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15.如图4-1-22,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=12$,将$△ BCD$沿$BD$翻折,点$C$恰好落在$AB$的中点$D'$处.求$∠ A$的度数及$AC$的长.
答案
$∠A = 30°$, $AC = 12\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解题时首先从翻折变换的性质入手，翻折前后图形全等，可得对应边、对应角相等，即$BC=BD'$，$∠ BD'D=∠ C=90°$。再结合$D'$是$AB$中点的条件，可推导出$BC$与$AB$的数量关系，利用直角三角形中直角边和斜边的数量关系即可求出$∠ A$的度数，最后通过勾股定理或三角函数计算$AC$的长度。
【解析】
1. 由翻折的性质可得$△ BCD ≌ △ BD'D$，因此$BC=BD'$，$∠ BD'D=∠ C=90°$。
2. 已知$D'$是$AB$的中点，因此$BD'=\frac{1}{2}AB$，等量代换得$BC=\frac{1}{2}AB$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，直角边$BC$等于斜边$AB$的一半，因此$BC$所对的锐角$∠ A=30°$。
4. 已知$BC=12$，则$AB=2BC=2×12=24$。
5. 根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{24^2-12^2}=\sqrt{576-144}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}$。
【答案】
$∠ A = 30°$，$AC = 12\sqrt{3}$
【知识点】
翻折的性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过翻折的性质建立边的等量关系，结合直角三角形的性质求解，能够有效考查学生对图形变换和直角三角形相关性质的掌握程度，是常考的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从翻折变换的性质入手，翻折前后图形全等，可得对应边、对应角相等，即$BC=BD'$，$∠ BD'D=∠ C=90°$。再结合$D'$是$AB$中点的条件，可推导出$BC$与$AB$的数量关系，利用直角三角形中直角边和斜边的数量关系即可求出$∠ A$的度数，最后通过勾股定理或三角函数计算$AC$的长度。
【解析】
1. 由翻折的性质可得$△ BCD ≌ △ BD'D$，因此$BC=BD'$，$∠ BD'D=∠ C=90°$。
2. 已知$D'$是$AB$的中点，因此$BD'=\frac{1}{2}AB$，等量代换得$BC=\frac{1}{2}AB$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，直角边$BC$等于斜边$AB$的一半，因此$BC$所对的锐角$∠ A=30°$。
4. 已知$BC=12$，则$AB=2BC=2×12=24$。
5. 根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{24^2-12^2}=\sqrt{576-144}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}$。
【答案】
$∠ A = 30°$，$AC = 12\sqrt{3}$
【知识点】
翻折的性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过翻折的性质建立边的等量关系，结合直角三角形的性质求解，能够有效考查学生对图形变换和直角三角形相关性质的掌握程度，是常考的典型题型。
【难度系数】
0.7
16. 如图 4-1-23, 在 $△ ABC$ 中, $∠ B = 2∠ C$, 点 $D$ 在 $BC$ 边上, 且 $AD ⊥ AC$. 求证: $CD = 2AB$. 
答案
提示:作斜边上的中线 $AE$, 则 $CD = 2AE$,再证 $∠AEB = ∠C + ∠CAE = 2∠C = ∠B$。
解析
【分析】
首先由已知AD⊥AC可得△ADC是直角三角形，要证CD=2AB，可结合直角三角形“斜边上的中线等于斜边的一半”的性质，先作CD边上的中线AE，此时CD=2AE，接下来只需证明AE=AB即可。要证线段相等可通过“等角对等边”推导：已知∠B=2∠C，由AE=CE可得∠C=∠CAE，再利用三角形外角性质可推出∠AEB=2∠C=∠B，即可得AB=AE，最终完成证明。
【解析】
证明：取CD的中点E，连接AE。
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，即$△ ADC$为直角三角形。
∵ E是Rt$△ ADC$斜边CD的中点，
∴ $AE=CE=DE=\frac{1}{2}CD$，即$CD=2AE$。
∵ $AE=CE$，
∴ $∠ C=∠ CAE$。
∵ $∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
∴ $∠ AEB=∠ C+∠ CAE=2∠ C$。
又
∵ $∠ B=2∠ C$，
∴ $∠ AEB=∠ B$，
∴ $AB=AE$。
等量代换可得$CD=2AB$。
【答案】
$CD=2AB$，命题得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是几何证明的典型题型，解题关键是合理构造直角三角形斜边中线的辅助线，将线段倍分关系转化为线段相等的证明，再结合角的等量关系和等腰三角形判定即可推导结论，能较好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先由已知AD⊥AC可得△ADC是直角三角形，要证CD=2AB，可结合直角三角形“斜边上的中线等于斜边的一半”的性质，先作CD边上的中线AE，此时CD=2AE，接下来只需证明AE=AB即可。要证线段相等可通过“等角对等边”推导：已知∠B=2∠C，由AE=CE可得∠C=∠CAE，再利用三角形外角性质可推出∠AEB=2∠C=∠B，即可得AB=AE，最终完成证明。
【解析】
证明：取CD的中点E，连接AE。
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，即$△ ADC$为直角三角形。
∵ E是Rt$△ ADC$斜边CD的中点，
∴ $AE=CE=DE=\frac{1}{2}CD$，即$CD=2AE$。
∵ $AE=CE$，
∴ $∠ C=∠ CAE$。
∵ $∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
∴ $∠ AEB=∠ C+∠ CAE=2∠ C$。
又
∵ $∠ B=2∠ C$，
∴ $∠ AEB=∠ B$，
∴ $AB=AE$。
等量代换可得$CD=2AB$。
【答案】
$CD=2AB$，命题得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是几何证明的典型题型，解题关键是合理构造直角三角形斜边中线的辅助线，将线段倍分关系转化为线段相等的证明，再结合角的等量关系和等腰三角形判定即可推导结论，能较好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
17. 如图4-1-24,在左图所示$△ ABC$纸片中,$∠ ACB = 90°,AC = 8,BC = 6$,沿斜边AB上的中线CD把纸片剪成$△ AC_1D_1$和$△ BC_2D_2$,将$△ AC_1D_1$沿AB方向平移得到右图(点$A,D_2,D_1,B$在一条直线上),$C_1D_1$与$BC_2$交于点$E,AC_1$与$C_2D_2,BC_2$分别交于点$F,G$.
(1) 试说明$D_1E$与$D_2F$的大小关系.
(2) 若$D_1D_2 = 3$,求五边形$EGFD_2D_1$的面积.
(1) 试说明$D_1E$与$D_2F$的大小关系.
(2) 若$D_1D_2 = 3$,求五边形$EGFD_2D_1$的面积.
答案
17. 提示: 证 $△AFD_2 ∽ △ACD$, $△BED_1 ∽ △BCD$, $△AGB ∽ △ABC$。
(1) $D_1E = D_2F$。
(2) 7.92。
(1) $D_1E = D_2F$。
(2) 7.92。
解析
【分析】
(1) 首先利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AD=BD，结合平移的性质可知对应角相等，可证△AFD₂∽△ACD、△BED₁∽△BCD，再由平移推出AD₂=BD₁，即可得到D₁E与D₂F的数量关系；
(2) 先通过勾股定理计算AB的长度，得到AD=BD=5，结合D₁D₂=3求出AD₂、BD₁和AB的长度；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别计算△AGB、△AFD₂、△BED₁的面积，五边形的面积等于△AGB的面积减去两个小三角形的面积即可。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD。
由平移的性质可得：$C_1D_1// CD$，$C_2D_2// CD$，
∴∠AD₂F=∠ADC，∠BD₁E=∠BDC，
又
∵∠A是△AFD₂和△ACD的公共角，∠B是△BED₁和△BCD的公共角，
∴△AFD₂∽△ACD，△BED₁∽△BCD，
∴$\frac{D_2F}{CD}=\frac{AD_2}{AD}$，$\frac{D_1E}{CD}=\frac{BD_1}{BD}$。
由平移可知$AD_1=BD_2=AD=BD$，
∴$AD_1-D_1D_2=BD_2-D_1D_2$，即$AD_2=BD_1$，
∴$\frac{D_2F}{CD}=\frac{D_1E}{CD}$，即$D_1E=D_2F$。
(2) 解：
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=5$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×6=24$，$S_{△ ACD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12$。
已知$D_1D_2=3$，
∴$AD_2=BD_1=AD-D_1D_2=5-3=2$，
∴平移后线段AB的长度为：$AB=AD_2+D_1D_2+D_1B=2+3+2=7$。
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△AGB∽△ABC，相似比为$\frac{AB}{10}=\frac{7}{10}$，
∴$S_{△ AGB}=(\frac{7}{10})^2× S_{△ ABC}=\frac{49}{100}×24=11.76$。
∵△AFD₂∽△ACD，相似比为$\frac{AD_2}{AD}=\frac{2}{5}$，
∴$S_{△ AFD_2}=(\frac{2}{5})^2× S_{△ ACD}=\frac{4}{25}×12=1.92$，
同理可得$S_{△ BED_1}=1.92$。
∴五边形$EGFD_2D_1$的面积为：
$S_{△ AGB}-S_{△ AFD_2}-S_{△ BED_1}=11.76-1.92-1.92=7.92$。
【答案】
(1) $D_1E=D_2F$；
(2) $7.92$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；相似三角形的判定与性质；平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是准确找到各相似三角形的相似比，利用面积比等于相似比的平方进行计算，要熟练掌握平移前后对应边、对应角相等的性质。
【难度系数】
0.6
(1) 首先利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AD=BD，结合平移的性质可知对应角相等，可证△AFD₂∽△ACD、△BED₁∽△BCD，再由平移推出AD₂=BD₁，即可得到D₁E与D₂F的数量关系；
(2) 先通过勾股定理计算AB的长度，得到AD=BD=5，结合D₁D₂=3求出AD₂、BD₁和AB的长度；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别计算△AGB、△AFD₂、△BED₁的面积，五边形的面积等于△AGB的面积减去两个小三角形的面积即可。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD。
由平移的性质可得：$C_1D_1// CD$，$C_2D_2// CD$，
∴∠AD₂F=∠ADC，∠BD₁E=∠BDC，
又
∵∠A是△AFD₂和△ACD的公共角，∠B是△BED₁和△BCD的公共角，
∴△AFD₂∽△ACD，△BED₁∽△BCD，
∴$\frac{D_2F}{CD}=\frac{AD_2}{AD}$，$\frac{D_1E}{CD}=\frac{BD_1}{BD}$。
由平移可知$AD_1=BD_2=AD=BD$，
∴$AD_1-D_1D_2=BD_2-D_1D_2$，即$AD_2=BD_1$，
∴$\frac{D_2F}{CD}=\frac{D_1E}{CD}$，即$D_1E=D_2F$。
(2) 解：
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=5$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×6=24$，$S_{△ ACD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12$。
已知$D_1D_2=3$，
∴$AD_2=BD_1=AD-D_1D_2=5-3=2$，
∴平移后线段AB的长度为：$AB=AD_2+D_1D_2+D_1B=2+3+2=7$。
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△AGB∽△ABC，相似比为$\frac{AB}{10}=\frac{7}{10}$，
∴$S_{△ AGB}=(\frac{7}{10})^2× S_{△ ABC}=\frac{49}{100}×24=11.76$。
∵△AFD₂∽△ACD，相似比为$\frac{AD_2}{AD}=\frac{2}{5}$，
∴$S_{△ AFD_2}=(\frac{2}{5})^2× S_{△ ACD}=\frac{4}{25}×12=1.92$，
同理可得$S_{△ BED_1}=1.92$。
∴五边形$EGFD_2D_1$的面积为：
$S_{△ AGB}-S_{△ AFD_2}-S_{△ BED_1}=11.76-1.92-1.92=7.92$。
【答案】
(1) $D_1E=D_2F$；
(2) $7.92$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；相似三角形的判定与性质；平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是准确找到各相似三角形的相似比，利用面积比等于相似比的平方进行计算，要熟练掌握平移前后对应边、对应角相等的性质。
【难度系数】
0.6
