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1.对于一元二次方程$4x^2 = 3x$，化为一般形式后它的二次项是，一次项是，常数项是。
答案
1. $4x^2$，$-3x$，$0$；或$-4x^2$，$3x$，$0$。
解析
【分析】
解题首先要回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项，且识别项时要包含前面的符号。解题步骤为：①将给定方程通过移项化为等号右侧为0的形式，得到一般形式；②对应一般形式的定义分别找出二次项、一次项和常数项；注意若将一般形式各项同时乘以-1，各项符号会改变，也是符合要求的一般形式。
【解析】
首先对原方程$4x^2=3x$进行移项，把右侧的$3x$移到左侧，注意移项要变号，得到一元二次方程的一般形式：$4x^2 - 3x = 0$。
根据一元二次方程项的定义：
二次项是含未知数二次幂的项，即$4x^2$；
一次项是含未知数一次幂的项，包含前面的符号，即$-3x$；
常数项是不含未知数的项，该方程没有单独的常数项，故常数项为$0$。
若将一般形式两边同乘$-1$，可得$-4x^2 + 3x = 0$，此时二次项为$-4x^2$，一次项为$3x$，常数项仍为$0$，该结果也正确。
【答案】
$4x^2$，$-3x$，$0$；或$-4x^2$，$3x$，$0$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项的识别
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程一般形式的理解，解题时要注意移项需变号，识别各项时不要遗漏项前的符号，常数项为0时不可省略不填。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项，且识别项时要包含前面的符号。解题步骤为：①将给定方程通过移项化为等号右侧为0的形式，得到一般形式；②对应一般形式的定义分别找出二次项、一次项和常数项；注意若将一般形式各项同时乘以-1，各项符号会改变，也是符合要求的一般形式。
【解析】
首先对原方程$4x^2=3x$进行移项，把右侧的$3x$移到左侧，注意移项要变号，得到一元二次方程的一般形式：$4x^2 - 3x = 0$。
根据一元二次方程项的定义：
二次项是含未知数二次幂的项，即$4x^2$；
一次项是含未知数一次幂的项，包含前面的符号，即$-3x$；
常数项是不含未知数的项，该方程没有单独的常数项，故常数项为$0$。
若将一般形式两边同乘$-1$，可得$-4x^2 + 3x = 0$，此时二次项为$-4x^2$，一次项为$3x$，常数项仍为$0$，该结果也正确。
【答案】
$4x^2$，$-3x$，$0$；或$-4x^2$，$3x$，$0$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项的识别
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程一般形式的理解，解题时要注意移项需变号，识别各项时不要遗漏项前的符号，常数项为0时不可省略不填。
【难度系数】
0.8
2.把一元二次方程$(1+2x)(x-2)=x^2+1$化为一般形式是
$x^2 - 3x - 3 = 0$
，它的二次项系数是$1$
，一次项系数是$-3$
，常数项是$-3$
。答案
2. $x^2 - 3x - 3 = 0$；$1$，$-3$，$-3$（或符号相反）。
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。解题步骤如下：第一步先利用多项式乘多项式法则展开方程左边的乘积，第二步通过移项把所有项移到方程等号的左侧，第三步合并同类项即可得到一般形式，最后根据一般形式对应找出二次项系数、一次项系数和常数项，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
1. 展开方程左边的乘积：
$(1+2x)(x-2)=1× x +1×(-2)+2x× x +2x×(-2)=x-2+2x^2-4x=2x^2-3x-2$
此时原方程可写为：$2x^2-3x-2=x^2+1$
2. 移项：将等号右侧的项全部移到左侧，移项要变号：
$2x^2-3x-2-x^2-1=0$
3. 合并同类项：
$(2x^2-x^2)-3x+(-2-1)=0$，即$x^2-3x-3=0$，这就是方程的一般形式。
4. 对应确定各项系数：
二次项为$x^2$，系数是1；一次项为$-3x$，系数是$-3$；常数项是$-3$。
（若将方程两边同乘$-1$，可得$-x^2+3x+3=0$，此时二次项系数为$-1$，一次项系数为$3$，常数项为$3$，两种形式均正确）
【答案】
$x^2 - 3x - 3 = 0$；$1$，$-3$，$-3$（或符号相反）
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查方程变形和对一般形式各项的认识，解题时要注意移项时符号的变化，提取系数时不要遗漏项前的正负号，熟练掌握整式运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。解题步骤如下：第一步先利用多项式乘多项式法则展开方程左边的乘积，第二步通过移项把所有项移到方程等号的左侧，第三步合并同类项即可得到一般形式，最后根据一般形式对应找出二次项系数、一次项系数和常数项，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
1. 展开方程左边的乘积：
$(1+2x)(x-2)=1× x +1×(-2)+2x× x +2x×(-2)=x-2+2x^2-4x=2x^2-3x-2$
此时原方程可写为：$2x^2-3x-2=x^2+1$
2. 移项：将等号右侧的项全部移到左侧，移项要变号：
$2x^2-3x-2-x^2-1=0$
3. 合并同类项：
$(2x^2-x^2)-3x+(-2-1)=0$，即$x^2-3x-3=0$，这就是方程的一般形式。
4. 对应确定各项系数：
二次项为$x^2$，系数是1；一次项为$-3x$，系数是$-3$；常数项是$-3$。
（若将方程两边同乘$-1$，可得$-x^2+3x+3=0$，此时二次项系数为$-1$，一次项系数为$3$，常数项为$3$，两种形式均正确）
【答案】
$x^2 - 3x - 3 = 0$；$1$，$-3$，$-3$（或符号相反）
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查方程变形和对一般形式各项的认识，解题时要注意移项时符号的变化，提取系数时不要遗漏项前的正负号，熟练掌握整式运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知$(m-1)x^{|m+1|}+6x-1=0$是关于x的一元二次方程，则$m=$
$-3$
答案
3. $-3$
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确一元二次方程的判定条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③二次项系数不为0。本题已经明确是关于x的一元二次方程，因此首先令最高次项的次数等于2，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m+1|}+6x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的最高次数为2，即$\left|m+1\right|=2$，
解绝对值方程可得：$m+1=2$或$m+1=-2$，
解得$m=1$或$m=-3$；
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$；
综上，排除不符合条件的$m=1$，因此$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是牢记一元二次方程的定义，尤其要注意不要忽略“二次项系数不为0”这个隐含的限制条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先要明确一元二次方程的判定条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③二次项系数不为0。本题已经明确是关于x的一元二次方程，因此首先令最高次项的次数等于2，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m+1|}+6x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的最高次数为2，即$\left|m+1\right|=2$，
解绝对值方程可得：$m+1=2$或$m+1=-2$，
解得$m=1$或$m=-3$；
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$；
综上，排除不符合条件的$m=1$，因此$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是牢记一元二次方程的定义，尤其要注意不要忽略“二次项系数不为0”这个隐含的限制条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
4.若$x=-1$是关于$x$的方程$(2k-1)x^2+(k+1)x-1=0$的解，则$k=$
$3$
.答案
4. 3
解析
【分析】
本题可根据方程的解的定义求解，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知的解x=-1代入原方程，就能得到一个仅含未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的取值。
【解析】
∵$x=-1$是方程$(2k-1)x^2+(k+1)x-1=0$的解
∴将$x=-1$代入方程，等式成立，即：
$(2k-1)×(-1)^2 + (k+1)×(-1) -1 = 0$
计算乘方后化简得：
$2k-1 - (k+1) -1 = 0$
去括号：
$2k - 1 - k - 1 - 1 = 0$
合并同类项：
$k - 3 = 0$
解得：$k=3$
【答案】
3
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握方程的解的含义，代入计算时要注意符号运算规则，避免因符号处理失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
本题可根据方程的解的定义求解，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知的解x=-1代入原方程，就能得到一个仅含未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的取值。
【解析】
∵$x=-1$是方程$(2k-1)x^2+(k+1)x-1=0$的解
∴将$x=-1$代入方程，等式成立，即：
$(2k-1)×(-1)^2 + (k+1)×(-1) -1 = 0$
计算乘方后化简得：
$2k-1 - (k+1) -1 = 0$
去括号：
$2k - 1 - k - 1 - 1 = 0$
合并同类项：
$k - 3 = 0$
解得：$k=3$
【答案】
3
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握方程的解的含义，代入计算时要注意符号运算规则，避免因符号处理失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
5.关于$x$的方程$(|k|-2)x^2+(k+2)x+3k-1=0$，若为一元一次方程，则$k$的取值范围是
$k=2$
；若为一元二次方程，则$k$的取值范围是$k≠±2$
。答案
5. $k=2$，$k≠±2$
解析
【分析】
我们需要根据一元一次方程、一元二次方程的定义来推导参数$k$的取值：
1. 若方程为一元一次方程，需同时满足两个条件：①二次项系数为0，消除$x^2$项，保证方程最高次数为1；②一次项系数不为0，保证存在含$x$的一次项，方程符合一元一次方程的要求。
2. 若方程为一元二次方程，只需满足二次项系数不为0，保证方程最高次数为2即可。
【解析】
1. 当方程为一元一次方程时：
令二次项系数为0，得$|k|-2=0$，解得$k=\pm2$；
再要求一次项系数不为0，得$k+2≠0$，解得$k≠-2$；
综合两个条件，可得$k=2$。
2. 当方程为一元二次方程时：
要求二次项系数不为0，得$|k|-2≠0$，即$|k|≠2$，解得$k≠\pm2$。
【答案】
$k=2$；$k≠\pm2$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；绝对值运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对两类整式方程定义的理解，解题时要注意一元一次方程有两个系数限制条件，不要漏记一次项系数不为0的要求导致错解。
【难度系数】
0.8
我们需要根据一元一次方程、一元二次方程的定义来推导参数$k$的取值：
1. 若方程为一元一次方程，需同时满足两个条件：①二次项系数为0，消除$x^2$项，保证方程最高次数为1；②一次项系数不为0，保证存在含$x$的一次项，方程符合一元一次方程的要求。
2. 若方程为一元二次方程，只需满足二次项系数不为0，保证方程最高次数为2即可。
【解析】
1. 当方程为一元一次方程时：
令二次项系数为0，得$|k|-2=0$，解得$k=\pm2$；
再要求一次项系数不为0，得$k+2≠0$，解得$k≠-2$；
综合两个条件，可得$k=2$。
2. 当方程为一元二次方程时：
要求二次项系数不为0，得$|k|-2≠0$，即$|k|≠2$，解得$k≠\pm2$。
【答案】
$k=2$；$k≠\pm2$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；绝对值运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对两类整式方程定义的理解，解题时要注意一元一次方程有两个系数限制条件，不要漏记一次项系数不为0的要求导致错解。
【难度系数】
0.8
6.若关于x的一元二次方程$ax^2 - (a + 2)x + a + 3 = 0$的二次项系数与常数项的和为7，则$a=$
$2$
.答案
6. 2
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确题目给出的是一元二次方程，因此存在隐含条件：二次项系数不为0，即$a≠0$；2. 回忆一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应确定题干方程的二次项系数为a，常数项为$a+3$；3. 根据“二次项系数与常数项的和为7”的等量关系列方程求解；4. 检验解得的a是否满足二次项系数不为0的要求，最终得到答案。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 - (a + 2)x + a + 3 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a≠0$
由题意可知，二次项系数与常数项的和为7，其中二次项系数为a，常数项为$a+3$，可列方程：
$a + (a + 3) = 7$
合并同类项得：$2a + 3 = 7$
移项计算得：$2a = 4$
解得：$a = 2$
检验：$a=2≠0$，符合一元二次方程二次项系数不为0的要求，故$a=2$成立。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的相关概念 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程各项系数的识别，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，找准等量关系列方程求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先明确题目给出的是一元二次方程，因此存在隐含条件：二次项系数不为0，即$a≠0$；2. 回忆一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应确定题干方程的二次项系数为a，常数项为$a+3$；3. 根据“二次项系数与常数项的和为7”的等量关系列方程求解；4. 检验解得的a是否满足二次项系数不为0的要求，最终得到答案。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 - (a + 2)x + a + 3 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a≠0$
由题意可知，二次项系数与常数项的和为7，其中二次项系数为a，常数项为$a+3$，可列方程：
$a + (a + 3) = 7$
合并同类项得：$2a + 3 = 7$
移项计算得：$2a = 4$
解得：$a = 2$
检验：$a=2≠0$，符合一元二次方程二次项系数不为0的要求，故$a=2$成立。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的相关概念 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程各项系数的识别，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，找准等量关系列方程求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
7.用10 m长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为$6\ \mathrm{m}^2$.如果设它的一条边长为x m，那么根据题意可列出关于x的一元二次方程且化为一般形式是
$x^2 -5x +6 = 0$
.答案
7. $x^2 -5x +6 = 0$
解析
【分析】
解题时首先明确铝材总长就是矩形窗框的周长，已知一条边长为x m，先根据矩形周长公式求出相邻边的长度，再结合矩形面积=长×宽的公式列出方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：已知矩形窗框的周长为10 m，一条边长为x m，
根据矩形周长公式$C=2(长+宽)$，可得相邻边的长度为：$\frac{10}{2} - x = (5 - x)\ \mathrm{m}$。
由矩形面积为$6\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，列方程得：
$x(5 - x) = 6$
展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$5x - x^2 = 6$
移项得：$x^2 - 5x + 6 = 0$
【答案】
$x^2 -5x +6 = 0$
【知识点】
列一元二次方程；矩形周长计算；矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是结合几何图形的周长、面积公式建立等量关系，注意最终方程要整理为“$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）”的一般形式。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确铝材总长就是矩形窗框的周长，已知一条边长为x m，先根据矩形周长公式求出相邻边的长度，再结合矩形面积=长×宽的公式列出方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：已知矩形窗框的周长为10 m，一条边长为x m，
根据矩形周长公式$C=2(长+宽)$，可得相邻边的长度为：$\frac{10}{2} - x = (5 - x)\ \mathrm{m}$。
由矩形面积为$6\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，列方程得：
$x(5 - x) = 6$
展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$5x - x^2 = 6$
移项得：$x^2 - 5x + 6 = 0$
【答案】
$x^2 -5x +6 = 0$
【知识点】
列一元二次方程；矩形周长计算；矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是结合几何图形的周长、面积公式建立等量关系，注意最终方程要整理为“$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）”的一般形式。
【难度系数】
0.8
8.下列方程是一元二次方程的是【 】
A.$x^2 + x - y = 0$
B.$\frac{1}{x} + x = -\frac{3}{2}$
C.$(2x^2 + 3)^2 = 3$
D.$\sqrt{5}x^2 + 8 = \sqrt{3}x$
A.$x^2 + x - y = 0$
B.$\frac{1}{x} + x = -\frac{3}{2}$
C.$(2x^2 + 3)^2 = 3$
D.$\sqrt{5}x^2 + 8 = \sqrt{3}x$
答案
D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件排查，全部满足的就是正确选项。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐一分析选项：
选项A：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程；
选项B：方程中含有$\frac{1}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项C：将方程左边展开可得$4x^4+12x^2+9=3$，未知数x的最高次数为4，不符合“最高次数为2”的要求，不是一元二次方程；
选项D：方程只含有未知数x，属于整式方程，x的最高次数为2，且二次项系数$\sqrt{5}≠0$，满足一元二次方程的全部判定条件。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是紧扣一元二次方程的三个判定条件逐一筛选，要注意不要被带根号的系数、方程的原有形式误导，必要时可对方程整理化简后再判断。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件排查，全部满足的就是正确选项。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐一分析选项：
选项A：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程；
选项B：方程中含有$\frac{1}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项C：将方程左边展开可得$4x^4+12x^2+9=3$，未知数x的最高次数为4，不符合“最高次数为2”的要求，不是一元二次方程；
选项D：方程只含有未知数x，属于整式方程，x的最高次数为2，且二次项系数$\sqrt{5}≠0$，满足一元二次方程的全部判定条件。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是紧扣一元二次方程的三个判定条件逐一筛选，要注意不要被带根号的系数、方程的原有形式误导，必要时可对方程整理化简后再判断。
【难度系数】
0.8
9.如果方程$(m-1)x^2 + \sqrt{m}x = 1$是关于x的一元二次方程，那么…………【 】
A.$m≠1$
B.$m≥0$
C.$m≥0$且$m≠1$
D.$m$为任意实数
A.$m≠1$
B.$m≥0$
C.$m≥0$且$m≠1$
D.$m$为任意实数
答案
C
解析
【分析】
要判断该方程为一元二次方程，需从两方面思考：第一，根据一元二次方程的定义，必须保证二次项系数不为0，否则方程最高次就不是2次；第二，方程中出现二次根式$\sqrt{m}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数。将两个限制条件结合，即可得出m的取值范围。
【解析】
若方程$(m-1)x^2 + \sqrt{m}x = 1$是关于x的一元二次方程，需同时满足：
1. 二次项系数不为0：$m-1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$；
2. 二次根式有意义：被开方数$m ≥ 0$。
综上，m的取值范围是$m ≥ 0$且$m ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是易错题，解题时容易只考虑二次项系数不为0，或只考虑二次根式有意义，遗漏其中一个条件导致错选，需注意多个限制条件要同时满足。
【难度系数】
0.7
要判断该方程为一元二次方程，需从两方面思考：第一，根据一元二次方程的定义，必须保证二次项系数不为0，否则方程最高次就不是2次；第二，方程中出现二次根式$\sqrt{m}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数。将两个限制条件结合，即可得出m的取值范围。
【解析】
若方程$(m-1)x^2 + \sqrt{m}x = 1$是关于x的一元二次方程，需同时满足：
1. 二次项系数不为0：$m-1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$；
2. 二次根式有意义：被开方数$m ≥ 0$。
综上，m的取值范围是$m ≥ 0$且$m ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是易错题，解题时容易只考虑二次项系数不为0，或只考虑二次根式有意义，遗漏其中一个条件导致错选，需注意多个限制条件要同时满足。
【难度系数】
0.7
10.已知方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的解是$x_1 = 1, x_2 = -3$，那么方程$(2x + 3)^2 + 2(2x + 3) - 3 = 0$的解是…………………………【 】
A.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B.$x_1 = 1, x_2 = -3$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -1, x_2 = -3$
A.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B.$x_1 = 1, x_2 = -3$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -1, x_2 = -3$
答案
D
解析
【分析】
观察待求解方程和已知解的方程结构完全一致，可采用整体代换思想，将待求方程中的$2x+3$看作一个整体，令其等于已知方程的两个解，再分别解一元一次方程即可得到结果，无需展开重新计算一元二次方程，大幅简化运算。
【解析】
解：令$t=2x+3$，则原方程$(2x + 3)^2 + 2(2x + 3) - 3 = 0$可转化为$t^2+2t-3=0$。
由题可知$t^2+2t-3=0$的解为$t_1=1$，$t_2=-3$，分两种情况计算：
① 当$t=1$时，$2x+3=1$，移项得$2x=1-3=-2$，解得$x=-1$；
② 当$t=-3$时，$2x+3=-3$，移项得$2x=-3-3=-6$，解得$x=-3$。
因此原方程的解为$x_1=-1$，$x_2=-3$。
【答案】
D
【知识点】
整体代换思想，换元法解方程，一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查整体代换的数学思想，通过识别方程结构的共性，直接复用已知方程的解简化计算，避免了展开运算的繁琐，解题时需注意移项过程的符号正误。
【难度系数】
0.7
观察待求解方程和已知解的方程结构完全一致，可采用整体代换思想，将待求方程中的$2x+3$看作一个整体，令其等于已知方程的两个解，再分别解一元一次方程即可得到结果，无需展开重新计算一元二次方程，大幅简化运算。
【解析】
解：令$t=2x+3$，则原方程$(2x + 3)^2 + 2(2x + 3) - 3 = 0$可转化为$t^2+2t-3=0$。
由题可知$t^2+2t-3=0$的解为$t_1=1$，$t_2=-3$，分两种情况计算：
① 当$t=1$时，$2x+3=1$，移项得$2x=1-3=-2$，解得$x=-1$；
② 当$t=-3$时，$2x+3=-3$，移项得$2x=-3-3=-6$，解得$x=-3$。
因此原方程的解为$x_1=-1$，$x_2=-3$。
【答案】
D
【知识点】
整体代换思想，换元法解方程，一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查整体代换的数学思想，通过识别方程结构的共性，直接复用已知方程的解简化计算，避免了展开运算的繁琐，解题时需注意移项过程的符号正误。
【难度系数】
0.7
11.若$m$是方程$x^2 + nx + m = 0$的根且$m≠0$，则$m+n$的值等于…………【 】
A.2
B.$-2$
C.1
D.$-1$
A.2
B.$-2$
C.1
D.$-1$
答案
D
解析
【分析】
解题首先利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程可使等式左右两边相等。因此第一步将x=m代入原方程得到含m、n的等式，再结合已知m≠0的条件，对等式进行因式分解、化简，即可直接求出m+n的值。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + nx + m = 0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + mn + m = 0$，
提取公因式m可得：$m(m + n + 1) = 0$，
又
∵ $m≠0$，
∴ $m + n + 1 = 0$，
移项得：$m + n = -1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，解题思路清晰，只需将根代入方程结合已知条件化简即可，无需复杂计算，掌握根的定义就能快速解题。
【难度系数】
0.85
解题首先利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程可使等式左右两边相等。因此第一步将x=m代入原方程得到含m、n的等式，再结合已知m≠0的条件，对等式进行因式分解、化简，即可直接求出m+n的值。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + nx + m = 0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + mn + m = 0$，
提取公因式m可得：$m(m + n + 1) = 0$，
又
∵ $m≠0$，
∴ $m + n + 1 = 0$，
移项得：$m + n = -1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，解题思路清晰，只需将根代入方程结合已知条件化简即可，无需复杂计算，掌握根的定义就能快速解题。
【难度系数】
0.85
12.若关于$x$的方程$mx^2 - 2 = x(x - 1) + 2mx - m$是一元二次方程，求$m$的取值范围和二次项系数、一次项系数及常数项。
答案
提示:把这个方程化为一般形式是$(m-1)x^2 + (1-2m)x + m - 2 = 0$。
当$m≠1$时，该方程是一元二次方程。
二次项系数是$m-1$，一次项系数是$1-2m$，常数项是$m-2$。
当$m≠1$时，该方程是一元二次方程。
二次项系数是$m-1$，一次项系数是$1-2m$，常数项是$m-2$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一元二次方程的判定要求：需先将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的一般形式，且二次项系数不能为0。解题思路如下：第一步先对原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般形式；第二步根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，列不等式求解$m$的取值范围；第三步对应写出一般式中的二次项系数、一次项系数和常数项即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
1. 去括号：将原方程右侧展开，得 $mx^2 - 2 = x^2 - x + 2mx - m$
2. 移项：将右侧所有项移到等号左侧，变号后得 $mx^2 - 2 - x^2 + x - 2mx + m = 0$
3. 合并同类项：
二次项合并：$mx^2 - x^2 = (m-1)x^2$
一次项合并：$x - 2mx = (1-2m)x$
常数项合并：$-2 + m = m-2$
因此原方程整理为一般形式：$(m-1)x^2 + (1-2m)x + (m-2) = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即 $m-1 ≠ 0$，解得 $m ≠ 1$。
对应一般式可得：二次项系数为$m-1$，一次项系数为$1-2m$，常数项为$m-2$。
【答案】
$m$的取值范围是$m ≠ 1$；二次项系数是$m-1$，一次项系数是$1-2m$，常数项是$m-2$。
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 整式的化简
【点评】
本题属于一元二次方程的基础概念题，核心考查对一元二次方程判定条件的掌握，易错点有两个：一是整理一般式时移项忘记变号，导致同类项合并错误；二是容易忽略一元二次方程要求二次项系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确一元二次方程的判定要求：需先将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的一般形式，且二次项系数不能为0。解题思路如下：第一步先对原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般形式；第二步根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，列不等式求解$m$的取值范围；第三步对应写出一般式中的二次项系数、一次项系数和常数项即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
1. 去括号：将原方程右侧展开，得 $mx^2 - 2 = x^2 - x + 2mx - m$
2. 移项：将右侧所有项移到等号左侧，变号后得 $mx^2 - 2 - x^2 + x - 2mx + m = 0$
3. 合并同类项：
二次项合并：$mx^2 - x^2 = (m-1)x^2$
一次项合并：$x - 2mx = (1-2m)x$
常数项合并：$-2 + m = m-2$
因此原方程整理为一般形式：$(m-1)x^2 + (1-2m)x + (m-2) = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即 $m-1 ≠ 0$，解得 $m ≠ 1$。
对应一般式可得：二次项系数为$m-1$，一次项系数为$1-2m$，常数项为$m-2$。
【答案】
$m$的取值范围是$m ≠ 1$；二次项系数是$m-1$，一次项系数是$1-2m$，常数项是$m-2$。
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 整式的化简
【点评】
本题属于一元二次方程的基础概念题，核心考查对一元二次方程判定条件的掌握，易错点有两个：一是整理一般式时移项忘记变号，导致同类项合并错误；二是容易忽略一元二次方程要求二次项系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.8
13.已知$x=1$是一元二次方程$ax^2 + bx -40=0$的一个解，且$a≠b$，求$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b}$的值。
答案
提示:由$x = 1$是方程的根得$a + b = 40$。
$\therefore$ 原式$= \frac{(a + b)(a - b)}{2(a - b)} = \frac{a + b}{2} = 20$。
$\therefore$ 原式$= \frac{(a + b)(a - b)}{2(a - b)} = \frac{a + b}{2} = 20$。
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程，求出a+b的整体值；再观察所求分式的结构，分子是平方差形式，可因式分解为(a+b)(a-b)，分母提取公因式2后可化为2(a-b)，结合题目给出的a≠b的条件，可知a-b≠0，可对分式约分，最后将a+b的整体值代入约分后的式子计算即可。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$ax^2 + bx -40=0$的一个解，
∴将x=1代入方程得：$a × 1^2 + b × 1 - 40 = 0$，
整理得：$a + b = 40$。
对所求式子化简：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{(a + b)(a - b)}{2(a - b)}$
∵$a≠b$，
∴$a - b ≠ 0$，可约去分子分母的公因式$(a - b)$，
得：原式$= \frac{a + b}{2}$
将$a + b = 40$代入得：$\frac{40}{2} = 20$。
【答案】
20
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.因式分解 3.分式化简求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是利用方程根的定义得到a+b的整体值，再通过因式分解对分式化简后整体代入计算，解题时需注意a≠b的条件是约分的前提，要保证分式分母不为0。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程，求出a+b的整体值；再观察所求分式的结构，分子是平方差形式，可因式分解为(a+b)(a-b)，分母提取公因式2后可化为2(a-b)，结合题目给出的a≠b的条件，可知a-b≠0，可对分式约分，最后将a+b的整体值代入约分后的式子计算即可。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$ax^2 + bx -40=0$的一个解，
∴将x=1代入方程得：$a × 1^2 + b × 1 - 40 = 0$，
整理得：$a + b = 40$。
对所求式子化简：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{(a + b)(a - b)}{2(a - b)}$
∵$a≠b$，
∴$a - b ≠ 0$，可约去分子分母的公因式$(a - b)$，
得：原式$= \frac{a + b}{2}$
将$a + b = 40$代入得：$\frac{40}{2} = 20$。
【答案】
20
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.因式分解 3.分式化简求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是利用方程根的定义得到a+b的整体值，再通过因式分解对分式化简后整体代入计算，解题时需注意a≠b的条件是约分的前提，要保证分式分母不为0。
【难度系数】
0.7
