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1.直角三角形有一个角是$30°$,那么这个直角三角形的三边长之比是
$1:2:\sqrt{3}$
.答案
1. $1:2:\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形中30°角的核心性质：直角三角形里30°角所对的直角边长度是斜边的一半，我们可以通过设参数的方法简化计算，先给30°角对的直角边赋值，再利用性质得到斜边长度，最后用勾股定理求出剩余的直角边长度，将三条边作比消去参数即可得到最终比值。
【解析】
设该直角三角形中30°角所对的直角边长为1：
1. 根据直角三角形30°角的性质，可得斜边长为$2×1=2$；
2. 由勾股定理计算另一条直角边的长度：$\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$；
3. 因此该直角三角形三边长（对应30°对直角边:斜边:60°对直角边）的比值为$1:2:\sqrt{3}$。
【答案】
$1:2:\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形30°角的性质；勾股定理
【点评】
本题属于特殊直角三角形的基础考点，解题逻辑清晰，熟练掌握特殊直角三角形的边的比例关系，能大幅提升后续解直角三角形相关题目的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆直角三角形中30°角的核心性质：直角三角形里30°角所对的直角边长度是斜边的一半，我们可以通过设参数的方法简化计算，先给30°角对的直角边赋值，再利用性质得到斜边长度，最后用勾股定理求出剩余的直角边长度，将三条边作比消去参数即可得到最终比值。
【解析】
设该直角三角形中30°角所对的直角边长为1：
1. 根据直角三角形30°角的性质，可得斜边长为$2×1=2$；
2. 由勾股定理计算另一条直角边的长度：$\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$；
3. 因此该直角三角形三边长（对应30°对直角边:斜边:60°对直角边）的比值为$1:2:\sqrt{3}$。
【答案】
$1:2:\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形30°角的性质；勾股定理
【点评】
本题属于特殊直角三角形的基础考点，解题逻辑清晰，熟练掌握特殊直角三角形的边的比例关系，能大幅提升后续解直角三角形相关题目的解题效率。
【难度系数】
0.8
2.等腰三角形的顶角为$120°$,底边上的高为3,则腰长为
$6$
.答案
2. 6
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线和顶角的角平分线（三线合一），因此我们可以沿底边上的高将原等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形。接下来计算等腰三角形的底角度数：已知顶角为120°，结合三角形内角和为180°以及等腰三角形两底角相等，可算出底角为30°。最后观察拆分得到的直角三角形：底边上的高是30°底角所对的直角边，腰长是该直角三角形的斜边，结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可直接求出腰长。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，顶角$∠ BAC=120°$，$AD$是底边$BC$上的高，即$AD=3$。
1. 因为$△ ABC$是等腰三角形，两底角相等，所以底角$∠ B=\frac{180° - 120°}{2}=30°$；
2. 由等腰三角形三线合一可知，$AD⊥ BC$，即$△ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$；
3. 在$Rt△ ABD$中，$∠ B=30°$，它所对的直角边为$AD=3$，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边$AB=2AD=2×3=6$，$AB$即为等腰三角形的腰长。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是特殊等腰三角形性质应用的基础题，解题的核心是通过三线合一将等腰三角形转化为含30°角的直角三角形，再利用特殊直角三角形的边长关系求解，是三角形性质板块的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线和顶角的角平分线（三线合一），因此我们可以沿底边上的高将原等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形。接下来计算等腰三角形的底角度数：已知顶角为120°，结合三角形内角和为180°以及等腰三角形两底角相等，可算出底角为30°。最后观察拆分得到的直角三角形：底边上的高是30°底角所对的直角边，腰长是该直角三角形的斜边，结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可直接求出腰长。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，顶角$∠ BAC=120°$，$AD$是底边$BC$上的高，即$AD=3$。
1. 因为$△ ABC$是等腰三角形，两底角相等，所以底角$∠ B=\frac{180° - 120°}{2}=30°$；
2. 由等腰三角形三线合一可知，$AD⊥ BC$，即$△ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$；
3. 在$Rt△ ABD$中，$∠ B=30°$，它所对的直角边为$AD=3$，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边$AB=2AD=2×3=6$，$AB$即为等腰三角形的腰长。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是特殊等腰三角形性质应用的基础题，解题的核心是通过三线合一将等腰三角形转化为含30°角的直角三角形，再利用特殊直角三角形的边长关系求解，是三角形性质板块的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3.在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，CE是AB边上的中线，那么与线段CE相等的线段是
$AE 和 BE$
，与$∠ A$相等的角是$∠ACE$
；如果$∠ A = 20°$，那么$∠ BCE =$$70°$
。答案
3. AE 和 BE，$∠ACE$，$70°$
解析
【分析】
解题时先回忆直角三角形的相关性质：首先，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，据此可以先找到和CE相等的线段；再根据等边对等角的性质，由线段相等推导角相等；最后结合直角三角形两锐角互余的性质计算∠BCE的度数，每一步都紧扣已知条件，逐层推导即可。
【解析】
1. 求与CE相等的线段：
已知△ABC中∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CE=\frac{1}{2}AB$。
又因为CE是AB中线，所以E是AB中点，即$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，因此$CE=AE=BE$，故与CE相等的线段是AE和BE。
2. 求与∠A相等的角：
由上一步得$CE=AE$，即△AEC是等腰三角形，根据等边对等角的性质，可得$∠A=∠ACE$，故与∠A相等的角是∠ACE。
3. 计算∠BCE的度数：
已知∠A=20°，则$∠ACE=∠A=20°$，又因为$∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°$，代入得$∠BCE=90°-20°=70°$。
【答案】
AE 和 BE，$∠ACE$，$70°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，重点考查直角三角形和等腰三角形的基础性质的应用，熟练掌握相关定理即可快速解题，计算时注意角度之间的和差关系不要弄错。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆直角三角形的相关性质：首先，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，据此可以先找到和CE相等的线段；再根据等边对等角的性质，由线段相等推导角相等；最后结合直角三角形两锐角互余的性质计算∠BCE的度数，每一步都紧扣已知条件，逐层推导即可。
【解析】
1. 求与CE相等的线段：
已知△ABC中∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CE=\frac{1}{2}AB$。
又因为CE是AB中线，所以E是AB中点，即$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，因此$CE=AE=BE$，故与CE相等的线段是AE和BE。
2. 求与∠A相等的角：
由上一步得$CE=AE$，即△AEC是等腰三角形，根据等边对等角的性质，可得$∠A=∠ACE$，故与∠A相等的角是∠ACE。
3. 计算∠BCE的度数：
已知∠A=20°，则$∠ACE=∠A=20°$，又因为$∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°$，代入得$∠BCE=90°-20°=70°$。
【答案】
AE 和 BE，$∠ACE$，$70°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，重点考查直角三角形和等腰三角形的基础性质的应用，熟练掌握相关定理即可快速解题，计算时注意角度之间的和差关系不要弄错。
【难度系数】
0.9
4.如图4-1-14,已知直线$a // b$,点A,B分别在a,b上.若$∠ C = 90°$,$∠ CBE = 36°$,则$∠ CAD$等于
$54°$
.答案
4. $54°$
解析
【分析】
解题时先利用平行线的性质得到两直线被截线所截形成的同旁内角互补，再结合直角三角形两锐角互余的性质，将所求角与已知角通过角的和差关系建立联系，代入数值计算即可得到结果。具体思考步骤：①由$a//b$得$∠ DAB$与$∠ ABE$互补，和为$180°$；②直角三角形$ABC$中，两个锐角$∠ CAB$、$∠ CBA$的和为$90°$；③将$∠ DAB$拆分为$∠ CAD+∠ CAB$，$∠ ABE$拆分为$∠ CBA+∠ CBE$，代入互补的关系中，替换已知角度即可求出$∠ CAD$。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b$
∴ $∠ DAB + ∠ ABE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C = 90°$
∴ $∠ CAB + ∠ CBA = 90°$（直角三角形的两个锐角互余）
又
∵ $∠ DAB = ∠ CAD + ∠ CAB$，$∠ ABE = ∠ CBA + ∠ CBE$
∴ $∠ CAD + ∠ CAB + ∠ CBA + ∠ CBE = 180°$
将$∠ CAB+∠ CBA=90°$，$∠ CBE=36°$代入上式得：
$∠ CAD + 90° + 36° = 180°$
解得：$∠ CAD = 180° - 90° - 36° = 54°$
【答案】
$54°$
【知识点】
平行线的性质、直角三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，考查平行线和直角三角形性质的综合运用，解题的核心是准确梳理各个角之间的数量关系，整体代入计算即可，解题思路比较直接。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行线的性质得到两直线被截线所截形成的同旁内角互补，再结合直角三角形两锐角互余的性质，将所求角与已知角通过角的和差关系建立联系，代入数值计算即可得到结果。具体思考步骤：①由$a//b$得$∠ DAB$与$∠ ABE$互补，和为$180°$；②直角三角形$ABC$中，两个锐角$∠ CAB$、$∠ CBA$的和为$90°$；③将$∠ DAB$拆分为$∠ CAD+∠ CAB$，$∠ ABE$拆分为$∠ CBA+∠ CBE$，代入互补的关系中，替换已知角度即可求出$∠ CAD$。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b$
∴ $∠ DAB + ∠ ABE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C = 90°$
∴ $∠ CAB + ∠ CBA = 90°$（直角三角形的两个锐角互余）
又
∵ $∠ DAB = ∠ CAD + ∠ CAB$，$∠ ABE = ∠ CBA + ∠ CBE$
∴ $∠ CAD + ∠ CAB + ∠ CBA + ∠ CBE = 180°$
将$∠ CAB+∠ CBA=90°$，$∠ CBE=36°$代入上式得：
$∠ CAD + 90° + 36° = 180°$
解得：$∠ CAD = 180° - 90° - 36° = 54°$
【答案】
$54°$
【知识点】
平行线的性质、直角三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，考查平行线和直角三角形性质的综合运用，解题的核心是准确梳理各个角之间的数量关系，整体代入计算即可，解题思路比较直接。
【难度系数】
0.8
5.如图4-1-15,在△ABC中,AD是高,EF垂直平分AD,分别交AB,AC于点E,F.若AB=8,AC=6,则四边形AEDF的周长是
$14$
.答案
5. 14
解析
【分析】
首先根据已知条件“EF垂直平分AD”，联想到线段垂直平分线的性质，可得AE=DE、AF=DF；再结合AD是△ABC的高，可知AD⊥BC，进而推出EF//BC；接下来利用直角三角形两锐角互余的性质，结合等角的余角相等可证∠B=∠EDB，由等角对等边得BE=DE，同理可证CF=DF，由此可知AE、AF分别是AB、AC的一半，最后将四边形四条边相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，EF⊥AD，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴EF//BC，
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD⊥BC，
∴∠B + ∠EAD = 90°，∠EDB + ∠EDA = 90°，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8=4$，
同理可得AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×6=3$，
∴四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+FA=4+4+3+3=14。
【答案】
14
【知识点】
线段垂直平分线的性质；平行线的判定与性质；等角对等边
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角的等量代换推导边的相等关系，进而得到E、F分别为AB、AC的中点，再计算周长即可，解题过程中需要熟练运用各类线段和角的性质进行推导。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件“EF垂直平分AD”，联想到线段垂直平分线的性质，可得AE=DE、AF=DF；再结合AD是△ABC的高，可知AD⊥BC，进而推出EF//BC；接下来利用直角三角形两锐角互余的性质，结合等角的余角相等可证∠B=∠EDB，由等角对等边得BE=DE，同理可证CF=DF，由此可知AE、AF分别是AB、AC的一半，最后将四边形四条边相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，EF⊥AD，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴EF//BC，
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD⊥BC，
∴∠B + ∠EAD = 90°，∠EDB + ∠EDA = 90°，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8=4$，
同理可得AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×6=3$，
∴四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+FA=4+4+3+3=14。
【答案】
14
【知识点】
线段垂直平分线的性质；平行线的判定与性质；等角对等边
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角的等量代换推导边的相等关系，进而得到E、F分别为AB、AC的中点，再计算周长即可，解题过程中需要熟练运用各类线段和角的性质进行推导。
【难度系数】
0.7
6. 在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD$是$AB$边上的中线，$CD = 5\ \mathrm{cm}$，$△ ABC$的周长为$24\ \mathrm{cm}$，那么$AB =$
$10\ \mathrm{cm}$
，$△ ABC$的面积$S =$$24\ \mathrm{cm}^2$
。答案
6. $10\ \mathrm{cm}$，$24\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题首先从已知条件中的直角三角形斜边中线入手，回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可直接求出AB的长度。接下来求面积，已知三角形周长，可先算出两条直角边AC与BC的和，再结合勾股定理得到AC与BC的平方和，利用完全平方公式的变形求出AC与BC的乘积，最后代入三角形面积公式即可求出面积，无需单独求解AC、BC的具体值，能简化计算过程。
【解析】
1. 求$AB$的长度：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$AB=2CD=2×5=10\ \mathrm{cm}$
2. 求$△ ABC$的面积：
已知$△ ABC$的周长为$24\ \mathrm{cm}$，因此$AC+BC+AB=24\ \mathrm{cm}$
代入$AB=10\ \mathrm{cm}$，得：$AC+BC=24-10=14\ \mathrm{cm}$
根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：$AC^2+BC^2=AB^2=10^2=100$
对$AC+BC=14$两边同时平方得：$(AC+BC)^2=14^2=196$
展开左边：$AC^2+2AC· BC+BC^2=196$
将$AC^2+BC^2=100$代入上式：$100+2AC· BC=196$
解得：$2AC· BC=96$，即$AC· BC=48$
$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$，$24\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 勾股定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的核心是先利用斜边中线性质快速确定斜边长度，再结合周长与勾股定理，通过完全平方公式的变形间接求出两条直角边的乘积，避免了分别求解直角边的复杂计算，很好地考查了对公式变形的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知条件中的直角三角形斜边中线入手，回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可直接求出AB的长度。接下来求面积，已知三角形周长，可先算出两条直角边AC与BC的和，再结合勾股定理得到AC与BC的平方和，利用完全平方公式的变形求出AC与BC的乘积，最后代入三角形面积公式即可求出面积，无需单独求解AC、BC的具体值，能简化计算过程。
【解析】
1. 求$AB$的长度：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$AB=2CD=2×5=10\ \mathrm{cm}$
2. 求$△ ABC$的面积：
已知$△ ABC$的周长为$24\ \mathrm{cm}$，因此$AC+BC+AB=24\ \mathrm{cm}$
代入$AB=10\ \mathrm{cm}$，得：$AC+BC=24-10=14\ \mathrm{cm}$
根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：$AC^2+BC^2=AB^2=10^2=100$
对$AC+BC=14$两边同时平方得：$(AC+BC)^2=14^2=196$
展开左边：$AC^2+2AC· BC+BC^2=196$
将$AC^2+BC^2=100$代入上式：$100+2AC· BC=196$
解得：$2AC· BC=96$，即$AC· BC=48$
$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$，$24\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 勾股定理
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的核心是先利用斜边中线性质快速确定斜边长度，再结合周长与勾股定理，通过完全平方公式的变形间接求出两条直角边的乘积，避免了分别求解直角边的复杂计算，很好地考查了对公式变形的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7.直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为 ……………………【 】
A.$90°$
B.$135°$
C.$120°$
D.$45°$或$135°$
A.$90°$
B.$135°$
C.$120°$
D.$45°$或$135°$
答案
B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先利用直角三角形的性质，得到两个锐角的和为90°；②根据角平分线的定义，算出两个锐角被平分后得到的两个小角的和为45°；③将两条角平分线的交点与直角三角形的两个锐角顶点连线，构成新的三角形，利用三角形内角和定理算出两条角平分线的夹角，注意题目要求的是钝角，排除锐角的情况即可得到结果。
【解析】
设直角三角形的两个锐角分别为$∠ A$、$∠ B$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
∵ 两个锐角的平分线分别平分$∠ A$、$∠ B$
∴ 平分线分出的两个小角的和为：$\frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ B) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
两条角平分线相交后，与$∠ A$、$∠ B$的顶点构成新的三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得两条角平分线的夹角（钝角）为：
$180° - 45° = 135°$
题目要求的是钝角，$45°$为锐角不符合要求，因此结果为$135°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础应用题，重点考察直角三角形性质与三角形内角和的综合运用，解题时需注意审题，明确题目要求的是钝角，避免误选锐角对应的选项。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：①先利用直角三角形的性质，得到两个锐角的和为90°；②根据角平分线的定义，算出两个锐角被平分后得到的两个小角的和为45°；③将两条角平分线的交点与直角三角形的两个锐角顶点连线，构成新的三角形，利用三角形内角和定理算出两条角平分线的夹角，注意题目要求的是钝角，排除锐角的情况即可得到结果。
【解析】
设直角三角形的两个锐角分别为$∠ A$、$∠ B$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
∵ 两个锐角的平分线分别平分$∠ A$、$∠ B$
∴ 平分线分出的两个小角的和为：$\frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ B) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
两条角平分线相交后，与$∠ A$、$∠ B$的顶点构成新的三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得两条角平分线的夹角（钝角）为：
$180° - 45° = 135°$
题目要求的是钝角，$45°$为锐角不符合要求，因此结果为$135°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础应用题，重点考察直角三角形性质与三角形内角和的综合运用，解题时需注意审题，明确题目要求的是钝角，避免误选锐角对应的选项。
【难度系数】
0.8
8.如图4-1-16,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CD为AB边上的高,$∠ ABC$的平分线BE交CD于点F,交CA于点E.给出下列结论:
①$∠ CFE = ∠ CEF$; ②$∠ FCB = ∠ FBC$,
③$∠ A = ∠ DCB$; ④$∠ CFE$与$∠ CBF$互余.
正确的有 …………………………【 】
A.①③④
B.②③④
C.①②④
D.①②③
图4-1-16
①$∠ CFE = ∠ CEF$; ②$∠ FCB = ∠ FBC$,
③$∠ A = ∠ DCB$; ④$∠ CFE$与$∠ CBF$互余.
正确的有 …………………………【 】
A.①③④
B.②③④
C.①②④
D.①②③
图4-1-16
答案
A
解析
【分析】
我们可以结合已知条件，逐个验证4个结论是否正确：第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质判断结论③；第二步结合角平分线定义、对顶角相等判断结论①；第三步分析结论②是否有成立的条件；第四步结合结论①推导判断结论④，最终确定正确的结论组合。
【解析】
已知在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，$BE$平分$∠ ABC$：
1. 验证结论③：
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ ABC=90°$；
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ DCB+∠ ABC=90°$；
根据同角的余角相等，可得$∠ A=∠ DCB$，故结论③正确。
2. 验证结论①：
$\because BE$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ CBE=∠ ABE$；
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ CEF+∠ CBE=90°$；
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ BFD+∠ ABE=90°$；
$\therefore ∠ CEF=∠ BFD$，又$\because ∠ BFD=∠ CFE$（对顶角相等），
$\therefore ∠ CFE=∠ CEF$，故结论①正确。
3. 验证结论②：
$∠ FCB=∠ A$，$∠ FBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，只有当$∠ A=\frac{1}{2}∠ ABC$（即$∠ ABC=60°$）时$∠ FCB=∠ FBC$才成立，题目未给出该特殊条件，故结论②错误。
4. 验证结论④：
由①得$∠ CFE=∠ CEF$，又$\because ∠ CEF+∠ CBE=90°$，$∠ CBE=∠ CBF$，
$\therefore ∠ CFE+∠ CBF=90°$，即$∠ CFE$与$∠ CBF$互余，故结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，对顶角相等
【点评】
本题重点考察直角三角形中角的数量关系推导，需要同学们熟练运用互余性质、角平分线定义、对顶角性质逐个分析结论，注意没有给出特殊角度条件时，不能默认两个角相等。
【难度系数】
0.7
我们可以结合已知条件，逐个验证4个结论是否正确：第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质判断结论③；第二步结合角平分线定义、对顶角相等判断结论①；第三步分析结论②是否有成立的条件；第四步结合结论①推导判断结论④，最终确定正确的结论组合。
【解析】
已知在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，$BE$平分$∠ ABC$：
1. 验证结论③：
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ ABC=90°$；
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ DCB+∠ ABC=90°$；
根据同角的余角相等，可得$∠ A=∠ DCB$，故结论③正确。
2. 验证结论①：
$\because BE$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ CBE=∠ ABE$；
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ CEF+∠ CBE=90°$；
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ BFD+∠ ABE=90°$；
$\therefore ∠ CEF=∠ BFD$，又$\because ∠ BFD=∠ CFE$（对顶角相等），
$\therefore ∠ CFE=∠ CEF$，故结论①正确。
3. 验证结论②：
$∠ FCB=∠ A$，$∠ FBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，只有当$∠ A=\frac{1}{2}∠ ABC$（即$∠ ABC=60°$）时$∠ FCB=∠ FBC$才成立，题目未给出该特殊条件，故结论②错误。
4. 验证结论④：
由①得$∠ CFE=∠ CEF$，又$\because ∠ CEF+∠ CBE=90°$，$∠ CBE=∠ CBF$，
$\therefore ∠ CFE+∠ CBF=90°$，即$∠ CFE$与$∠ CBF$互余，故结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，对顶角相等
【点评】
本题重点考察直角三角形中角的数量关系推导，需要同学们熟练运用互余性质、角平分线定义、对顶角性质逐个分析结论，注意没有给出特殊角度条件时，不能默认两个角相等。
【难度系数】
0.7
9.如图4-1-17，有一张一个角为$30°$、最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长可能是 …………【 】
A.8或$2\sqrt{3}$
B.10或$4+2\sqrt{3}$
C.10或$2\sqrt{3}$
D.8或$4+2\sqrt{3}$
图4-1-17
A.8或$2\sqrt{3}$
B.10或$4+2\sqrt{3}$
C.10或$2\sqrt{3}$
D.8或$4+2\sqrt{3}$
图4-1-17
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形30°角的性质和勾股定理求出原直角三角形的三边长，再结合三角形中位线的性质得到剪开后小三角形和梯形的各边长度，最后分两种不同的拼接方式，计算拼接后四边形的周长即可，注意拼接时重合的边不计入周长，不要漏解。
【解析】
已知直角三角形一个角为30°，最小边长为2，即30°角所对的直角边长为2：
1. 求原三角形边长：根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，可得斜边长为$2×2=4$，再由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 分析剪开后两部分的边长：沿中位线剪开后，小三角形与原三角形相似，相似比为1:2，因此小三角形三边长为1、$\sqrt{3}$、2；剩余直角梯形的四边长为：上底1、下底2、垂直底的腰长$\sqrt{3}$、斜腰长2。
3. 分情况计算拼接周长：
① 将小三角形长为1的直角边与梯形上底重合拼接，得到边长为2的平行四边形，周长为$2×4=8$；
② 将小三角形长为2的斜边与梯形斜腰重合拼接，得到邻边为2和$\sqrt{3}$的矩形，周长为$2×(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}$。
因此所得四边形的周长可能为8或$4+2\sqrt{3}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，三角形中位线定理，图形的剪拼
【点评】
本题属于几何综合基础题，考查学生对直角三角形性质的掌握和空间想象能力，解题关键是梳理清楚所有可能的拼接方式，避免遗漏其中一种情况导致错选。
【难度系数】
0.6
解题时先利用直角三角形30°角的性质和勾股定理求出原直角三角形的三边长，再结合三角形中位线的性质得到剪开后小三角形和梯形的各边长度，最后分两种不同的拼接方式，计算拼接后四边形的周长即可，注意拼接时重合的边不计入周长，不要漏解。
【解析】
已知直角三角形一个角为30°，最小边长为2，即30°角所对的直角边长为2：
1. 求原三角形边长：根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，可得斜边长为$2×2=4$，再由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 分析剪开后两部分的边长：沿中位线剪开后，小三角形与原三角形相似，相似比为1:2，因此小三角形三边长为1、$\sqrt{3}$、2；剩余直角梯形的四边长为：上底1、下底2、垂直底的腰长$\sqrt{3}$、斜腰长2。
3. 分情况计算拼接周长：
① 将小三角形长为1的直角边与梯形上底重合拼接，得到边长为2的平行四边形，周长为$2×4=8$；
② 将小三角形长为2的斜边与梯形斜腰重合拼接，得到邻边为2和$\sqrt{3}$的矩形，周长为$2×(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}$。
因此所得四边形的周长可能为8或$4+2\sqrt{3}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，三角形中位线定理，图形的剪拼
【点评】
本题属于几何综合基础题，考查学生对直角三角形性质的掌握和空间想象能力，解题关键是梳理清楚所有可能的拼接方式，避免遗漏其中一种情况导致错选。
【难度系数】
0.6
