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1.方程$(x-1)^2=9$的根为
4和－2
.答案
1. 4和－2.
解析
【分析】
拿到本题首先观察方程结构，左边是完全平方式$(x-1)^2$，右边是正数9，符合直接开平方法解一元二次方程的形式（即形如$a^2=b$，$b≥0$的方程可直接开平方求解）。我们可以把$x-1$看作一个整体，对等式两边同时开平方，将二次方程降为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程就能得到原方程的根，注意开平方时不要漏掉负的平方根。
【解析】
解：对原方程两边直接开平方，得
$x-1=\pm\sqrt{9}$
即 $x-1=3$ 或 $x-1=-3$
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
因此原方程的根为$x_1=4$，$x_2=-2$。
【答案】
4和－2
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的适用条件和解题步骤，解题时注意开平方后正负两种情况不要漏解，熟练掌握基础解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先观察方程结构，左边是完全平方式$(x-1)^2$，右边是正数9，符合直接开平方法解一元二次方程的形式（即形如$a^2=b$，$b≥0$的方程可直接开平方求解）。我们可以把$x-1$看作一个整体，对等式两边同时开平方，将二次方程降为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程就能得到原方程的根，注意开平方时不要漏掉负的平方根。
【解析】
解：对原方程两边直接开平方，得
$x-1=\pm\sqrt{9}$
即 $x-1=3$ 或 $x-1=-3$
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
因此原方程的根为$x_1=4$，$x_2=-2$。
【答案】
4和－2
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的适用条件和解题步骤，解题时注意开平方后正负两种情况不要漏解，熟练掌握基础解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.若代数式$(2x+1)^2$的值等于25，则x的值为
2或－3
。答案
2. 2或－3.
解析
【分析】
首先根据代数式的值为25列出对应的一元二次方程，观察发现方程左边是完全平方式，右边是正常数，符合直接开平方法的适用形式。接下来利用平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根），把二次方程降为两个一元一次方程，分别求解就能得到x的所有取值，注意不要遗漏负平方根对应的解。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$(2x+1)^2=25$
对等式两边直接开平方，得：
$2x+1=\pm5$
分两种情况计算：
① 当$2x+1=5$时，
移项得$2x=5-1$，
即$2x=4$，
解得$x=2$；
② 当$2x+1=-5$时，
移项得$2x=-5-1$，
即$2x=-6$，
解得$x=-3$。
【答案】
2或－3
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解方程的基础应用，核心是掌握平方根的性质，解题时注意不要漏解负根即可。
【难度系数】
0.8
首先根据代数式的值为25列出对应的一元二次方程，观察发现方程左边是完全平方式，右边是正常数，符合直接开平方法的适用形式。接下来利用平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根），把二次方程降为两个一元一次方程，分别求解就能得到x的所有取值，注意不要遗漏负平方根对应的解。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$(2x+1)^2=25$
对等式两边直接开平方，得：
$2x+1=\pm5$
分两种情况计算：
① 当$2x+1=5$时，
移项得$2x=5-1$，
即$2x=4$，
解得$x=2$；
② 当$2x+1=-5$时，
移项得$2x=-5-1$，
即$2x=-6$，
解得$x=-3$。
【答案】
2或－3
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解方程的基础应用，核心是掌握平方根的性质，解题时注意不要漏解负根即可。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x$的一元二次方程$(x+1)^2 - m = 0$有实数根，则$m$的取值范围是
$m ≥ 0$
。答案
3. $m ≥ 0$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先将给定的一元二次方程变形为“完全平方式等于常数”的形式，这是直接开平方法解方程的标准形式。根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数，因此只有当等号右侧的常数大于等于0时，方程才有实数根，据此就能求出m的取值范围。
【解析】
解：对原方程移项可得：
$\begin{aligned}(x+1)^2 - m &= 0 \\(x+1)^2 &= m\end{aligned}$
∵ 对于任意实数$x$，完全平方式$(x+1)^2$满足$(x+1)^2 ≥ 0$
∴ 要使方程有实数根，需满足$m ≥ 0$
【答案】
$m≥ 0$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直接开平方法解方程的适用条件，熟练掌握完全平方式的非负性即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以先将给定的一元二次方程变形为“完全平方式等于常数”的形式，这是直接开平方法解方程的标准形式。根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数，因此只有当等号右侧的常数大于等于0时，方程才有实数根，据此就能求出m的取值范围。
【解析】
解：对原方程移项可得：
$\begin{aligned}(x+1)^2 - m &= 0 \\(x+1)^2 &= m\end{aligned}$
∵ 对于任意实数$x$，完全平方式$(x+1)^2$满足$(x+1)^2 ≥ 0$
∴ 要使方程有实数根，需满足$m ≥ 0$
【答案】
$m≥ 0$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直接开平方法解方程的适用条件，熟练掌握完全平方式的非负性即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4.若关于x的方程$x^2 - m^2 x + 3 = 0$的一个根为1，则m的值为
$\pm 2$
。答案
4. $\pm 2$.
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：首先明确方程的根的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此已知x=1是方程的根，可将x=1代入原方程，得到只含有m的方程；接下来整理得到的关于m的方程，结合直接开平方法求解m的值即可，注意开平方时正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵x=1是方程$x^2 - m^2 x + 3 = 0$的一个根，
∴将x=1代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}1^2 - m^2 × 1 + 3 &= 0 \\1 - m^2 + 3 &= 0 \\m^2 &= 4\end{aligned}$
对$m^2=4$直接开平方得：$m=\pm\sqrt{4}=\pm2$
【答案】
$\pm 2$
【知识点】
一元二次方程根的定义、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握方程根的定义，代入计算时注意运算准确性，开平方求解时不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：首先明确方程的根的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此已知x=1是方程的根，可将x=1代入原方程，得到只含有m的方程；接下来整理得到的关于m的方程，结合直接开平方法求解m的值即可，注意开平方时正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵x=1是方程$x^2 - m^2 x + 3 = 0$的一个根，
∴将x=1代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}1^2 - m^2 × 1 + 3 &= 0 \\1 - m^2 + 3 &= 0 \\m^2 &= 4\end{aligned}$
对$m^2=4$直接开平方得：$m=\pm\sqrt{4}=\pm2$
【答案】
$\pm 2$
【知识点】
一元二次方程根的定义、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握方程根的定义，代入计算时注意运算准确性，开平方求解时不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.8
5.已知$\sqrt{81}$的算术平方根为$a$，则关于$x$的方程$(x-a)^2=4$的根为
5和1
。答案
5. 5和1.
解析
【分析】
解题需分两步走：第一步先求出参数a的值：先计算√81的结果，再求该结果的算术平方根即可得到a；第二步将a代入方程，用直接开平方法解一元二次方程：方程左边是完全平方式，右边是正数，直接对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解即可得到方程的根。
【解析】
第一步：求a的值
∵√81=9，9的算术平方根是3
∴a=3
第二步：代入a解方程
将a=3代入方程$(x-a)^2=4$，得：
$(x-3)^2=4$
两边直接开平方，得：
$x-3=±2$
即$x-3=2$或$x-3=-2$
解得：$x_1=5$，$x_2=1$
【答案】
5和1
【知识点】
算术平方根的计算；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意不要混淆√81的算术平方根和81的算术平方根，先化简√81再求其算术平方根是求出正确a值的关键，再结合直接开平方法的规则解方程即可，易错点是求a时粗心出错。
【难度系数】
0.7
解题需分两步走：第一步先求出参数a的值：先计算√81的结果，再求该结果的算术平方根即可得到a；第二步将a代入方程，用直接开平方法解一元二次方程：方程左边是完全平方式，右边是正数，直接对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解即可得到方程的根。
【解析】
第一步：求a的值
∵√81=9，9的算术平方根是3
∴a=3
第二步：代入a解方程
将a=3代入方程$(x-a)^2=4$，得：
$(x-3)^2=4$
两边直接开平方，得：
$x-3=±2$
即$x-3=2$或$x-3=-2$
解得：$x_1=5$，$x_2=1$
【答案】
5和1
【知识点】
算术平方根的计算；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意不要混淆√81的算术平方根和81的算术平方根，先化简√81再求其算术平方根是求出正确a值的关键，再结合直接开平方法的规则解方程即可，易错点是求a时粗心出错。
【难度系数】
0.7
6.当$x=\_\_\_\_\_\_$时，分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$无意义；当$x=\_\_\_\_\_\_$时，分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为零。
答案
6. －3，3.
解析
【分析】
解决本题需要用到分式的两个核心性质：1. 分式无意义的条件是分母等于0；2. 分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0（避免分式无意义）。首先求解第一个空：直接令分母为0解方程即可得到使分式无意义的x值。再求解第二个空：先令分子为0解出x的所有可能值，再排除使分母为0的x值，剩下的就是使分式值为0的解。
【解析】
1. 求使分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$无意义的$x$值：
分式无意义时，分母为0，列方程得：
$x + 3 = 0$
解得：$x = -3$
2. 求使分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为0的$x$值：
分式值为0需同时满足两个条件：①分子为0；②分母不为0。
先令分子为0，列方程得：
$x^2 - 9 = 0$
由平方差公式因式分解得：$(x + 3)(x - 3) = 0$
解得：$x = 3$或$x = -3$
再结合分母不为0的限制：$x + 3 ≠ 0$，即$x ≠ -3$，因此舍去$x = -3$，最终得$x = 3$。
【答案】
－3，3
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题时要特别注意分式值为零的情况必须同时满足分子为零、分母不为零两个条件，不能遗漏分母不为零的限制，否则容易出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需要用到分式的两个核心性质：1. 分式无意义的条件是分母等于0；2. 分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0（避免分式无意义）。首先求解第一个空：直接令分母为0解方程即可得到使分式无意义的x值。再求解第二个空：先令分子为0解出x的所有可能值，再排除使分母为0的x值，剩下的就是使分式值为0的解。
【解析】
1. 求使分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$无意义的$x$值：
分式无意义时，分母为0，列方程得：
$x + 3 = 0$
解得：$x = -3$
2. 求使分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为0的$x$值：
分式值为0需同时满足两个条件：①分子为0；②分母不为0。
先令分子为0，列方程得：
$x^2 - 9 = 0$
由平方差公式因式分解得：$(x + 3)(x - 3) = 0$
解得：$x = 3$或$x = -3$
再结合分母不为0的限制：$x + 3 ≠ 0$，即$x ≠ -3$，因此舍去$x = -3$，最终得$x = 3$。
【答案】
－3，3
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题时要特别注意分式值为零的情况必须同时满足分子为零、分母不为零两个条件，不能遗漏分母不为零的限制，否则容易出现多解错误。
【难度系数】
0.7
7.若$2x^2 + 3$与$2x^2 - 4$互为相反数，则x的值为
$\pm \frac{1}{2}$
.答案
7. $\pm \frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先利用“互为相反数的两个数之和为0”这一性质列出关于x的方程，再对方程进行移项、合并同类项、系数化为1的操作，将方程转化为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，最后使用直接开平方法求解x的值即可。
【解析】
∵ $2x^2 + 3$与$2x^2 - 4$互为相反数
∴ 两数之和为0，可列方程：
$(2x^2 + 3) + (2x^2 - 4) = 0$
去括号、合并同类项得：
$4x^2 - 1 = 0$
移项得：
$4x^2 = 1$
系数化为1得：
$x^2 = \frac{1}{4}$
直接开平方得：
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$
【答案】
$\pm \frac{1}{2}$
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据相反数的性质建立方程，再用直接开平方法求解，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用“互为相反数的两个数之和为0”这一性质列出关于x的方程，再对方程进行移项、合并同类项、系数化为1的操作，将方程转化为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，最后使用直接开平方法求解x的值即可。
【解析】
∵ $2x^2 + 3$与$2x^2 - 4$互为相反数
∴ 两数之和为0，可列方程：
$(2x^2 + 3) + (2x^2 - 4) = 0$
去括号、合并同类项得：
$4x^2 - 1 = 0$
移项得：
$4x^2 = 1$
系数化为1得：
$x^2 = \frac{1}{4}$
直接开平方得：
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$
【答案】
$\pm \frac{1}{2}$
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据相反数的性质建立方程，再用直接开平方法求解，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
8.若方程$ax^2 = b(ab ＞ 0)$的两根分别是$m - 4$与$3m - 8$，则$\frac{b}{a} =$
1
。答案
8. 1.
解析
【分析】
首先观察方程形式，可利用直接开平方法将方程变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由$ab＞0$可知$\frac{b}{a}$是正数，正数的两个平方根互为相反数，因此方程的两个根之和为0，据此先列方程求出$m$的值，再将根代入即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
解：$\because ax^2 = b$（$ab＞0$），
$\therefore$ 两边同时除以$a$得 $x^2=\frac{b}{a}$，
$\because ab＞0$，$\therefore \frac{b}{a}＞0$，
$\therefore$ 该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0，
$\therefore (m-4)+(3m-8)=0$，
解得：$4m-12=0$，$m=3$，
$\therefore$ 方程的两根分别为$3-4=-1$，$3×3-8=1$，
$\therefore \frac{b}{a}=x^2=(\pm1)^2=1$。
【答案】
1
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；相反数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法下一元二次方程根的特征，解题的关键是掌握正数的两个平方根互为相反数这一性质，再通过解方程求出参数后代入计算即可。
【难度系数】
0.7
首先观察方程形式，可利用直接开平方法将方程变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由$ab＞0$可知$\frac{b}{a}$是正数，正数的两个平方根互为相反数，因此方程的两个根之和为0，据此先列方程求出$m$的值，再将根代入即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
解：$\because ax^2 = b$（$ab＞0$），
$\therefore$ 两边同时除以$a$得 $x^2=\frac{b}{a}$，
$\because ab＞0$，$\therefore \frac{b}{a}＞0$，
$\therefore$ 该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0，
$\therefore (m-4)+(3m-8)=0$，
解得：$4m-12=0$，$m=3$，
$\therefore$ 方程的两根分别为$3-4=-1$，$3×3-8=1$，
$\therefore \frac{b}{a}=x^2=(\pm1)^2=1$。
【答案】
1
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；相反数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法下一元二次方程根的特征，解题的关键是掌握正数的两个平方根互为相反数这一性质，再通过解方程求出参数后代入计算即可。
【难度系数】
0.7
9.方程$x^2 - 3 = 0$的根为……【 】
A.3
B.$\pm\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$\pm3$
A.3
B.$\pm\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$\pm3$
答案
9. B.
解析
【分析】
这道题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路很清晰：首先先把常数项移到方程的右侧，让左侧只保留未知数的平方项，再根据平方根的性质对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不能漏掉负根。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 3 = 0$移项，可得：
$x^2 = 3$
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得：
$x = \pm\sqrt{3}$
因此方程的根为$\pm\sqrt{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考察直接开平方法解简单一元二次方程的能力，解题时要注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
这道题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路很清晰：首先先把常数项移到方程的右侧，让左侧只保留未知数的平方项，再根据平方根的性质对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不能漏掉负根。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 3 = 0$移项，可得：
$x^2 = 3$
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得：
$x = \pm\sqrt{3}$
因此方程的根为$\pm\sqrt{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考察直接开平方法解简单一元二次方程的能力，解题时要注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
10.用直接开平方法来解下列方程，其中错误的是 ………………………………【 】
A.$x^2 = 12, x = \pm 2\sqrt{3}$
B.$(x - 1)^2 = 4, x - 1 = \pm 2$
C.$x^2 = 3x, x = \pm \sqrt{3x}$
D.$(x + 1)^2 = (2x)^2, x + 1 = \pm 2x$
A.$x^2 = 12, x = \pm 2\sqrt{3}$
B.$(x - 1)^2 = 4, x - 1 = \pm 2$
C.$x^2 = 3x, x = \pm \sqrt{3x}$
D.$(x + 1)^2 = (2x)^2, x + 1 = \pm 2x$
答案
10. C.
解析
【分析】
解题的核心是牢记直接开平方法的使用规则：①适用的方程形式为“完全平方式=非负常数”或“两个完全平方式相等”；②开平方时，等号右侧要添加正负号；③不能对含有未知数的非完全平方式直接开平方，避免出现定义域限制或丢根的问题。我们只需逐一比对四个选项的操作是否符合上述规则，就能找出错误选项。
【解析】
我们逐个验证各选项的正确性：
选项A：方程$x^2 = 12$符合“完全平方式=正的常数”的形式，直接开平方得$x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$，操作正确。
选项B：方程$(x - 1)^2 = 4$左边是关于x的完全平方式，右边是正的常数，直接开平方得$x - 1 = \pm 2$，操作正确。
选项C：方程$x^2 = 3x$的右侧是含未知数x的代数式，不是常数，不符合直接开平方法的适用条件；若直接开平方得到$x = \pm \sqrt{3x}$，既默认了$3x≥0$不合理限制了x的取值范围，还会丢失$x=0$的根，操作错误。
选项D：方程$(x + 1)^2 = (2x)^2$左右两边都是关于x的完全平方式，符合直接开平方的条件，开平方得$x + 1 = \pm 2x$，操作正确。
因此错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对直接开平方法适用条件的掌握程度，易错点是忽略直接开平方的前提，误将含未知数的项当作常数开平方，解题时遇到方程两边含有相同未知数公因式的情况，要优先考虑移项提取公因式，避免出现丢根的问题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是牢记直接开平方法的使用规则：①适用的方程形式为“完全平方式=非负常数”或“两个完全平方式相等”；②开平方时，等号右侧要添加正负号；③不能对含有未知数的非完全平方式直接开平方，避免出现定义域限制或丢根的问题。我们只需逐一比对四个选项的操作是否符合上述规则，就能找出错误选项。
【解析】
我们逐个验证各选项的正确性：
选项A：方程$x^2 = 12$符合“完全平方式=正的常数”的形式，直接开平方得$x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$，操作正确。
选项B：方程$(x - 1)^2 = 4$左边是关于x的完全平方式，右边是正的常数，直接开平方得$x - 1 = \pm 2$，操作正确。
选项C：方程$x^2 = 3x$的右侧是含未知数x的代数式，不是常数，不符合直接开平方法的适用条件；若直接开平方得到$x = \pm \sqrt{3x}$，既默认了$3x≥0$不合理限制了x的取值范围，还会丢失$x=0$的根，操作错误。
选项D：方程$(x + 1)^2 = (2x)^2$左右两边都是关于x的完全平方式，符合直接开平方的条件，开平方得$x + 1 = \pm 2x$，操作正确。
因此错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对直接开平方法适用条件的掌握程度，易错点是忽略直接开平方的前提，误将含未知数的项当作常数开平方，解题时遇到方程两边含有相同未知数公因式的情况，要优先考虑移项提取公因式，避免出现丢根的问题。
【难度系数】
0.8
11.下列方程一定有实数解的是 【 】
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$(2x + 1)^2 + 3 = 0$
C.$(5x - 3)^2 = 0$
D.$(x - a)^2 = a$（$a$为常数）
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$(2x + 1)^2 + 3 = 0$
C.$(5x - 3)^2 = 0$
D.$(x - a)^2 = a$（$a$为常数）
答案
11. C.
解析
【分析】
本题的核心解题依据是平方的非负性：任意实数的平方都大于等于0，即对于任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$。我们需要逐个分析每个选项的方程是否能找到实数$x$满足等式，若等式左边平方项的取值范围无法匹配右边的数值，则方程无实根，最终选出一定有实根的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 + 1 = 0$移项得$x^2 = -1$，由于任意实数的平方≥0，不可能等于-1，因此该方程无实数解；
B. 对$(2x+1)^2 + 3 = 0$移项得$(2x+1)^2 = -3$，平方结果≥0，不可能等于-3，因此该方程无实数解；
C. 对$(5x-3)^2 = 0$直接开平方得$5x-3 = 0$，解得$x = \frac{3}{5}$，存在实数解，符合要求；
D. 方程$(x-a)^2 = a$左边是平方项，取值≥0，因此只有当常数$a≥0$时方程有实根，若$a＜0$则方程无实根，因此该方程不一定有实数解。
综上，只有C选项的方程一定有实数解。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握平方的非负性，分析选项时注意D选项需要结合常数的取值范围判断，不要忽略$a$为负数的情况，避免误选。
【难度系数】
0.8
本题的核心解题依据是平方的非负性：任意实数的平方都大于等于0，即对于任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$。我们需要逐个分析每个选项的方程是否能找到实数$x$满足等式，若等式左边平方项的取值范围无法匹配右边的数值，则方程无实根，最终选出一定有实根的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 + 1 = 0$移项得$x^2 = -1$，由于任意实数的平方≥0，不可能等于-1，因此该方程无实数解；
B. 对$(2x+1)^2 + 3 = 0$移项得$(2x+1)^2 = -3$，平方结果≥0，不可能等于-3，因此该方程无实数解；
C. 对$(5x-3)^2 = 0$直接开平方得$5x-3 = 0$，解得$x = \frac{3}{5}$，存在实数解，符合要求；
D. 方程$(x-a)^2 = a$左边是平方项，取值≥0，因此只有当常数$a≥0$时方程有实根，若$a＜0$则方程无实根，因此该方程不一定有实数解。
综上，只有C选项的方程一定有实数解。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握平方的非负性，分析选项时注意D选项需要结合常数的取值范围判断，不要忽略$a$为负数的情况，避免误选。
【难度系数】
0.8
12.一元二次方程$(x+6)^2=64$可转化为两个一元一次方程，如果其中一个一元一次方程是$x+6=8$，那么另一个一元一次方程是……………………………………【 】
A.$x-6=-8$
B.$x-6=8$
C.$x+6=8$
D.$x+6=-8$
A.$x-6=-8$
B.$x-6=8$
C.$x+6=8$
D.$x+6=-8$
答案
12. D.
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：我们知道，若一个数的平方等于非负数$b$，那么这个数是$b$的平方根，有两个且互为相反数。对于形如$A^2 = B$（$B≥0$）的一元二次方程，可利用平方根的性质拆成两个一元一次方程：$A=\sqrt{B}$和$A=-\sqrt{B}$。本题中方程为$(x+6)^2=64$，我们将$x+6$看作整体，已经给出其中一个一次方程是$x+6=8$（对应正的平方根），据此即可推出另一个对应负平方根的一次方程。
【解析】
解：根据平方根的性质，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a = \sqrt{b}$或$a = -\sqrt{b}$。
对于方程$(x+6)^2 = 64$，将$x+6$视为整体，可得：
$x+6 = \sqrt{64}$ 或 $x+6 = -\sqrt{64}$
化简得$x+6 = 8$或$x+6 = -8$
已知其中一个一元一次方程是$x+6=8$，因此另一个为$x+6=-8$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解方程的基础题型，解题关键是理解直接开平方法的原理，能将平方形式的方程拆分为两个一次方程，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：我们知道，若一个数的平方等于非负数$b$，那么这个数是$b$的平方根，有两个且互为相反数。对于形如$A^2 = B$（$B≥0$）的一元二次方程，可利用平方根的性质拆成两个一元一次方程：$A=\sqrt{B}$和$A=-\sqrt{B}$。本题中方程为$(x+6)^2=64$，我们将$x+6$看作整体，已经给出其中一个一次方程是$x+6=8$（对应正的平方根），据此即可推出另一个对应负平方根的一次方程。
【解析】
解：根据平方根的性质，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a = \sqrt{b}$或$a = -\sqrt{b}$。
对于方程$(x+6)^2 = 64$，将$x+6$视为整体，可得：
$x+6 = \sqrt{64}$ 或 $x+6 = -\sqrt{64}$
化简得$x+6 = 8$或$x+6 = -8$
已知其中一个一元一次方程是$x+6=8$，因此另一个为$x+6=-8$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解方程的基础题型，解题关键是理解直接开平方法的原理，能将平方形式的方程拆分为两个一次方程，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.9
13.已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是 ……………………【 】
A.正数a的平方等于8
B.a是8的算术平方根
C.a是方程$x^2 - 8 = 0$的根
D.由$x^2 = 8$知正方形边长有两个值
A.正数a的平方等于8
B.a是8的算术平方根
C.a是方程$x^2 - 8 = 0$的根
D.由$x^2 = 8$知正方形边长有两个值
答案
13. D.
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积公式把题目的已知条件转化为数学表达：a＞0且a²=8，再结合算术平方根的定义、一元二次方程的根的概念，以及实际问题中未知数的取值限制，逐个判断四个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
解：由题意可知，正方形边长a为正数，且满足a²=8，即a=√8（负根不符合边长的正数要求，舍去）。
选项A：正数a的平方等于8，与a²=8完全一致，说法正确，不符合题意；
选项B：根据算术平方根的定义，正数a是8的算术平方根，说法正确，不符合题意；
选项C：将x=a代入方程x²-8=0，左边=a²-8=8-8=0=右边，因此a是方程x²-8=0的根，说法正确，不符合题意；
选项D：方程x²=8的解为x=±√8，但正方形边长只能取正值，因此边长只有1个值，该说法错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；一元二次方程的根；正方形的性质
【点评】
本题考查了平方根与算术平方根的区分、一元二次方程的解的判定，解题时要注意结合实际问题的取值要求，舍去不符合实际意义的根，避免混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正方形面积公式把题目的已知条件转化为数学表达：a＞0且a²=8，再结合算术平方根的定义、一元二次方程的根的概念，以及实际问题中未知数的取值限制，逐个判断四个选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
解：由题意可知，正方形边长a为正数，且满足a²=8，即a=√8（负根不符合边长的正数要求，舍去）。
选项A：正数a的平方等于8，与a²=8完全一致，说法正确，不符合题意；
选项B：根据算术平方根的定义，正数a是8的算术平方根，说法正确，不符合题意；
选项C：将x=a代入方程x²-8=0，左边=a²-8=8-8=0=右边，因此a是方程x²-8=0的根，说法正确，不符合题意；
选项D：方程x²=8的解为x=±√8，但正方形边长只能取正值，因此边长只有1个值，该说法错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；一元二次方程的根；正方形的性质
【点评】
本题考查了平方根与算术平方根的区分、一元二次方程的解的判定，解题时要注意结合实际问题的取值要求，舍去不符合实际意义的根，避免混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8
14.下列说法中,错误的是 ……【 】
A.将 $ x^2 = 4 $ 直接开平方得 $ x = \pm 2 $
B.方程 $ (x - 1)^2 = 4 $ 的根是 $ x = 3 $
C.$ x = \frac{1}{5} $ 是方程 $ 25x^2 = 1 $ 的根
D.方程 $ x^2 = 7 $ 的根是 $ x = \pm \sqrt{7} $
A.将 $ x^2 = 4 $ 直接开平方得 $ x = \pm 2 $
B.方程 $ (x - 1)^2 = 4 $ 的根是 $ x = 3 $
C.$ x = \frac{1}{5} $ 是方程 $ 25x^2 = 1 $ 的根
D.方程 $ x^2 = 7 $ 的根是 $ x = \pm \sqrt{7} $
答案
14. B.
解析
【分析】
本题要求选出错误的说法，解题核心是掌握直接开平方法解一元二次方程的规则，以及一元二次方程根的定义，逐一分析每个选项即可：①对于形如$a^2=p(p≥0)$的式子，开平方后得$a=\pm\sqrt{p}$，不要遗漏负根；②将数值代入方程，若左右两边相等，则该数值是方程的根。按照这两个规则逐个验证选项即可找到错误选项。
【解析】
我们逐一判断各选项的正误：
A选项：方程$x^2=4$，直接开平方得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，说法正确，不符合题意；
B选项：方程$(x-1)^2=4$，直接开平方得$x-1=\pm2$，分两种情况计算：
当$x-1=2$时，$x=3$；当$x-1=-2$时，$x=-1$，因此方程的根是$x=3$和$x=-1$，选项仅说根是$x=3$，说法错误，符合题意；
C选项：方程$25x^2=1$，整理得$x^2=\frac{1}{25}$，开平方得$x=\pm\frac{1}{5}$，因此$x=\frac{1}{5}$是方程的根，说法正确，不符合题意；
D选项：方程$x^2=7$，直接开平方得$x=\pm\sqrt{7}$，说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，易错点是使用直接开平方法时遗漏负根，解题时要注意开平方后结果有正负两种情况，完整求解后再判断说法是否正确。
【难度系数】
0.8
本题要求选出错误的说法，解题核心是掌握直接开平方法解一元二次方程的规则，以及一元二次方程根的定义，逐一分析每个选项即可：①对于形如$a^2=p(p≥0)$的式子，开平方后得$a=\pm\sqrt{p}$，不要遗漏负根；②将数值代入方程，若左右两边相等，则该数值是方程的根。按照这两个规则逐个验证选项即可找到错误选项。
【解析】
我们逐一判断各选项的正误：
A选项：方程$x^2=4$，直接开平方得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，说法正确，不符合题意；
B选项：方程$(x-1)^2=4$，直接开平方得$x-1=\pm2$，分两种情况计算：
当$x-1=2$时，$x=3$；当$x-1=-2$时，$x=-1$，因此方程的根是$x=3$和$x=-1$，选项仅说根是$x=3$，说法错误，符合题意；
C选项：方程$25x^2=1$，整理得$x^2=\frac{1}{25}$，开平方得$x=\pm\frac{1}{5}$，因此$x=\frac{1}{5}$是方程的根，说法正确，不符合题意；
D选项：方程$x^2=7$，直接开平方得$x=\pm\sqrt{7}$，说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，易错点是使用直接开平方法时遗漏负根，解题时要注意开平方后结果有正负两种情况，完整求解后再判断说法是否正确。
【难度系数】
0.8
15.若方程$(x-a)^2 - b^2 = 0$的两个根是$x_1=1,x_2=-3$，则方程$(x - a + 3)^2 - b^2 = 0$的两个根分别是………………【 】
A.1和－3
B.4和0
C.－2和－6
D.－1和3
A.1和－3
B.4和0
C.－2和－6
D.－1和3
答案
15. C.
解析
【分析】
解题可通过两种思路展开：①换元法：观察两个方程的结构，发现第二个方程可变形为与第一个方程完全相同的形式，无需计算参数即可利用第一个方程的根直接推导结果，计算更简便；②参数计算法：先通过第一个方程的根求出参数a、b的取值，再代入第二个方程求解。
步骤1：回忆直接开平方法解形如$m^2-n^2=0$的方程，可得$m=\pm n$，因此第一个方程的根可表示为$x=a\pm b$；
步骤2：将第二个方程变形为$[(x+3)-a]^2=b^2$，可知该方程中$(x+3)$的取值对应第一个方程中$x$的取值，即$x+3=a\pm b$；
步骤3：结合第一个方程的根$a\pm b=1$或$-3$，直接求解第二个方程的根即可。
【解析】
解法一（换元法）：
1. 解方程$(x-a)^2 - b^2 = 0$：
移项得$(x-a)^2 = b^2$，直接开平方得$x-a=\pm b$，即$x=a\pm b$。
已知该方程两根为$x_1=1$，$x_2=-3$，因此$a+b$和$a-b$的值为1和$-3$。
2. 解方程$(x - a + 3)^2 - b^2 = 0$：
先变形得$[(x+3)-a]^2 = b^2$，直接开平方得$(x+3)-a=\pm b$，即$x+3=a\pm b$。
将$a\pm b=1$和$a\pm b=-3$分别代入：
当$x+3=1$时，解得$x=-2$；
当$x+3=-3$时，解得$x=-6$。
因此方程的两个根为$-2$和$-6$。
解法二（参数计算法）：
1. 由第一个方程的根$x_1=1$，$x_2=-3$代入$x=a\pm b$可得：
$\begin{cases}a+b=1\\a-b=-3\end{cases}$，两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$，代入得$b=2$。
2. 将$a=-1$，$b^2=4$代入第二个方程：
$(x - (-1)+3)^2 - 4=0$，即$(x+4)^2=4$。
开平方得$x+4=\pm2$，解得$x_1=-4+2=-2$，$x_2=-4-2=-6$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法、换元思想、方程的根的定义
【点评】
本题侧重考查对直接开平方法解方程的灵活应用，通过观察方程结构采用换元法可快速求解，避免了繁琐的参数计算，是解决同结构方程问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题可通过两种思路展开：①换元法：观察两个方程的结构，发现第二个方程可变形为与第一个方程完全相同的形式，无需计算参数即可利用第一个方程的根直接推导结果，计算更简便；②参数计算法：先通过第一个方程的根求出参数a、b的取值，再代入第二个方程求解。
步骤1：回忆直接开平方法解形如$m^2-n^2=0$的方程，可得$m=\pm n$，因此第一个方程的根可表示为$x=a\pm b$；
步骤2：将第二个方程变形为$[(x+3)-a]^2=b^2$，可知该方程中$(x+3)$的取值对应第一个方程中$x$的取值，即$x+3=a\pm b$；
步骤3：结合第一个方程的根$a\pm b=1$或$-3$，直接求解第二个方程的根即可。
【解析】
解法一（换元法）：
1. 解方程$(x-a)^2 - b^2 = 0$：
移项得$(x-a)^2 = b^2$，直接开平方得$x-a=\pm b$，即$x=a\pm b$。
已知该方程两根为$x_1=1$，$x_2=-3$，因此$a+b$和$a-b$的值为1和$-3$。
2. 解方程$(x - a + 3)^2 - b^2 = 0$：
先变形得$[(x+3)-a]^2 = b^2$，直接开平方得$(x+3)-a=\pm b$，即$x+3=a\pm b$。
将$a\pm b=1$和$a\pm b=-3$分别代入：
当$x+3=1$时，解得$x=-2$；
当$x+3=-3$时，解得$x=-6$。
因此方程的两个根为$-2$和$-6$。
解法二（参数计算法）：
1. 由第一个方程的根$x_1=1$，$x_2=-3$代入$x=a\pm b$可得：
$\begin{cases}a+b=1\\a-b=-3\end{cases}$，两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$，代入得$b=2$。
2. 将$a=-1$，$b^2=4$代入第二个方程：
$(x - (-1)+3)^2 - 4=0$，即$(x+4)^2=4$。
开平方得$x+4=\pm2$，解得$x_1=-4+2=-2$，$x_2=-4-2=-6$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法、换元思想、方程的根的定义
【点评】
本题侧重考查对直接开平方法解方程的灵活应用，通过观察方程结构采用换元法可快速求解，避免了繁琐的参数计算，是解决同结构方程问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
