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16. 若分式$\frac{x^2 - 4}{(2x - 1)(x - 2)}$的值为零，则$x$的值一定是………………【 】
A.$x=-2$
B.$x=2$
C.$x=\pm2$
D.$x≠-2$
A.$x=-2$
B.$x=2$
C.$x=\pm2$
D.$x≠-2$
答案
16. A.
解析
【分析】
要解决分式值为零的问题，需牢记分式值为零的两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，两个条件必须同时满足，缺一不可。解题时先求解分子等于0时x的取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩余的就是符合要求的结果。
【解析】
分式值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 4 = 0$
用直接开平方法解方程得：$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$
2. 分母不等于0：$(2x-1)(x-2) ≠ 0$
即$2x-1 ≠ 0$且$x-2 ≠ 0$，解得$x ≠ \frac{1}{2}$且$x ≠ 2$
综合两个条件，需舍去不符合要求的$x=2$，故$x=-2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式值为零的条件
2. 直接开平方法解方程
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，解题的关键是不要遗漏分母不为0的隐含要求，避免只解分子为0的方程错选C选项，求解后一定要代入分母验证。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为零的问题，需牢记分式值为零的两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，两个条件必须同时满足，缺一不可。解题时先求解分子等于0时x的取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩余的就是符合要求的结果。
【解析】
分式值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 4 = 0$
用直接开平方法解方程得：$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$
2. 分母不等于0：$(2x-1)(x-2) ≠ 0$
即$2x-1 ≠ 0$且$x-2 ≠ 0$，解得$x ≠ \frac{1}{2}$且$x ≠ 2$
综合两个条件，需舍去不符合要求的$x=2$，故$x=-2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式值为零的条件
2. 直接开平方法解方程
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，解题的关键是不要遗漏分母不为0的隐含要求，避免只解分子为0的方程错选C选项，求解后一定要代入分母验证。
【难度系数】
0.7
17.若关于$x$的方程$a(x-b)^2=7$的两个根为$1\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，则$a+b$的值为……【 】
A.$2$
B.$5$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{4}$
A.$2$
B.$5$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{4}$
答案
17. B.
解析
【分析】
本题可利用直接开平方法先求出方程$a(x-b)^2=7$的根的通用表达式，再将其与题目给出的根$1\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$进行系数对比，分别求出参数$a$和$b$的值，最后计算$a+b$即可得到结果。
【解析】
首先对方程$a(x-b)^2=7$用直接开平方法求解：
1. 方程两边同时除以$a$（$a≠0$，否则方程不是二次方程），得：
$(x-b)^2=\frac{7}{a}$
2. 两边直接开平方，得：
$x-b=\pm\sqrt{\frac{7}{a}}$
3. 整理得方程的根为：
$x=b\pm\sqrt{\frac{7}{a}}$
已知方程的两个根为$1\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，将两个形式对比可得：
常数项$b=1$，且$\sqrt{\frac{7}{a}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$
对$\sqrt{\frac{7}{a}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$两边同时平方，得：
$\frac{7}{a}=\frac{7}{4}$，解得$a=4$
因此$a+b=4+1=5$
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 代数式系数对应
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，解题核心是掌握直接开平方法的运算步骤，通过根的形式匹配对应参数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题可利用直接开平方法先求出方程$a(x-b)^2=7$的根的通用表达式，再将其与题目给出的根$1\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$进行系数对比，分别求出参数$a$和$b$的值，最后计算$a+b$即可得到结果。
【解析】
首先对方程$a(x-b)^2=7$用直接开平方法求解：
1. 方程两边同时除以$a$（$a≠0$，否则方程不是二次方程），得：
$(x-b)^2=\frac{7}{a}$
2. 两边直接开平方，得：
$x-b=\pm\sqrt{\frac{7}{a}}$
3. 整理得方程的根为：
$x=b\pm\sqrt{\frac{7}{a}}$
已知方程的两个根为$1\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，将两个形式对比可得：
常数项$b=1$，且$\sqrt{\frac{7}{a}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$
对$\sqrt{\frac{7}{a}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$两边同时平方，得：
$\frac{7}{a}=\frac{7}{4}$，解得$a=4$
因此$a+b=4+1=5$
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 代数式系数对应
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，解题核心是掌握直接开平方法的运算步骤，通过根的形式匹配对应参数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
18.用直接开平方法解下列方程：
(1) $\frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{9} = 0$.
(2) $x^2 - \sqrt{144} = 0$.
(3) $(3y + 1)^2 - 4 = 0$.
(4) $(3 - x)(x + 3) = 1$.
(5) $(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5}) = 20$.
(6) $(x + 1)^2 = (3 - 2x)^2$.
(7) $4(2y - 1)^2 = 9(3y - 1)^2$.
(1) $\frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{9} = 0$.
(2) $x^2 - \sqrt{144} = 0$.
(3) $(3y + 1)^2 - 4 = 0$.
(4) $(3 - x)(x + 3) = 1$.
(5) $(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5}) = 20$.
(6) $(x + 1)^2 = (3 - 2x)^2$.
(7) $4(2y - 1)^2 = 9(3y - 1)^2$.
答案
18. (1) $\pm \frac{2}{3}$；(2) $\pm 2\sqrt{3}$；(3) $\frac{1}{3},-1$；(4) $\pm 2\sqrt{2}$；(5) $\pm 5$；(6) $\frac{2}{3},4$；(7) $\frac{1}{5},\frac{5}{13}$.
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程转化为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，即形如$x^2=a(a≥0)$或$(mx+n)^2=a(a≥0)$，再根据平方根的定义，两边同时开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。解题时先观察方程结构，能先化简的先化简，再变形为符合直接开平方的标准形式，开平方时注意不要漏负根。
【解析】
(1) 移项得：$\frac{1}{4}y^2=\frac{1}{9}$，两边同乘4得$y^2=\frac{4}{9}$，开平方得$y=\pm\frac{2}{3}$；
(2) 化简原式得$x^2-12=0$，移项得$x^2=12$，开平方得$x=\pm2\sqrt{3}$；
(3) 移项得$(3y+1)^2=4$，开平方得$3y+1=\pm2$：
当$3y+1=2$时，解得$y=\frac{1}{3}$；当$3y+1=-2$时，解得$y=-1$；
(4) 左边用平方差公式化简得$9-x^2=1$，整理得$x^2=8$，开平方得$x=\pm2\sqrt{2}$；
(5) 左边用平方差公式化简得$x^2-5=20$，整理得$x^2=25$，开平方得$x=\pm5$；
(6) 两边直接开平方得$x+1=\pm(3-2x)$：
当$x+1=3-2x$时，解得$x=\frac{2}{3}$；当$x+1=-(3-2x)$时，解得$x=4$；
(7) 两边直接开平方得$2(2y-1)=\pm3(3y-1)$：
当$2(2y-1)=3(3y-1)$时，解得$y=\frac{1}{5}$；当$2(2y-1)=-3(3y-1)$时，解得$y=\frac{5}{13}$。
【答案】
(1) $\pm \frac{2}{3}$；(2) $\pm 2\sqrt{3}$；(3) $\frac{1}{3},-1$；(4) $\pm 2\sqrt{2}$；(5) $\pm 5$；(6) $\frac{2}{3},4$；(7) $\frac{1}{5},\frac{5}{13}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；平方差公式
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练将方程转化为可直接开平方的标准形式，开平方时要注意正负两种情况，避免漏根，部分题目可先利用整式乘法公式化简后再求解，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.75
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程转化为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，即形如$x^2=a(a≥0)$或$(mx+n)^2=a(a≥0)$，再根据平方根的定义，两边同时开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。解题时先观察方程结构，能先化简的先化简，再变形为符合直接开平方的标准形式，开平方时注意不要漏负根。
【解析】
(1) 移项得：$\frac{1}{4}y^2=\frac{1}{9}$，两边同乘4得$y^2=\frac{4}{9}$，开平方得$y=\pm\frac{2}{3}$；
(2) 化简原式得$x^2-12=0$，移项得$x^2=12$，开平方得$x=\pm2\sqrt{3}$；
(3) 移项得$(3y+1)^2=4$，开平方得$3y+1=\pm2$：
当$3y+1=2$时，解得$y=\frac{1}{3}$；当$3y+1=-2$时，解得$y=-1$；
(4) 左边用平方差公式化简得$9-x^2=1$，整理得$x^2=8$，开平方得$x=\pm2\sqrt{2}$；
(5) 左边用平方差公式化简得$x^2-5=20$，整理得$x^2=25$，开平方得$x=\pm5$；
(6) 两边直接开平方得$x+1=\pm(3-2x)$：
当$x+1=3-2x$时，解得$x=\frac{2}{3}$；当$x+1=-(3-2x)$时，解得$x=4$；
(7) 两边直接开平方得$2(2y-1)=\pm3(3y-1)$：
当$2(2y-1)=3(3y-1)$时，解得$y=\frac{1}{5}$；当$2(2y-1)=-3(3y-1)$时，解得$y=\frac{5}{13}$。
【答案】
(1) $\pm \frac{2}{3}$；(2) $\pm 2\sqrt{3}$；(3) $\frac{1}{3},-1$；(4) $\pm 2\sqrt{2}$；(5) $\pm 5$；(6) $\frac{2}{3},4$；(7) $\frac{1}{5},\frac{5}{13}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；平方差公式
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练将方程转化为可直接开平方的标准形式，开平方时要注意正负两种情况，避免漏根，部分题目可先利用整式乘法公式化简后再求解，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.75
19.解方程:$(x+2)(x+8)=40$.
解:原方程$(x+2)(x+8)=40$变形,得
$[(x+5)-3][(x+5)+3]=40$.
由此可得 $(x+5)^2 - 3^2 = 40$.
移项,得 $(x+5)^2 = 49$.
直接开平方,得 $x+5=\pm7$.
所以 $x_1 = 2$, $x_2 = -12$.
请仿照上述方法解下列方程:
(1)$x(x+4)=5$.
(2)$(x-3)(x+5)=4$.
解:原方程$(x+2)(x+8)=40$变形,得
$[(x+5)-3][(x+5)+3]=40$.
由此可得 $(x+5)^2 - 3^2 = 40$.
移项,得 $(x+5)^2 = 49$.
直接开平方,得 $x+5=\pm7$.
所以 $x_1 = 2$, $x_2 = -12$.
请仿照上述方法解下列方程:
(1)$x(x+4)=5$.
(2)$(x-3)(x+5)=4$.
答案
19. 提示:(1) 将方程变形,得 $(x+2)^2 = 9$.
直接开平方,得 $x+2 = \pm 3$.
所以 $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.
(2) 将方程变形,得 $(x+1)^2 = 20$.
直接开平方,得 $x+1 = \pm 2\sqrt{5}$.
所以 $x_1 = -1 + 2\sqrt{5}$, $x_2 = -1 - 2\sqrt{5}$.
直接开平方,得 $x+2 = \pm 3$.
所以 $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.
(2) 将方程变形,得 $(x+1)^2 = 20$.
直接开平方,得 $x+1 = \pm 2\sqrt{5}$.
所以 $x_1 = -1 + 2\sqrt{5}$, $x_2 = -1 - 2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题可仿照题中给出的凑平方差的方法求解：当两个一次因式中x的系数均为1时，先计算两个因式常数项的平均数，将原式变形为(同一个含x的整体 - 常数)(同一个含x的整体 + 常数)的平方差形式，再利用平方差公式化简，转化为可直接开平方的一元二次方程求解即可。
(1)中$x(x+4)$两个因式的常数项为0和4，平均数为2，因此凑整体$(x+2)$；(2)中$(x-3)(x+5)$两个因式的常数项为-3和5，平均数为1，因此凑整体$(x+1)$。
【解析】
(1) 原方程$x(x+4)=5$变形，得：
$[(x+2)-2][(x+2)+2]=5$
利用平方差公式化简得：$(x+2)^2 - 2^2 = 5$
移项得：$(x+2)^2 = 5 + 4 = 9$
直接开平方得：$x+2 = \pm 3$
即$x+2=3$或$x+2=-3$
解得$x_1=1$，$x_2=-5$
(2) 原方程$(x-3)(x+5)=4$变形，得：
$[(x+1)-4][(x+1)+4]=4$
利用平方差公式化简得：$(x+1)^2 - 4^2 = 4$
移项得：$(x+1)^2 = 4 + 16 = 20$
直接开平方得：$x+1 = \pm 2\sqrt{5}$
即$x+1=2\sqrt{5}$或$x+1=-2\sqrt{5}$
解得$x_1=-1+2\sqrt{5}$，$x_2=-1-2\sqrt{5}$
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-5$；(2) $x_1=-1+2\sqrt{5}$，$x_2=-1-2\sqrt{5}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
这类解法通过凑平方差的形式简化了计算，无需将方程展开为一元二次方程的一般式，解题关键是找准两个一次因式中常数项的平均数，构造出相同的含x的整体，适合解具有这类特殊结构的一元二次方程。
【难度系数】
0.7
本题可仿照题中给出的凑平方差的方法求解：当两个一次因式中x的系数均为1时，先计算两个因式常数项的平均数，将原式变形为(同一个含x的整体 - 常数)(同一个含x的整体 + 常数)的平方差形式，再利用平方差公式化简，转化为可直接开平方的一元二次方程求解即可。
(1)中$x(x+4)$两个因式的常数项为0和4，平均数为2，因此凑整体$(x+2)$；(2)中$(x-3)(x+5)$两个因式的常数项为-3和5，平均数为1，因此凑整体$(x+1)$。
【解析】
(1) 原方程$x(x+4)=5$变形，得：
$[(x+2)-2][(x+2)+2]=5$
利用平方差公式化简得：$(x+2)^2 - 2^2 = 5$
移项得：$(x+2)^2 = 5 + 4 = 9$
直接开平方得：$x+2 = \pm 3$
即$x+2=3$或$x+2=-3$
解得$x_1=1$，$x_2=-5$
(2) 原方程$(x-3)(x+5)=4$变形，得：
$[(x+1)-4][(x+1)+4]=4$
利用平方差公式化简得：$(x+1)^2 - 4^2 = 4$
移项得：$(x+1)^2 = 4 + 16 = 20$
直接开平方得：$x+1 = \pm 2\sqrt{5}$
即$x+1=2\sqrt{5}$或$x+1=-2\sqrt{5}$
解得$x_1=-1+2\sqrt{5}$，$x_2=-1-2\sqrt{5}$
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-5$；(2) $x_1=-1+2\sqrt{5}$，$x_2=-1-2\sqrt{5}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
这类解法通过凑平方差的形式简化了计算，无需将方程展开为一元二次方程的一般式，解题关键是找准两个一次因式中常数项的平均数，构造出相同的含x的整体，适合解具有这类特殊结构的一元二次方程。
【难度系数】
0.7
