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1. 一元二次方程$x^2 - 3x = 0$的根为
$x_1 = 0,x_2 = 3$
。答案
1. $x_1 = 0,x_2 = 3$
解析
【分析】
要解该一元二次方程，首先观察方程结构：左边是无常数项的二次二项式，两项均含有公因式$x$，适合用因式分解法求解。解题思路为先对左边多项式提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程左边提取公因式$x$，得：
$x(x - 3) = 0$
根据两式相乘值为0，至少其中一式值为0，可得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别求解两个一次方程，得：$x_1 = 0$，$x_2 = 3$
【答案】
$x_1 = 0,x_2 = 3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，通过观察方程结构选择简便的因式分解法即可快速求解，核心是掌握乘积为0的因式性质，计算难度低。
【难度系数】
0.9
要解该一元二次方程，首先观察方程结构：左边是无常数项的二次二项式，两项均含有公因式$x$，适合用因式分解法求解。解题思路为先对左边多项式提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程左边提取公因式$x$，得：
$x(x - 3) = 0$
根据两式相乘值为0，至少其中一式值为0，可得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别求解两个一次方程，得：$x_1 = 0$，$x_2 = 3$
【答案】
$x_1 = 0,x_2 = 3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，通过观察方程结构选择简便的因式分解法即可快速求解，核心是掌握乘积为0的因式性质，计算难度低。
【难度系数】
0.9
2.如果方程$3(x-1)(x-m)=0$的两个根是1和2，那么$m$的值是
$2$
。答案
2. 2
解析
【分析】
拿到这道题首先观察方程形式，它已经是因式分解后几个整式乘积为0的形式。根据因式分解法解一元二次方程的核心原理：若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，我们可以将二次方程转化为两个一次方程求解，得到两根的表达式后，结合题目给出的已知根，就能直接对应求出m的值。
【解析】
解：已知方程$3(x-1)(x-m)=0$，
根据因式分解法解方程的规则，常数3不为0，因此只需令含未知数的因式为0，可得：
$x-1=0$ 或 $x-m=0$，
分别求解得：$x_1=1$，$x_2=m$，
∵ 题目给出方程的两个根是1和2，
∴ $m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，考查对因式分解法解一元二次方程原理的掌握程度，只要理解因式分解法的核心逻辑，就能快速得到结果，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先观察方程形式，它已经是因式分解后几个整式乘积为0的形式。根据因式分解法解一元二次方程的核心原理：若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，我们可以将二次方程转化为两个一次方程求解，得到两根的表达式后，结合题目给出的已知根，就能直接对应求出m的值。
【解析】
解：已知方程$3(x-1)(x-m)=0$，
根据因式分解法解方程的规则，常数3不为0，因此只需令含未知数的因式为0，可得：
$x-1=0$ 或 $x-m=0$，
分别求解得：$x_1=1$，$x_2=m$，
∵ 题目给出方程的两个根是1和2，
∴ $m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，考查对因式分解法解一元二次方程原理的掌握程度，只要理解因式分解法的核心逻辑，就能快速得到结果，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9
3.一元二次方程$(x-2)^2 - (x-2)=0$的一个根为$x=2$，另一个根为
$x = 3$
。答案
3. $x = 3$
解析
【分析】
观察方程结构，发现等号左边两项均含有公因式$(x-2)$，适合用因式分解法求解。解题时先提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程，即可求出方程的两个根，得到另一个根的值。
【解析】
对原方程提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)[(x-2)-1]=0$
整理得：
$(x-2)(x-3)=0$
根据因式分解法解一元二次方程的原理，可得：
$x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$
因此另一个根为$x=3$。
【答案】
$x=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题重点考查一元二次方程的解法，解题时优先观察方程结构选择简便方法，本题通过提取公因式因式分解可快速求解，无需展开原方程，能有效降低计算量，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，发现等号左边两项均含有公因式$(x-2)$，适合用因式分解法求解。解题时先提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程，即可求出方程的两个根，得到另一个根的值。
【解析】
对原方程提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)[(x-2)-1]=0$
整理得：
$(x-2)(x-3)=0$
根据因式分解法解一元二次方程的原理，可得：
$x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$
因此另一个根为$x=3$。
【答案】
$x=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题重点考查一元二次方程的解法，解题时优先观察方程结构选择简便方法，本题通过提取公因式因式分解可快速求解，无需展开原方程，能有效降低计算量，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4.若关于$x$的一元二次方程$(a^2 - 3a)x^2 + 4x + a^2 + 3a = 0$的一个根是0，则$a$的值是
$-3$
答案
4. $-3$
解析
【分析】
解题时需抓住两个关键条件：一是方程的根的定义，即根代入方程可使等式成立；二是一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0。首先将x=0代入原方程，求解得到a的所有可能值，再根据一元二次方程的二次项系数不为0的要求，排除不符合条件的a值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$(a^2 - 3a)x^2 + 4x + a^2 + 3a = 0$的根
∴将x=0代入方程得：
$a^2 + 3a = 0$
因式分解得：$a(a+3)=0$
解得：$a=0$或$a=-3$
又
∵原方程是一元二次方程
∴二次项系数$a^2 - 3a ≠ 0$，即$a(a-3)≠0$
∴$a≠0$且$a≠3$
综上，舍去不符合条件的$a=0$，得$a=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程的二次项系数不为0”的隐含条件，直接得到a=0或a=-3的错误结论，审题时要注意抓住题目中的限定条件，避免漏判。
【难度系数】
0.6
解题时需抓住两个关键条件：一是方程的根的定义，即根代入方程可使等式成立；二是一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0。首先将x=0代入原方程，求解得到a的所有可能值，再根据一元二次方程的二次项系数不为0的要求，排除不符合条件的a值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$(a^2 - 3a)x^2 + 4x + a^2 + 3a = 0$的根
∴将x=0代入方程得：
$a^2 + 3a = 0$
因式分解得：$a(a+3)=0$
解得：$a=0$或$a=-3$
又
∵原方程是一元二次方程
∴二次项系数$a^2 - 3a ≠ 0$，即$a(a-3)≠0$
∴$a≠0$且$a≠3$
综上，舍去不符合条件的$a=0$，得$a=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程的二次项系数不为0”的隐含条件，直接得到a=0或a=-3的错误结论，审题时要注意抓住题目中的限定条件，避免漏判。
【难度系数】
0.6
5.已知直角三角形的两条直角边的长是方程$(x+2)(x-4)-5(x-4)=0$的两个根，那么这个三角形的周长为
$12$
.答案
5. 12
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先利用因式分解法求解给定的一元二次方程，得到的两个根就是直角三角形的两条直角边长；第二步，根据勾股定理计算直角三角形的斜边长；第三步，将三条边的长度相加即可得到三角形的周长。观察方程形式可以发现两项都含有公因式$(x-4)$，优先提取公因式化简方程，能更快速求出方程的根。
【解析】
1. 解方程$(x+2)(x-4)-5(x-4)=0$：
提取公因式$(x-4)$，可得：
$(x-4)(x+2-5)=0$
整理得：$(x-4)(x-3)=0$
则$x-4=0$或$x-3=0$，解得$x_1=4$，$x_2=3$
即直角三角形的两条直角边长分别为3和4。
2. 求斜边长：
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
3. 计算周长：
周长为$3+4+5=12$
【答案】
12
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的解法与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是正确运用因式分解法求出方程的根，再结合勾股定理求出斜边长度，计算时注意不要遗漏周长的求和步骤。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步，先利用因式分解法求解给定的一元二次方程，得到的两个根就是直角三角形的两条直角边长；第二步，根据勾股定理计算直角三角形的斜边长；第三步，将三条边的长度相加即可得到三角形的周长。观察方程形式可以发现两项都含有公因式$(x-4)$，优先提取公因式化简方程，能更快速求出方程的根。
【解析】
1. 解方程$(x+2)(x-4)-5(x-4)=0$：
提取公因式$(x-4)$，可得：
$(x-4)(x+2-5)=0$
整理得：$(x-4)(x-3)=0$
则$x-4=0$或$x-3=0$，解得$x_1=4$，$x_2=3$
即直角三角形的两条直角边长分别为3和4。
2. 求斜边长：
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
3. 计算周长：
周长为$3+4+5=12$
【答案】
12
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的解法与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是正确运用因式分解法求出方程的根，再结合勾股定理求出斜边长度，计算时注意不要遗漏周长的求和步骤。
【难度系数】
0.8
6.一元二次方程$x^2 - kx -12=0$的左边分解因式后为$(x - m)(x - n)=0$，若方程的两个根均为整数，则k的值可以是
（写出一个符合条件的k值即可）
如$\pm 1,\pm 4,\pm 11$等
。（写出一个符合条件的k值即可）
答案
6. 如$\pm 1,\pm 4,\pm 11$等.
解析
【分析】
解题时先将分解后的因式展开，再和原一元二次方程的左边多项式对比系数，即可得到k与方程两根的关系：将$(x-m)(x-n)$展开后为$x^2-(m+n)x+mn$，和原方程$x^2-kx-12=0$对应，可得$mn=-12$、$k=m+n$。接下来只要找到任意一组乘积为-12的整数$m、n$，计算二者的和就能得到符合条件的k值。
【解析】
1. 展开因式：$(x - m)(x - n)=x^2 - (m + n)x + mn$
2. 对比原方程$x^2 - kx -12=0$的左边，根据多项式相等对应项系数相等，可得：
$mn=-12$，且$k=m+n$
3. 因为方程两根为整数，所以$m、n$均为整数，取满足$mn=-12$的一组整数，例如$m=4$，$n=-3$，此时$mn=4×(-3)=-12$符合要求。
4. 计算得$k=m+n=4+(-3)=1$，即$k=1$为符合条件的值（取其他整数对如$m=12,n=-1$得$k=11$等均正确）。
【答案】
1（答案不唯一，$\pm1、\pm4、\pm11$等均可）
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，十字相乘法因式分解，多项式系数对应相等
【点评】
本题为开放类基础题，考查因式分解在一元二次方程中的应用，解题关键是掌握多项式展开及系数对应规则，结合整数因数拆分即可得出答案，可选范围较广。
【难度系数】
0.7
解题时先将分解后的因式展开，再和原一元二次方程的左边多项式对比系数，即可得到k与方程两根的关系：将$(x-m)(x-n)$展开后为$x^2-(m+n)x+mn$，和原方程$x^2-kx-12=0$对应，可得$mn=-12$、$k=m+n$。接下来只要找到任意一组乘积为-12的整数$m、n$，计算二者的和就能得到符合条件的k值。
【解析】
1. 展开因式：$(x - m)(x - n)=x^2 - (m + n)x + mn$
2. 对比原方程$x^2 - kx -12=0$的左边，根据多项式相等对应项系数相等，可得：
$mn=-12$，且$k=m+n$
3. 因为方程两根为整数，所以$m、n$均为整数，取满足$mn=-12$的一组整数，例如$m=4$，$n=-3$，此时$mn=4×(-3)=-12$符合要求。
4. 计算得$k=m+n=4+(-3)=1$，即$k=1$为符合条件的值（取其他整数对如$m=12,n=-1$得$k=11$等均正确）。
【答案】
1（答案不唯一，$\pm1、\pm4、\pm11$等均可）
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，十字相乘法因式分解，多项式系数对应相等
【点评】
本题为开放类基础题，考查因式分解在一元二次方程中的应用，解题关键是掌握多项式展开及系数对应规则，结合整数因数拆分即可得出答案，可选范围较广。
【难度系数】
0.7
7. 一元二次方程 $x(x-3)=5(x-3)$ 的解是 …………………………………………【 】
A.$x=5$
B.$x=3$
C.$x_1=3,x_2=5$
D.$x_1=-3,x_2=5$
A.$x=5$
B.$x=3$
C.$x_1=3,x_2=5$
D.$x_1=-3,x_2=5$
答案
C
解析
【分析】
拿到这道题首先观察方程结构，发现等号左右两边都含有公因式$(x-3)$，注意不能直接两边同时除以$(x-3)$，否则会漏掉$x=3$这个解。正确的解题思路是：先通过移项将等号右边的项移到左边，使方程右边为0，再提取公因式$(x-3)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x-3) - 5(x-3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(x-5) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-3=0$ 或 $x-5=0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-3=0$时，$x_1=3$；
当$x-5=0$时，$x_2=5$。
因此原方程的解为$x_1=3,x_2=5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 公因式提取
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意不要直接约去含有未知数的整式，避免出现漏解的情况，熟练掌握因式分解法的解题步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察方程结构，发现等号左右两边都含有公因式$(x-3)$，注意不能直接两边同时除以$(x-3)$，否则会漏掉$x=3$这个解。正确的解题思路是：先通过移项将等号右边的项移到左边，使方程右边为0，再提取公因式$(x-3)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x-3) - 5(x-3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(x-5) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-3=0$ 或 $x-5=0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-3=0$时，$x_1=3$；
当$x-5=0$时，$x_2=5$。
因此原方程的解为$x_1=3,x_2=5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 公因式提取
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意不要直接约去含有未知数的整式，避免出现漏解的情况，熟练掌握因式分解法的解题步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
8.用因式分解法将方程$x^2 - mx - 6 = 0$的左边分解因式后，如果有一个因式是$(x - 3)$，那么$m$的值是………………【 】
A.0
B.1
C.$-1$
D.2
A.0
B.1
C.$-1$
D.2
答案
B
解析
【分析】
解题可从两个符合学段要求的思路切入：①根据因式分解与方程根的关系：若多项式分解后有因式$(x-3)$，则$x=3$是原一元二次方程的根，代入方程即可直接求$m$的值；②用待定系数法：设另一个因式为$(x+a)$，将两个一次因式相乘展开后，和原多项式对比对应项的系数，列方程求解$m$，两种思路都简便易懂。
【解析】
方法一（利用方程根的定义）：
∵ 方程$x^2 - mx - 6 = 0$左边因式分解后有一个因式是$(x-3)$
∴ $x=3$是方程$x^2 - mx - 6 = 0$的根
将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3m - 6 = 0$
即$9 - 3m - 6 = 0$
化简得$3 - 3m = 0$
解得$m=1$
方法二（待定系数法）：
设$x^2 - mx - 6 = (x-3)(x+a)$（$a$为常数）
将右边展开得：$x^2 + (a-3)x - 3a$
对比左右两边多项式的对应项系数：
常数项：$-3a = -6$，解得$a=2$
一次项系数：$a-3 = -m$
将$a=2$代入得：$2-3 = -m$，即$-1=-m$，解得$m=1$
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.因式分解与整式乘法
3.待定系数法
【点评】
本题是因式分解相关的基础题型，解题方法灵活，既可以通过根的定义快速代入求解，也可以用待定系数法计算，能帮助学生加深对因式分解和方程根关系的理解。
【难度系数】
0.8
解题可从两个符合学段要求的思路切入：①根据因式分解与方程根的关系：若多项式分解后有因式$(x-3)$，则$x=3$是原一元二次方程的根，代入方程即可直接求$m$的值；②用待定系数法：设另一个因式为$(x+a)$，将两个一次因式相乘展开后，和原多项式对比对应项的系数，列方程求解$m$，两种思路都简便易懂。
【解析】
方法一（利用方程根的定义）：
∵ 方程$x^2 - mx - 6 = 0$左边因式分解后有一个因式是$(x-3)$
∴ $x=3$是方程$x^2 - mx - 6 = 0$的根
将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3m - 6 = 0$
即$9 - 3m - 6 = 0$
化简得$3 - 3m = 0$
解得$m=1$
方法二（待定系数法）：
设$x^2 - mx - 6 = (x-3)(x+a)$（$a$为常数）
将右边展开得：$x^2 + (a-3)x - 3a$
对比左右两边多项式的对应项系数：
常数项：$-3a = -6$，解得$a=2$
一次项系数：$a-3 = -m$
将$a=2$代入得：$2-3 = -m$，即$-1=-m$，解得$m=1$
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.因式分解与整式乘法
3.待定系数法
【点评】
本题是因式分解相关的基础题型，解题方法灵活，既可以通过根的定义快速代入求解，也可以用待定系数法计算，能帮助学生加深对因式分解和方程根关系的理解。
【难度系数】
0.8
9.一元二次方程$(2x - 1)^2 = (2x - 1)(x + 1)$的解为 ……………………【 】
A.$x = -1$
B.$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 0$
C.$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 1$
D.$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 2$
A.$x = -1$
B.$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 0$
C.$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 1$
D.$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 2$
答案
D
解析
【分析】
观察方程两边都含有公因式$(2x-1)$，注意不能直接两边同时除以$(2x-1)$，否则会漏掉$2x-1=0$的情况。正确思路是先移项，把所有项移到等号左侧，再提取公因式$(2x-1)$，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再令每个因式分别等于0，解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：原方程移项得：
$(2x - 1)^2 - (2x - 1)(x + 1) = 0$
提取公因式$(2x-1)$得：
$(2x - 1)[(2x - 1) - (x + 1)] = 0$
化简括号内的式子：
$(2x - 1)(2x - 1 - x - 1) = 0$
即$(2x - 1)(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：
$2x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解得：$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提取公因式；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时切忌直接约去等式两边相同的含未知数的因式，否则会造成漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.8
观察方程两边都含有公因式$(2x-1)$，注意不能直接两边同时除以$(2x-1)$，否则会漏掉$2x-1=0$的情况。正确思路是先移项，把所有项移到等号左侧，再提取公因式$(2x-1)$，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再令每个因式分别等于0，解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：原方程移项得：
$(2x - 1)^2 - (2x - 1)(x + 1) = 0$
提取公因式$(2x-1)$得：
$(2x - 1)[(2x - 1) - (x + 1)] = 0$
化简括号内的式子：
$(2x - 1)(2x - 1 - x - 1) = 0$
即$(2x - 1)(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：
$2x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解得：$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提取公因式；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时切忌直接约去等式两边相同的含未知数的因式，否则会造成漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.8
10.已知7是关于x的一元二次方程$x^2 - 2x - mx + 2m = 0$的一个实数根，这个方程的另一个实数根为 ………………【 】
A.2
B.1
C.5
D.9
A.2
B.1
C.5
D.9
答案
A
解析
【分析】
解题思路有两种：方法一（贴合本节因式分解法考点）：先对原方程左边的多项式分组因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，直接得到方程的两个根的表达式，再结合已知的一个根为7，即可快速得出另一个根；方法二：根据一元二次方程根的定义，将x=7代入原方程求出参数m的值，再将m代回原方程，解方程得到另一个根。
【解析】
方法一（因式分解法）：
对原方程左边因式分解：
$\begin{aligned}x^2 - 2x - mx + 2m&=x(x-2)-m(x-2)\\&=(x-2)(x-m)\end{aligned}$
因此原方程可化为：$(x-2)(x-m)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=m$
已知方程的一个实数根为7，因此$m=7$，则另一个实数根为2。
方法二（代入法）：
将$x=7$代入原方程得：
$7^2 - 2×7 - 7m + 2m=0$
计算得：$49-14-5m=0$，即$35-5m=0$
解得：$m=7$
将$m=7$代回原方程得：$x^2 - 2x -7x +14=0$，整理得$x^2-9x+14=0$
因式分解得：$(x-2)(x-7)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=7$，因此另一个实数根为2。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 分组分解因式
【点评】
本题重点考查因式分解法在解一元二次方程中的应用，通过分组因式分解可以直接得到方程的根，简化计算步骤，熟练掌握常见的因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路有两种：方法一（贴合本节因式分解法考点）：先对原方程左边的多项式分组因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，直接得到方程的两个根的表达式，再结合已知的一个根为7，即可快速得出另一个根；方法二：根据一元二次方程根的定义，将x=7代入原方程求出参数m的值，再将m代回原方程，解方程得到另一个根。
【解析】
方法一（因式分解法）：
对原方程左边因式分解：
$\begin{aligned}x^2 - 2x - mx + 2m&=x(x-2)-m(x-2)\\&=(x-2)(x-m)\end{aligned}$
因此原方程可化为：$(x-2)(x-m)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=m$
已知方程的一个实数根为7，因此$m=7$，则另一个实数根为2。
方法二（代入法）：
将$x=7$代入原方程得：
$7^2 - 2×7 - 7m + 2m=0$
计算得：$49-14-5m=0$，即$35-5m=0$
解得：$m=7$
将$m=7$代回原方程得：$x^2 - 2x -7x +14=0$，整理得$x^2-9x+14=0$
因式分解得：$(x-2)(x-7)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=7$，因此另一个实数根为2。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 分组分解因式
【点评】
本题重点考查因式分解法在解一元二次方程中的应用，通过分组因式分解可以直接得到方程的根，简化计算步骤，熟练掌握常见的因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
11.用因式分解法解下列方程：
(1) $3x^2 - 15x = 0$.
(2) $(x + 2)^2 = x + 2$.
(3) $(x - \sqrt{3})^2 = 5(\sqrt{3} - x)$.
(4) $2(x - 4)^2 = x^2 - 16$.
(5) $(2x - 1)^2 + 3(2x - 1) + 2 = 0$.
(1) $3x^2 - 15x = 0$.
(2) $(x + 2)^2 = x + 2$.
(3) $(x - \sqrt{3})^2 = 5(\sqrt{3} - x)$.
(4) $2(x - 4)^2 = x^2 - 16$.
(5) $(2x - 1)^2 + 3(2x - 1) + 2 = 0$.
答案
11. (1) 0，5；(2) $-1$，$-2$；(3) $\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-5$；(4) 4，12；(5) 0，$-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先通过移项将方程右边化为0，再把左边分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，降次是核心思想。
各小题思考方向：
(1) 左边两项有公因式3x，直接提取公因式即可分解；
(2) 先将右边的(x+2)移到左边，把(x+2)作为公因式提取，不要直接两边除以(x+2)避免丢根；
(3) 注意右边的$\sqrt{3}-x=-(x-\sqrt{3})$，移项后提取公因式$(x-\sqrt{3})$即可；
(4) 右边$x^2-16$是平方差形式，先因式分解再移项提取公因式$(x-4)$；
(5) 把$(2x-1)$看作整体，左边是关于$(2x-1)$的二次三项式，用十字相乘法分解即可。
【解析】
(1) 解：$3x^2 - 15x = 0$
提取公因式$3x$，得：$3x(x - 5) = 0$
令每个因式为0，得：$3x=0$或$x-5=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=5$
(2) 解：$(x + 2)^2 = x + 2$
移项，得：$(x + 2)^2 - (x + 2) = 0$
提取公因式$(x+2)$，得：$(x+2)(x+2-1)=0$，即$(x+2)(x+1)=0$
令每个因式为0，得：$x+2=0$或$x+1=0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=-1$
(3) 解：$(x - \sqrt{3})^2 = 5(\sqrt{3} - x)$
移项变形，得：$(x - \sqrt{3})^2 + 5(x - \sqrt{3}) = 0$
提取公因式$(x-\sqrt{3})$，得：$(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3}+5)=0$
令每个因式为0，得：$x-\sqrt{3}=0$或$x-\sqrt{3}+5=0$
解得：$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{3}-5$
(4) 解：$2(x - 4)^2 = x^2 - 16$
将右边用平方差公式分解：$x^2-16=(x-4)(x+4)$
移项，得：$2(x - 4)^2 - (x - 4)(x + 4) = 0$
提取公因式$(x-4)$，得：$(x-4)[2(x-4)-(x+4)]=0$
化简得：$(x-4)(x-12)=0$
令每个因式为0，得：$x-4=0$或$x-12=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=12$
(5) 解：$(2x - 1)^2 + 3(2x - 1) + 2 = 0$
把$(2x-1)$看作整体，十字相乘分解得：$(2x-1+1)(2x-1+2)=0$，即$2x(2x+1)=0$
令每个因式为0，得：$2x=0$或$2x+1=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 0，5；(2) $-1$，$-2$；(3) $\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-5$；(4) 4，12；(5) 0，$-\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法因式分解、十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题关键是掌握降次思想，灵活选择合适的因式分解方法，注意不要随意两边除以含未知数的公因式，避免漏根。
【难度系数】
0.7
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先通过移项将方程右边化为0，再把左边分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，降次是核心思想。
各小题思考方向：
(1) 左边两项有公因式3x，直接提取公因式即可分解；
(2) 先将右边的(x+2)移到左边，把(x+2)作为公因式提取，不要直接两边除以(x+2)避免丢根；
(3) 注意右边的$\sqrt{3}-x=-(x-\sqrt{3})$，移项后提取公因式$(x-\sqrt{3})$即可；
(4) 右边$x^2-16$是平方差形式，先因式分解再移项提取公因式$(x-4)$；
(5) 把$(2x-1)$看作整体，左边是关于$(2x-1)$的二次三项式，用十字相乘法分解即可。
【解析】
(1) 解：$3x^2 - 15x = 0$
提取公因式$3x$，得：$3x(x - 5) = 0$
令每个因式为0，得：$3x=0$或$x-5=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=5$
(2) 解：$(x + 2)^2 = x + 2$
移项，得：$(x + 2)^2 - (x + 2) = 0$
提取公因式$(x+2)$，得：$(x+2)(x+2-1)=0$，即$(x+2)(x+1)=0$
令每个因式为0，得：$x+2=0$或$x+1=0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=-1$
(3) 解：$(x - \sqrt{3})^2 = 5(\sqrt{3} - x)$
移项变形，得：$(x - \sqrt{3})^2 + 5(x - \sqrt{3}) = 0$
提取公因式$(x-\sqrt{3})$，得：$(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3}+5)=0$
令每个因式为0，得：$x-\sqrt{3}=0$或$x-\sqrt{3}+5=0$
解得：$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=\sqrt{3}-5$
(4) 解：$2(x - 4)^2 = x^2 - 16$
将右边用平方差公式分解：$x^2-16=(x-4)(x+4)$
移项，得：$2(x - 4)^2 - (x - 4)(x + 4) = 0$
提取公因式$(x-4)$，得：$(x-4)[2(x-4)-(x+4)]=0$
化简得：$(x-4)(x-12)=0$
令每个因式为0，得：$x-4=0$或$x-12=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=12$
(5) 解：$(2x - 1)^2 + 3(2x - 1) + 2 = 0$
把$(2x-1)$看作整体，十字相乘分解得：$(2x-1+1)(2x-1+2)=0$，即$2x(2x+1)=0$
令每个因式为0，得：$2x=0$或$2x+1=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 0，5；(2) $-1$，$-2$；(3) $\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-5$；(4) 4，12；(5) 0，$-\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法因式分解、十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题关键是掌握降次思想，灵活选择合适的因式分解方法，注意不要随意两边除以含未知数的公因式，避免漏根。
【难度系数】
0.7
