°$，
∴$∠ A=∠ B$，
根据等角对等边可得$AC=BC$，因此△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
特殊角的三角函数值；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度，只要能准确识记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，结合角的关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 4$，$AB = 5$，则$\cos A$的值是…………【 】
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
C
解析
【分析】
要求cosA的值，首先回忆锐角余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题已知斜边AB的长度，需要先求出∠A的邻边AC的长度，结合∠C=90°，可先用勾股定理计算AC的长度，再代入余弦定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理
2. 余弦的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的基本概念和勾股定理的简单应用，牢记各锐角三角函数对应的边的比例关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要求cosA的值，首先回忆锐角余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题已知斜边AB的长度，需要先求出∠A的邻边AC的长度，结合∠C=90°，可先用勾股定理计算AC的长度，再代入余弦定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理
2. 余弦的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的基本概念和勾股定理的简单应用，牢记各锐角三角函数对应的边的比例关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,若各边长度都缩小为原来的一半,则锐角$A$的三角函数值【 】
A.都缩小为原来的一半
B.都扩大为原来的2倍
C.没有变化
D.无法确定
A.都缩小为原来的一半
B.都扩大为原来的2倍
C.没有变化
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确锐角三角函数的定义：锐角的三角函数值是直角三角形中对应两条边的比值，其大小只和锐角的度数有关，和边的绝对长度无关。我们可以先写出原三角形中锐角A的各三角函数表达式，再计算边长缩小后的三角函数表达式，对比二者是否变化即可得出结论。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
当各边长度都缩小为原来的一半时，新的对边为$\frac{1}{2}a$，新的邻边为$\frac{1}{2}b$，新的斜边为$\frac{1}{2}c$，此时：
$\sin A'=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}c}=\frac{a}{c}=\sin A$，
$\cos A'=\frac{\frac{1}{2}b}{\frac{1}{2}c}=\frac{b}{c}=\cos A$，
$\tan A'=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}=\tan A$。
可见锐角$A$的所有三角函数值都没有变化，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于理解锐角三角函数的本质是边的比值，其大小仅由角的度数决定，与直角三角形的边长缩放无关，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确锐角三角函数的定义：锐角的三角函数值是直角三角形中对应两条边的比值，其大小只和锐角的度数有关，和边的绝对长度无关。我们可以先写出原三角形中锐角A的各三角函数表达式，再计算边长缩小后的三角函数表达式，对比二者是否变化即可得出结论。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
当各边长度都缩小为原来的一半时，新的对边为$\frac{1}{2}a$，新的邻边为$\frac{1}{2}b$，新的斜边为$\frac{1}{2}c$，此时：
$\sin A'=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}c}=\frac{a}{c}=\sin A$，
$\cos A'=\frac{\frac{1}{2}b}{\frac{1}{2}c}=\frac{b}{c}=\cos A$，
$\tan A'=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}=\tan A$。
可见锐角$A$的所有三角函数值都没有变化，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于理解锐角三角函数的本质是边的比值，其大小仅由角的度数决定，与直角三角形的边长缩放无关，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
10. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ B = 30°$，则$6\sin A · \tan B$的值是 ………………【 】
A.$3\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$3$
A.$3\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$3$
答案
D
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，根据三角形内角和为180°，结合已知的直角和∠B的度数，先求出∠A的度数；第二步，回忆特殊锐角（30°、60°）的三角函数值，分别写出sinA和tanB的具体数值；第三步，将数值代入算式计算，得出结果后匹配选项即可。
【解析】
解：在$△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=30°$，
根据三角形内角和定理得：
$∠A=180°-∠C-∠B=180°-90°-30°=60°$，
根据特殊角的三角函数值可知：
$\sin A=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
代入算式计算：
$6\sin A·\tan B=6×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=6×\frac{3}{6}=3$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 特殊角的三角函数值
3. 二次根式乘法运算
【点评】
本题是基础计算题，核心考查特殊锐角三角函数值的应用，只要熟练记忆30°、45°、60°角的三角函数值，结合简单的代数运算即可顺利求解，是锐角三角函数章节的常规题型。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步，根据三角形内角和为180°，结合已知的直角和∠B的度数，先求出∠A的度数；第二步，回忆特殊锐角（30°、60°）的三角函数值，分别写出sinA和tanB的具体数值；第三步，将数值代入算式计算，得出结果后匹配选项即可。
【解析】
解：在$△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=30°$，
根据三角形内角和定理得：
$∠A=180°-∠C-∠B=180°-90°-30°=60°$，
根据特殊角的三角函数值可知：
$\sin A=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
代入算式计算：
$6\sin A·\tan B=6×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=6×\frac{3}{6}=3$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 特殊角的三角函数值
3. 二次根式乘法运算
【点评】
本题是基础计算题，核心考查特殊锐角三角函数值的应用，只要熟练记忆30°、45°、60°角的三角函数值，结合简单的代数运算即可顺利求解，是锐角三角函数章节的常规题型。
【难度系数】
0.8
11.如图4-1-26所示，一块直角三角形纸板，剪去空白部分后，剩下的阴影部分能折成一个正方体，那么这块三角形纸板满足$\tan B$等于 ……【 】
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{5}$
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，我们可以按以下思路思考：首先，折成的正方体的每条棱长相等，因此所有阴影小正方形的边长都相等，我们可以设小正方形边长为1简化计算；其次，要求$\tan B$的值，根据锐角三角函数的定义，$\tan B$是$Rt△ ABC$中角$B$的对边与邻边的比值，也等于斜边$AB$的倾斜程度即竖直下降高度与水平前进长度的比值；最后，我们找到斜边$AB$经过的两个小正方形的顶点坐标，计算两点的竖直变化量和水平变化量的比值，即可得到$\tan B$的值。
【解析】
设每个阴影小正方形的边长为1，将直角顶点$C$作为坐标原点，边$AC$放在$y$轴正方向，边$BC$放在$x$轴正方向。
观察图形可得，斜边$AB$经过两个小正方形的顶点，两点水平方向的距离为2，竖直方向的高度差为1。
根据正切的定义，$\tan B$为角$B$的对边与邻边的比值，等于竖直变化量与水平变化量的比值，即：
$\tan B=\frac{\mathrm{竖直下降的长度}}{\mathrm{水平前进的长度}}=\frac{1}{2}$
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，正方体展开图，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是几何综合题，结合了立体图形展开与锐角三角函数的相关知识，解题的关键是合理设出小正方形边长，利用数形结合的思想分析斜边的倾斜程度，能够很好地考查学生的知识迁移能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，我们可以按以下思路思考：首先，折成的正方体的每条棱长相等，因此所有阴影小正方形的边长都相等，我们可以设小正方形边长为1简化计算；其次，要求$\tan B$的值，根据锐角三角函数的定义，$\tan B$是$Rt△ ABC$中角$B$的对边与邻边的比值，也等于斜边$AB$的倾斜程度即竖直下降高度与水平前进长度的比值；最后，我们找到斜边$AB$经过的两个小正方形的顶点坐标，计算两点的竖直变化量和水平变化量的比值，即可得到$\tan B$的值。
【解析】
设每个阴影小正方形的边长为1，将直角顶点$C$作为坐标原点，边$AC$放在$y$轴正方向，边$BC$放在$x$轴正方向。
观察图形可得，斜边$AB$经过两个小正方形的顶点，两点水平方向的距离为2，竖直方向的高度差为1。
根据正切的定义，$\tan B$为角$B$的对边与邻边的比值，等于竖直变化量与水平变化量的比值，即：
$\tan B=\frac{\mathrm{竖直下降的长度}}{\mathrm{水平前进的长度}}=\frac{1}{2}$
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，正方体展开图，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是几何综合题，结合了立体图形展开与锐角三角函数的相关知识，解题的关键是合理设出小正方形边长，利用数形结合的思想分析斜边的倾斜程度，能够很好地考查学生的知识迁移能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
12. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°, BC = 12,$ $\sin A = 0.6,$则$AC$的长是…………【 】
A.12
B.16
C.20
D.24
A.12
B.16
C.20
D.24
答案
B
解析
【分析】
本题是直角三角形中结合锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先根据锐角正弦的定义，∠A的正弦值等于它的对边与斜边的比值，结合已知的BC长度和sinA的值，先求出斜边AB的长度；再利用勾股定理，即可计算出直角边AC的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可知：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
已知$BC=12$，$\sin A=0.6$，代入得：
$0.6=\frac{12}{AB}$，解得$AB=\frac{12}{0.6}=20$
再根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，代入数值计算：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{20^2 - 12^2}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$
因此AC的长为16，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形中锐角三角函数的基本应用和勾股定理的计算，熟练掌握相关定义和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中结合锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先根据锐角正弦的定义，∠A的正弦值等于它的对边与斜边的比值，结合已知的BC长度和sinA的值，先求出斜边AB的长度；再利用勾股定理，即可计算出直角边AC的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可知：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
已知$BC=12$，$\sin A=0.6$，代入得：
$0.6=\frac{12}{AB}$，解得$AB=\frac{12}{0.6}=20$
再根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，代入数值计算：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{20^2 - 12^2}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$
因此AC的长为16，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形中锐角三角函数的基本应用和勾股定理的计算，熟练掌握相关定义和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，如果 $2a = 3b$，那么下列关系错误的是 ………………【$\boldsymbol{}$】
A.$\sin A = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}$
B.$\sin B = \dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
C.$\tan A = \dfrac{2}{3}$
D.$\tan B = \dfrac{2}{3}$
A.$\sin A = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}$
B.$\sin B = \dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
C.$\tan A = \dfrac{2}{3}$
D.$\tan B = \dfrac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题是直角三角形背景下的锐角三角函数判断题，解题思路如下：首先结合已知条件2a=3b，用设参数的方法将两条直角边用同一参数表示，再利用勾股定理求出斜边长度，最后根据锐角三角函数（正弦、正切）的定义，分别计算各选项中的三角函数值，对比判断出错误选项即可。
【解析】
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$，$2a=3b$，
∴ 可设$a=3k$，$b=2k$（$k＞0$），
由勾股定理得斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(3k)^2+(2k)^2}=\sqrt{13}k$。
接下来逐一验证选项：
A. $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}=\frac{3k}{\sqrt{13}k}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，计算正确，不符合题意；
B. $\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{2k}{\sqrt{13}k}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，计算正确，不符合题意；
C. $\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}≠\frac{2}{3}$，计算错误，符合题意；
D. $\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$，计算正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，设参数法是处理边长比例类问题的常用技巧，解题时需注意区分不同锐角的对边和邻边，避免因混淆边的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形背景下的锐角三角函数判断题，解题思路如下：首先结合已知条件2a=3b，用设参数的方法将两条直角边用同一参数表示，再利用勾股定理求出斜边长度，最后根据锐角三角函数（正弦、正切）的定义，分别计算各选项中的三角函数值，对比判断出错误选项即可。
【解析】
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$，$2a=3b$，
∴ 可设$a=3k$，$b=2k$（$k＞0$），
由勾股定理得斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(3k)^2+(2k)^2}=\sqrt{13}k$。
接下来逐一验证选项：
A. $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}=\frac{3k}{\sqrt{13}k}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，计算正确，不符合题意；
B. $\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{2k}{\sqrt{13}k}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，计算正确，不符合题意；
C. $\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}≠\frac{2}{3}$，计算错误，符合题意；
D. $\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$，计算正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，设参数法是处理边长比例类问题的常用技巧，解题时需注意区分不同锐角的对边和邻边，避免因混淆边的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
