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10. 如图4-1-18，AD是Rt△ABC斜边上的中线，AE ⊥ AD 交CB的延长线于点E，则图中一定相似的三角形是 …………【 】
A.△AED 与 △ACB
B.△AEB 与 △ACD
C.△BAE 与 △ACE
D.△AEC 与 △DAC
A.△AED 与 △ACB
B.△AEB 与 △ACD
C.△BAE 与 △ACE
D.△AEC 与 △DAC
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据直角三角形斜边中线的性质可得AD=CD，进而推出∠C=∠DAC；再结合∠BAC和∠EAD均为直角，通过同角的余角相等推导得出∠BAE=∠C；最后结合公共角∠E，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可判断出相似的三角形。
【解析】
解：
∵AD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠C=∠DAC。
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，且AE⊥AD，即∠EAD=90°，
∴∠EAB + ∠BAD = 90°，∠DAC + ∠BAD = 90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB=∠C。
在△BAE和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ E\quad (\mathrm{公共角})\\∠ EAB=∠ C\end{array} $
∴△BAE∽△ACE（两角分别相等的两个三角形相似）。
其余选项均无法找到两组对应相等的角，不满足相似判定条件，故排除。
【答案】
C
【知识点】
1.直角三角形斜边中线性质
2.相似三角形的判定
3.同角的余角相等
【点评】
本题主要考查直角三角形性质与相似三角形判定的结合应用，核心是通过角度转换得到对应等角，是相似三角形判定的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先根据直角三角形斜边中线的性质可得AD=CD，进而推出∠C=∠DAC；再结合∠BAC和∠EAD均为直角，通过同角的余角相等推导得出∠BAE=∠C；最后结合公共角∠E，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可判断出相似的三角形。
【解析】
解：
∵AD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠C=∠DAC。
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，且AE⊥AD，即∠EAD=90°，
∴∠EAB + ∠BAD = 90°，∠DAC + ∠BAD = 90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB=∠C。
在△BAE和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ E\quad (\mathrm{公共角})\\∠ EAB=∠ C\end{array} $
∴△BAE∽△ACE（两角分别相等的两个三角形相似）。
其余选项均无法找到两组对应相等的角，不满足相似判定条件，故排除。
【答案】
C
【知识点】
1.直角三角形斜边中线性质
2.相似三角形的判定
3.同角的余角相等
【点评】
本题主要考查直角三角形性质与相似三角形判定的结合应用，核心是通过角度转换得到对应等角，是相似三角形判定的典型基础题。
【难度系数】
0.7
11. 如图4-1-19,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$,$CE$分别是斜边$AB$上的高和中线,$CF$是$∠ ACB$的平分线,则$∠ 1$与$∠ 2$的关系是 ……………………【 】
A.$∠ 1 ＜ ∠ 2$
B.$∠ 1 = ∠ 2$
C.$∠ 1 ＞ ∠ 2$
D.不能确定
A.$∠ 1 ＜ ∠ 2$
B.$∠ 1 = ∠ 2$
C.$∠ 1 ＞ ∠ 2$
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
要判断∠1和∠2的大小关系，我们可以分步推导角的等量关系：1. 先利用直角三角形斜边中线的性质，得到CE=BE，推出∠BCE=∠B；2. 再由直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等，推出∠ACD=∠B，进而得到∠ACD=∠BCE；3. 最后根据角平分线的定义得到∠ACF=∠BCF，通过角的和差运算即可得到∠1和∠2的关系。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CE$是斜边$AB$上的中线，
∴ $CE=BE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ $∠BCE=∠B$。
∵ $CD$是斜边$AB$上的高，
∴ $∠ADC=90°$，
∴ $∠A+∠ACD=90°$，
又
∵ $∠A+∠B=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴ $∠ACD=∠B$（同角的余角相等），
∴ $∠ACD=∠BCE$。
∵ $CF$是$∠ACB$的平分线，
∴ $∠ACF=∠BCF=45°$，
∴ $∠ACF-∠ACD=∠BCF-∠BCE$，
即 $∠2=∠1$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题核心是通过角的等量转化建立待求角之间的联系，需要熟练掌握直角三角形的相关性质并能灵活进行角的和差运算。
【难度系数】
0.7
要判断∠1和∠2的大小关系，我们可以分步推导角的等量关系：1. 先利用直角三角形斜边中线的性质，得到CE=BE，推出∠BCE=∠B；2. 再由直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等，推出∠ACD=∠B，进而得到∠ACD=∠BCE；3. 最后根据角平分线的定义得到∠ACF=∠BCF，通过角的和差运算即可得到∠1和∠2的关系。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CE$是斜边$AB$上的中线，
∴ $CE=BE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ $∠BCE=∠B$。
∵ $CD$是斜边$AB$上的高，
∴ $∠ADC=90°$，
∴ $∠A+∠ACD=90°$，
又
∵ $∠A+∠B=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴ $∠ACD=∠B$（同角的余角相等），
∴ $∠ACD=∠BCE$。
∵ $CF$是$∠ACB$的平分线，
∴ $∠ACF=∠BCF=45°$，
∴ $∠ACF-∠ACD=∠BCF-∠BCE$，
即 $∠2=∠1$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题核心是通过角的等量转化建立待求角之间的联系，需要熟练掌握直角三角形的相关性质并能灵活进行角的和差运算。
【难度系数】
0.7
12. 在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，斜边上的中线长为 $d$，三角形的面积为 $S$，有下列结论：
① $∠ A + ∠ B = ∠ C$； ② $ab = 2S$；
③ $c = 2d$； ④ $a^2 + b^2 = c^2$；
⑤ $a + b = 2\sqrt{d^2 + S}$；
⑥ 若 $a ＞ b$，则 $a - b = 2\sqrt{d^2 - S}$。
正确的有 ……………………【 】
A.5个
B.3个
C.6个
D.4个
① $∠ A + ∠ B = ∠ C$； ② $ab = 2S$；
③ $c = 2d$； ④ $a^2 + b^2 = c^2$；
⑤ $a + b = 2\sqrt{d^2 + S}$；
⑥ 若 $a ＞ b$，则 $a - b = 2\sqrt{d^2 - S}$。
正确的有 ……………………【 】
A.5个
B.3个
C.6个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
我们逐个验证6个结论，结合直角三角形相关性质逐步推导：
1. 先利用三角形内角和、直角三角形两锐角互余判断结论①；
2. 直接通过直角三角形面积公式变形验证结论②；
3. 用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质判断结论③；
4. 结论④是直角三角形勾股定理，可直接判断；
5. 结论⑤和⑥将d、S都用a、b表示后代入式子，结合完全平方公式化简推导即可验证。
【解析】
逐一判断每个结论：
1. 验证①：
∵△ABC中∠C=90°，三角形内角和为180°，
∴∠A+∠B=180°-90°=90°=∠C，①正确；
2. 验证②：直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab$，等式两边同乘2得$ab=2S$，②正确；
3. 验证③：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即$d=\frac{1}{2}c$，变形得$c=2d$，③正确；
4. 验证④：直角三角形满足勾股定理，即$a^2+b^2=c^2$，④正确；
5. 验证⑤：把$d=\frac{c}{2}$、$S=\frac{1}{2}ab$代入得：
$d^2+S=(\frac{c}{2})^2+\frac{1}{2}ab=\frac{a^2+b^2}{4}+\frac{ab}{2}=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\frac{(a+b)^2}{4}$
∴$2\sqrt{d^2+S}=2×\frac{a+b}{2}=a+b$（边长为正，开根号取正值），⑤正确；
6. 验证⑥：代入得：
$d^2-S=\frac{a^2+b^2}{4}-\frac{ab}{2}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}$
∵$a＞b$，
∴$a-b＞0$，
∴$2\sqrt{d^2-S}=2×\frac{a-b}{2}=a-b$，⑥正确。
综上6个结论全部正确。
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】本题综合考查直角三角形的基础性质，需要熟练掌握相关定理，结合代数变形推导结论，注意开根号时要根据边长的正负性确定符号。
【难度系数】0.7
我们逐个验证6个结论，结合直角三角形相关性质逐步推导：
1. 先利用三角形内角和、直角三角形两锐角互余判断结论①；
2. 直接通过直角三角形面积公式变形验证结论②；
3. 用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质判断结论③；
4. 结论④是直角三角形勾股定理，可直接判断；
5. 结论⑤和⑥将d、S都用a、b表示后代入式子，结合完全平方公式化简推导即可验证。
【解析】
逐一判断每个结论：
1. 验证①：
∵△ABC中∠C=90°，三角形内角和为180°，
∴∠A+∠B=180°-90°=90°=∠C，①正确；
2. 验证②：直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab$，等式两边同乘2得$ab=2S$，②正确；
3. 验证③：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即$d=\frac{1}{2}c$，变形得$c=2d$，③正确；
4. 验证④：直角三角形满足勾股定理，即$a^2+b^2=c^2$，④正确；
5. 验证⑤：把$d=\frac{c}{2}$、$S=\frac{1}{2}ab$代入得：
$d^2+S=(\frac{c}{2})^2+\frac{1}{2}ab=\frac{a^2+b^2}{4}+\frac{ab}{2}=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\frac{(a+b)^2}{4}$
∴$2\sqrt{d^2+S}=2×\frac{a+b}{2}=a+b$（边长为正，开根号取正值），⑤正确；
6. 验证⑥：代入得：
$d^2-S=\frac{a^2+b^2}{4}-\frac{ab}{2}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}$
∵$a＞b$，
∴$a-b＞0$，
∴$2\sqrt{d^2-S}=2×\frac{a-b}{2}=a-b$，⑥正确。
综上6个结论全部正确。
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】本题综合考查直角三角形的基础性质，需要熟练掌握相关定理，结合代数变形推导结论，注意开根号时要根据边长的正负性确定符号。
【难度系数】0.7
13.如图4-1-20,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=15°$,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,求证:$AD=2BC$.
答案
提示:连结BD，可得 $AD = BD$。于是有 $∠ABD = ∠A,∠BDC = ∠A+∠ABD = 30°$,由此可推出 $BD = 2BC$,即 $AD = 2BC$。
解析
【分析】
遇到线段垂直平分线的条件时，首先联想到垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可连接BD，将AD转化为等长的BD。接下来利用等腰三角形底角相等的性质，结合三角形外角的性质，可推出∠BDC=30°，最后在Rt△BCD中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，即可建立BD和BC的数量关系，通过等量代换完成证明。
【解析】
证明：连结BD，
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD = BD，
∴∠ABD = ∠A = 15°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD = 15°+15°=30°，
又
∵∠C = 90°，即△BDC为直角三角形，
∴在Rt△BDC中，30°角∠BDC所对的直角边为BC，
∴BC = $\frac{1}{2}$BD，即BD = 2BC，
又
∵AD = BD，
∴AD = 2BC。
【答案】
AD=2BC，得证
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是合理添加辅助线，将分散的条件集中到同一个三角形中，熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到线段垂直平分线的条件时，首先联想到垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可连接BD，将AD转化为等长的BD。接下来利用等腰三角形底角相等的性质，结合三角形外角的性质，可推出∠BDC=30°，最后在Rt△BCD中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，即可建立BD和BC的数量关系，通过等量代换完成证明。
【解析】
证明：连结BD，
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD = BD，
∴∠ABD = ∠A = 15°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD = 15°+15°=30°，
又
∵∠C = 90°，即△BDC为直角三角形，
∴在Rt△BDC中，30°角∠BDC所对的直角边为BC，
∴BC = $\frac{1}{2}$BD，即BD = 2BC，
又
∵AD = BD，
∴AD = 2BC。
【答案】
AD=2BC，得证
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是合理添加辅助线，将分散的条件集中到同一个三角形中，熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
14.如图4-1-21,在四边形ACBD中,∠ABC=∠ADC=90°,E,F分别是AC,BD的中点.求证:EF⊥BD. 
答案
提示:连结 $BE,DE$. 易证 $AC = 2BE = 2DE$,于是由等腰三角形三线合一可得 $EF ⊥ BD$。
解析
【分析】
要证明EF⊥BD，我们可以结合已知条件逐步推导：首先观察到图中有两个共斜边AC的直角三角形，且E是AC中点，此时可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此先作辅助线连接BE、DE，可得到DE=BE，即△BDE是等腰三角形；再结合F是BD中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，即可证得EF与BD垂直。
【解析】
证明：连接BE、DE。
∵ ∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴ 在Rt△ADC中，$DE = \frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
同理，
∵ ∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ 在Rt△ABC中，$BE = \frac{1}{2}AC$。
∴ DE = BE，即△BDE为等腰三角形。
又
∵ F是BD的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，可得EF⊥BD。
【答案】
EF⊥BD，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是常规几何证明题，解题的突破口是正确构造辅助线得到相等的线段DE和BE，将直角三角形和等腰三角形的性质结合运用，熟练掌握相关定理即可快速推导得出结论。
【难度系数】
0.7
要证明EF⊥BD，我们可以结合已知条件逐步推导：首先观察到图中有两个共斜边AC的直角三角形，且E是AC中点，此时可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此先作辅助线连接BE、DE，可得到DE=BE，即△BDE是等腰三角形；再结合F是BD中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，即可证得EF与BD垂直。
【解析】
证明：连接BE、DE。
∵ ∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴ 在Rt△ADC中，$DE = \frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
同理，
∵ ∠ABC=90°，E是AC的中点，
∴ 在Rt△ABC中，$BE = \frac{1}{2}AC$。
∴ DE = BE，即△BDE为等腰三角形。
又
∵ F是BD的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，可得EF⊥BD。
【答案】
EF⊥BD，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是常规几何证明题，解题的突破口是正确构造辅助线得到相等的线段DE和BE，将直角三角形和等腰三角形的性质结合运用，熟练掌握相关定理即可快速推导得出结论。
【难度系数】
0.7
