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1.已知$△ ABC ∽ △ A_{1}B_{1}C_{1}$，且这两个三角形的对应角的平分线$AD$和$A_{1}D_{1}$的比是$1:2$，那么$△ ABC$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的对应边上的高$BE$和$B_{1}E_{1}$的比是
1:2
。答案
1. 1:2
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线、对应高、对应中线等所有对应线段的比都等于相似比。第一步先由已知的对应角平分线的比确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出所求高的比值。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △A₁B₁C₁，且对应角平分线AD:A₁D₁=1:2
根据相似三角形的性质，相似三角形对应角平分线的比等于相似比，可得两三角形的相似比为1:2
又
∵相似三角形对应边上的高的比等于相似比
∴对应边上的高BE:B₁E₁=1:2
【答案】
1:2
【知识点】
相似三角形的性质，相似比
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的考查，核心考点为相似三角形的对应线段比等于相似比，熟练掌握该性质即可快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线、对应高、对应中线等所有对应线段的比都等于相似比。第一步先由已知的对应角平分线的比确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出所求高的比值。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △A₁B₁C₁，且对应角平分线AD:A₁D₁=1:2
根据相似三角形的性质，相似三角形对应角平分线的比等于相似比，可得两三角形的相似比为1:2
又
∵相似三角形对应边上的高的比等于相似比
∴对应边上的高BE:B₁E₁=1:2
【答案】
1:2
【知识点】
相似三角形的性质，相似比
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的考查，核心考点为相似三角形的对应线段比等于相似比，熟练掌握该性质即可快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
2.若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为
1:4
。答案
2. 1:4
解析
【分析】
看到题目考查相似三角形的面积比，首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。本题已知相似比为1:2，直接套用面积比的性质计算即可，注意不要混淆面积比和周长比的规律。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为$(1:2)^2 = 1^2:2^2 = 1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题关键是牢记相似三角形面积比为相似比的平方，避免与周长比等于相似比的知识点混淆。
【难度系数】
0.9
看到题目考查相似三角形的面积比，首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。本题已知相似比为1:2，直接套用面积比的性质计算即可，注意不要混淆面积比和周长比的规律。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为$(1:2)^2 = 1^2:2^2 = 1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题关键是牢记相似三角形面积比为相似比的平方，避免与周长比等于相似比的知识点混淆。
【难度系数】
0.9
3.两个相似三角形的相似比为$\sqrt{3}:\sqrt{2}$，较大三角形的周长是$8\sqrt{3}$，较小三角形的面积是6，则较大三角形的面积是
9
，较小三角形的周长是$8\sqrt{2}$
。答案
3. 9，$8\sqrt{2}$
解析
【分析】
遇到相似三角形求周长、面积的问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。本题已知相似比为较大三角形比小三角形等于$\sqrt{3}:\sqrt{2}$，同时给出了较大三角形的周长和较小三角形的面积，我们可以分别利用周长比、面积比与相似比的关系，列比例式求解未知量即可，注意要区分清楚比例的前后项，不要混淆对应关系。
【解析】
根据相似三角形的性质计算：
1. 求较小三角形的周长
相似三角形的周长比等于相似比，设较小三角形的周长为$C_{\mathrm{小}}$，已知较大三角形周长$C_{\mathrm{大}}=8\sqrt{3}$，则：
$\frac{C_{\mathrm{大}}}{C_{\mathrm{小}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
代入$C_{\mathrm{大}}=8\sqrt{3}$得：
$\frac{8\sqrt{3}}{C_{\mathrm{小}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
约去$\sqrt{3}$后解得：$C_{\mathrm{小}}=8\sqrt{2}$
2. 求较大三角形的面积
相似三角形的面积比等于相似比的平方，设较大三角形的面积为$S_{\mathrm{大}}$，已知较小三角形面积$S_{\mathrm{小}}=6$，则：
$\frac{S_{\mathrm{大}}}{S_{\mathrm{小}}}=(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2=\frac{3}{2}$
代入$S_{\mathrm{小}}=6$得：
$\frac{S_{\mathrm{大}}}{6}=\frac{3}{2}$
解得：$S_{\mathrm{大}}=9$
【答案】
$9$，$8\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形周长比性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是熟记相似比与周长比、面积比的对应关系，尤其注意面积比是相似比的平方，计算时不要弄混比例的前后对应项即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
遇到相似三角形求周长、面积的问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。本题已知相似比为较大三角形比小三角形等于$\sqrt{3}:\sqrt{2}$，同时给出了较大三角形的周长和较小三角形的面积，我们可以分别利用周长比、面积比与相似比的关系，列比例式求解未知量即可，注意要区分清楚比例的前后项，不要混淆对应关系。
【解析】
根据相似三角形的性质计算：
1. 求较小三角形的周长
相似三角形的周长比等于相似比，设较小三角形的周长为$C_{\mathrm{小}}$，已知较大三角形周长$C_{\mathrm{大}}=8\sqrt{3}$，则：
$\frac{C_{\mathrm{大}}}{C_{\mathrm{小}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
代入$C_{\mathrm{大}}=8\sqrt{3}$得：
$\frac{8\sqrt{3}}{C_{\mathrm{小}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
约去$\sqrt{3}$后解得：$C_{\mathrm{小}}=8\sqrt{2}$
2. 求较大三角形的面积
相似三角形的面积比等于相似比的平方，设较大三角形的面积为$S_{\mathrm{大}}$，已知较小三角形面积$S_{\mathrm{小}}=6$，则：
$\frac{S_{\mathrm{大}}}{S_{\mathrm{小}}}=(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2=\frac{3}{2}$
代入$S_{\mathrm{小}}=6$得：
$\frac{S_{\mathrm{大}}}{6}=\frac{3}{2}$
解得：$S_{\mathrm{大}}=9$
【答案】
$9$，$8\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形周长比性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是熟记相似比与周长比、面积比的对应关系，尤其注意面积比是相似比的平方，计算时不要弄混比例的前后对应项即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
4.如图3-1-45,在$△ ABC$中,点D,E分别在AB,AC边上,且$DE // BC$,如果$AD:BD = 1:2$,那么$S_{△ ADE}:S_{△ ABC} =$
图3-1-45
图3-1-46
1:9
, $S_{△ ADE}:S_{四边形DBCE} =$1:8
.图3-1-45
图3-1-46
答案
4. 1:9，1:8
解析
【分析】
解题时首先根据DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再结合已知AD:BD的比例求出两个相似三角形的相似比；接下来利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△ADE与△ABC的面积比；最后用△ABC的面积减去△ADE的面积得到四边形DBCE的面积，进而求出第二个面积比。
【解析】
解：
∵ DE // BC
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∵ AD:BD = 1:2
∴ 相似比 $k = \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD + BD} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} = 1:9$
设$S_{△ ADE} = a$，则$S_{△ ABC} = 9a$
∴ $S_{四边形DBCE} = S_{△ ABC} - S_{△ ADE} = 9a - a = 8a$
∴ $S_{△ ADE}:S_{四边形DBCE} = a:8a = 1:8$
【答案】
1:9，1:8
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形面积性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是先通过平行关系判定三角形相似，准确计算相似比，再结合面积比的性质求解，做题时要注意区分所求的是三角形间的面积比还是三角形与四边形的面积比，避免误将相似比直接当成面积比。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再结合已知AD:BD的比例求出两个相似三角形的相似比；接下来利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△ADE与△ABC的面积比；最后用△ABC的面积减去△ADE的面积得到四边形DBCE的面积，进而求出第二个面积比。
【解析】
解：
∵ DE // BC
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∵ AD:BD = 1:2
∴ 相似比 $k = \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD + BD} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} = 1:9$
设$S_{△ ADE} = a$，则$S_{△ ABC} = 9a$
∴ $S_{四边形DBCE} = S_{△ ABC} - S_{△ ADE} = 9a - a = 8a$
∴ $S_{△ ADE}:S_{四边形DBCE} = a:8a = 1:8$
【答案】
1:9，1:8
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形面积性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是先通过平行关系判定三角形相似，准确计算相似比，再结合面积比的性质求解，做题时要注意区分所求的是三角形间的面积比还是三角形与四边形的面积比，避免误将相似比直接当成面积比。
【难度系数】
0.7
5.如图3-1-46，在$△ ABC$中，$DE // BC$，$DE = \dfrac{2}{3}BC = 2\ \mathrm{cm}$，$△ ADE$的周长为10 cm，则四边形BCED的周长为
9 cm
。答案
5. 9 cm
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①先根据DE与BC的数量关系求出BC的长度；②由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，得到相似比；③根据相似三角形周长比等于相似比的性质，求出△ABC的周长；④将四边形BCED的周长转化为BC+DE+(BD+CE)，再通过两个三角形的周长差求出BD+CE的和，最终算出四边形周长。不需要单独求BD、CE各自的长度，通过整体代换可简化计算。
【解析】
解：
1. 求BC的长度：
已知$DE=\dfrac{2}{3}BC=2\ \mathrm{cm}$，因此$BC=2÷\dfrac{2}{3}=3\ \mathrm{cm}$。
2. 证明三角形相似并求相似比：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，相似比$k=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{2}{3}$。
3. 求$△ ABC$的周长：
根据相似三角形周长比等于相似比，得$\dfrac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=k=\dfrac{2}{3}$，
已知$C_{△ ADE}=10\ \mathrm{cm}$，代入得$\dfrac{10}{C_{△ ABC}}=\dfrac{2}{3}$，解得$C_{△ ABC}=15\ \mathrm{cm}$。
4. 求四边形$BCED$的周长：
$\because C_{△ ABC}=AB+AC+BC=15\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB+AC=15-3=12\ \mathrm{cm}$，
$\because C_{△ ADE}=AD+AE+DE=10\ \mathrm{cm}$，$\therefore AD+AE=10-2=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD+CE=(AB-AD)+(AC-AE)=(AB+AC)-(AD+AE)=12-8=4\ \mathrm{cm}$，
则四边形$BCED$的周长为$BC+CE+DE+BD=3+4+2=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是利用相似三角形周长比等于相似比的性质，通过整体代换的方法求出未知边的和，无需单独计算每条边的长度，简化了运算过程，要注意这种整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①先根据DE与BC的数量关系求出BC的长度；②由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，得到相似比；③根据相似三角形周长比等于相似比的性质，求出△ABC的周长；④将四边形BCED的周长转化为BC+DE+(BD+CE)，再通过两个三角形的周长差求出BD+CE的和，最终算出四边形周长。不需要单独求BD、CE各自的长度，通过整体代换可简化计算。
【解析】
解：
1. 求BC的长度：
已知$DE=\dfrac{2}{3}BC=2\ \mathrm{cm}$，因此$BC=2÷\dfrac{2}{3}=3\ \mathrm{cm}$。
2. 证明三角形相似并求相似比：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，相似比$k=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{2}{3}$。
3. 求$△ ABC$的周长：
根据相似三角形周长比等于相似比，得$\dfrac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=k=\dfrac{2}{3}$，
已知$C_{△ ADE}=10\ \mathrm{cm}$，代入得$\dfrac{10}{C_{△ ABC}}=\dfrac{2}{3}$，解得$C_{△ ABC}=15\ \mathrm{cm}$。
4. 求四边形$BCED$的周长：
$\because C_{△ ABC}=AB+AC+BC=15\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB+AC=15-3=12\ \mathrm{cm}$，
$\because C_{△ ADE}=AD+AE+DE=10\ \mathrm{cm}$，$\therefore AD+AE=10-2=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD+CE=(AB-AD)+(AC-AE)=(AB+AC)-(AD+AE)=12-8=4\ \mathrm{cm}$，
则四边形$BCED$的周长为$BC+CE+DE+BD=3+4+2=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是利用相似三角形周长比等于相似比的性质，通过整体代换的方法求出未知边的和，无需单独计算每条边的长度，简化了运算过程，要注意这种整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
6. 已知两个相似三角形周长的和等于36 cm，对应高的比为4:5，那么这两个三角形的周长分别是
16 cm，20 cm
.答案
6. 16 cm，20 cm
解析
【分析】
遇到相似三角形的比值类问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比也等于相似比。本题已知两个相似三角形对应高的比为4:5，可先推出二者的相似比，进而得到周长比；再结合周长和为36cm的条件，通过设未知数列方程的方法，就能分别算出两个三角形的周长。
【解析】
解：
∵ 两个相似三角形对应高的比为4:5，且相似三角形对应高的比等于相似比，
∴ 这两个相似三角形的相似比为4:5，
又
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ 这两个三角形的周长比为4:5，
设两个三角形的周长分别为4x cm、5x cm，
由题意列方程：$4x + 5x = 36$，
解得：$x = 4$，
则较小三角形周长为$4×4=16\mathrm{cm}$，较大三角形周长为$5×4=20\mathrm{cm}$。
【答案】
16 cm，20 cm
【知识点】
相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题关键是明确相似三角形的对应高之比、周长之比都等于相似比，结合已知的周长和条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到相似三角形的比值类问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比也等于相似比。本题已知两个相似三角形对应高的比为4:5，可先推出二者的相似比，进而得到周长比；再结合周长和为36cm的条件，通过设未知数列方程的方法，就能分别算出两个三角形的周长。
【解析】
解：
∵ 两个相似三角形对应高的比为4:5，且相似三角形对应高的比等于相似比，
∴ 这两个相似三角形的相似比为4:5，
又
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ 这两个三角形的周长比为4:5，
设两个三角形的周长分别为4x cm、5x cm，
由题意列方程：$4x + 5x = 36$，
解得：$x = 4$，
则较小三角形周长为$4×4=16\mathrm{cm}$，较大三角形周长为$5×4=20\mathrm{cm}$。
【答案】
16 cm，20 cm
【知识点】
相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题关键是明确相似三角形的对应高之比、周长之比都等于相似比，结合已知的周长和条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 在$△ ABC$和$△ DEF$中，已知$AB=2DE$，$AC=2DF$，$∠ A=∠ D$，如果$△ ABC$的周长是16 cm，面积是12 $\mathrm{cm}^2$，那么$△ DEF$的周长和面积分别为………………【 】
A.8 cm,3 $\mathrm{cm}^2$
B.8 cm,6 $\mathrm{cm}^2$
C.4 cm,3 $\mathrm{cm}^2$
D.4 cm,6 $\mathrm{cm}^2$
A.8 cm,3 $\mathrm{cm}^2$
B.8 cm,6 $\mathrm{cm}^2$
C.4 cm,3 $\mathrm{cm}^2$
D.4 cm,6 $\mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
【分析】
首先从已知边和角的关系入手判断两个三角形的关系：已知AB=2DE、AC=2DF，可得两边对应成比例且比例为2，又有夹角∠A=∠D，根据两边成比例且夹角相等的三角形判定定理，可得出△ABC与△DEF相似，相似比为2:1。再结合相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，代入△ABC的周长和面积数值，即可计算出△DEF的周长和面积。
【解析】
1. 判定三角形相似：
已知$AB=2DE$，$AC=2DF$，因此$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=2$，又$∠ A=∠ D$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比$k=2$。
2. 计算$△ DEF$的周长：
根据相似三角形的周长比等于相似比，有$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=k=2$。
已知$C_{△ ABC}=16\mathrm{cm}$，代入得$C_{△ DEF}=\frac{16}{2}=8\mathrm{cm}$。
3. 计算$△ DEF$的面积：
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，有$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=k^2=4$。
已知$S_{△ ABC}=12\mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ DEF}=\frac{12}{4}=3\mathrm{cm}^2$。
因此$△ DEF$的周长为8cm，面积为$3\mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是先通过边角条件正确判定三角形相似，再准确运用相似三角形周长、面积与相似比的对应关系计算，注意不要混淆面积比和周长比与相似比的关系。
【难度系数】
0.75
首先从已知边和角的关系入手判断两个三角形的关系：已知AB=2DE、AC=2DF，可得两边对应成比例且比例为2，又有夹角∠A=∠D，根据两边成比例且夹角相等的三角形判定定理，可得出△ABC与△DEF相似，相似比为2:1。再结合相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，代入△ABC的周长和面积数值，即可计算出△DEF的周长和面积。
【解析】
1. 判定三角形相似：
已知$AB=2DE$，$AC=2DF$，因此$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=2$，又$∠ A=∠ D$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比$k=2$。
2. 计算$△ DEF$的周长：
根据相似三角形的周长比等于相似比，有$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=k=2$。
已知$C_{△ ABC}=16\mathrm{cm}$，代入得$C_{△ DEF}=\frac{16}{2}=8\mathrm{cm}$。
3. 计算$△ DEF$的面积：
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，有$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=k^2=4$。
已知$S_{△ ABC}=12\mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ DEF}=\frac{12}{4}=3\mathrm{cm}^2$。
因此$△ DEF$的周长为8cm，面积为$3\mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是先通过边角条件正确判定三角形相似，再准确运用相似三角形周长、面积与相似比的对应关系计算，注意不要混淆面积比和周长比与相似比的关系。
【难度系数】
0.75
8.如图3-1-47,将$△ ABC$的AB边三等分,过每个等分点分别作BC边的平行线,这样把$△ ABC$分成三部分.设这三部分的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,那么$S_1:S_2:S_3$等于【 】
A.$1:4:9$
B.$1:2:3$
C.$1:3:5$
D.$1:3:8$
A.$1:4:9$
B.$1:2:3$
C.$1:3:5$
D.$1:3:8$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似”，可知图中从上到下的三个三角形均与△ABC相似；再结合AB被三等分的条件，得到三个相似三角形与△ABC的相似比为1:2:3；接下来利用相似三角形面积比等于相似比的平方，算出三个相似三角形的面积比；最后通过相邻三角形面积作差，分别求出$S_1$、$S_2$、$S_3$的比值即可。
【解析】
∵ 过AB的三等分点作BC的平行线，
∴ 从上到下得到的三个三角形均与△ABC相似，且三个三角形与△ABC的相似比为$1:2:3$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得三个相似三角形的面积比为$1^2:2^2:3^2=1:4:9$。
设最上方小三角形的面积为$a$，则中间的三角形面积为$4a$，△ABC的总面积为$9a$。
因此：
$S_1=a$，
$S_2=4a - a=3a$，
$S_3=9a - 4a=5a$，
∴ $S_1:S_2:S_3=a:3a:5a=1:3:5$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形面积性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题目，解题时需注意不要直接将三个相似三角形的面积比当成三部分的面积比，要通过作差得到每一部分的面积再求比值，易错点是混淆相似三角形面积比和分块面积比。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似”，可知图中从上到下的三个三角形均与△ABC相似；再结合AB被三等分的条件，得到三个相似三角形与△ABC的相似比为1:2:3；接下来利用相似三角形面积比等于相似比的平方，算出三个相似三角形的面积比；最后通过相邻三角形面积作差，分别求出$S_1$、$S_2$、$S_3$的比值即可。
【解析】
∵ 过AB的三等分点作BC的平行线，
∴ 从上到下得到的三个三角形均与△ABC相似，且三个三角形与△ABC的相似比为$1:2:3$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得三个相似三角形的面积比为$1^2:2^2:3^2=1:4:9$。
设最上方小三角形的面积为$a$，则中间的三角形面积为$4a$，△ABC的总面积为$9a$。
因此：
$S_1=a$，
$S_2=4a - a=3a$，
$S_3=9a - 4a=5a$，
∴ $S_1:S_2:S_3=a:3a:5a=1:3:5$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形面积性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题目，解题时需注意不要直接将三个相似三角形的面积比当成三部分的面积比，要通过作差得到每一部分的面积再求比值，易错点是混淆相似三角形面积比和分块面积比。
【难度系数】
0.7
9.已知两个相似三角形对应中线的比为$\sqrt{3}:\sqrt{5}$，它们的面积之差等于10，那么这两个三角形的面积分别是…………【 】
A.2和12
B.5和15
C.10和20
D.15和25
A.2和12
B.5和15
C.10和20
D.15和25
答案
D
解析
【分析】
解答本题首先要回忆相似三角形的相关性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。解题思路如下：第一步，由已知的对应中线比确定两个三角形的相似比；第二步，根据相似比计算出两个三角形的面积比；第三步，结合面积比设未知数，利用面积差为10的条件列方程求解，得到两个三角形的面积后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵相似三角形对应中线的比等于相似比
∴两个相似三角形的相似比为$\sqrt{3}:\sqrt{5}$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴两个三角形的面积比为$(\sqrt{3})^2:(\sqrt{5})^2=3:5$
设较小三角形的面积为$3x$，较大三角形的面积为$5x$（$x＞0$），根据题意列方程：
$5x - 3x = 10$
解得$x=5$
∴较小三角形面积：$3x=3×5=15$，较大三角形面积：$5x=5×5=25$
因此两个三角形的面积分别为15和25，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是准确掌握相似三角形对应线段比、面积比与相似比的关系，避免混淆两类比的区别，属于章节核心考点的常规考法，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要回忆相似三角形的相关性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。解题思路如下：第一步，由已知的对应中线比确定两个三角形的相似比；第二步，根据相似比计算出两个三角形的面积比；第三步，结合面积比设未知数，利用面积差为10的条件列方程求解，得到两个三角形的面积后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵相似三角形对应中线的比等于相似比
∴两个相似三角形的相似比为$\sqrt{3}:\sqrt{5}$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴两个三角形的面积比为$(\sqrt{3})^2:(\sqrt{5})^2=3:5$
设较小三角形的面积为$3x$，较大三角形的面积为$5x$（$x＞0$），根据题意列方程：
$5x - 3x = 10$
解得$x=5$
∴较小三角形面积：$3x=3×5=15$，较大三角形面积：$5x=5×5=25$
因此两个三角形的面积分别为15和25，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是准确掌握相似三角形对应线段比、面积比与相似比的关系，避免混淆两类比的区别，属于章节核心考点的常规考法，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10.已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AD$是斜边上的高，$BC=3AC$，那么$△ ABD$的面积与$△ ACD$的面积比是 ……………………【 】
A.$2:1$
B.$3:1$
C.$4:1$
D.$8:1$
A.$2:1$
B.$3:1$
C.$4:1$
D.$8:1$
答案
D
解析
【分析】
遇到直角三角形斜边上的高的几何题，首先可以联想到“一高生三相似”的经典模型，即Rt△ABC中AD是斜边高时，△ABD、△ACD、△BCA两两相似。本题要求△ABD与△ACD的面积比，观察可知两个三角形共享高AD，因此面积比等于底边长BD与CD的比，只需推导BD和CD的数量关系即可。首先设AC为参数，利用相似三角形的对应边成比例求出CD的长度，再计算BD的长度，最终求出比值。
【解析】
设$AC=a$，则由$BC=3AC$可得$BC=3a$。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADC=∠ BAC=90°$，
又
∵$∠ C$是$△ACD$和$△BCA$的公共角，
∴$△ACD∽△BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，即$AC^2=CD·BC$。
将$AC=a$，$BC=3a$代入得：$a^2=CD·3a$，解得$CD=\frac{a}{3}$。
∴$BD=BC-CD=3a-\frac{a}{3}=\frac{8a}{3}$。
∵$△ABD$和$△ACD$同高（高均为$AD$），
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}·BD·AD}{\frac{1}{2}·CD·AD}=\frac{BD}{CD}=\frac{\frac{8a}{3}}{\frac{a}{3}}=8:1$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；同高三角形面积比；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的常规应用题型，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的高对应的相似模型，结合同高三角形面积比等于底边长之比的规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.65
遇到直角三角形斜边上的高的几何题，首先可以联想到“一高生三相似”的经典模型，即Rt△ABC中AD是斜边高时，△ABD、△ACD、△BCA两两相似。本题要求△ABD与△ACD的面积比，观察可知两个三角形共享高AD，因此面积比等于底边长BD与CD的比，只需推导BD和CD的数量关系即可。首先设AC为参数，利用相似三角形的对应边成比例求出CD的长度，再计算BD的长度，最终求出比值。
【解析】
设$AC=a$，则由$BC=3AC$可得$BC=3a$。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADC=∠ BAC=90°$，
又
∵$∠ C$是$△ACD$和$△BCA$的公共角，
∴$△ACD∽△BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，即$AC^2=CD·BC$。
将$AC=a$，$BC=3a$代入得：$a^2=CD·3a$，解得$CD=\frac{a}{3}$。
∴$BD=BC-CD=3a-\frac{a}{3}=\frac{8a}{3}$。
∵$△ABD$和$△ACD$同高（高均为$AD$），
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}·BD·AD}{\frac{1}{2}·CD·AD}=\frac{BD}{CD}=\frac{\frac{8a}{3}}{\frac{a}{3}}=8:1$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；同高三角形面积比；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的常规应用题型，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的高对应的相似模型，结合同高三角形面积比等于底边长之比的规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.65
11. 在$△ ABC$中，$BC=2AC$，点$D$在$BC$边上，且$∠ CAD=∠ B$. 如果$△ ACD$的面积为2，那么$△ ABD$的面积为……【 】
A.2
B.4
C.6
D.$2\sqrt{2}$
A.2
B.4
C.6
D.$2\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知角相等的条件切入，首先找两个三角形的公共角，结合已知的等角判定相似三角形；再根据边的关系得到相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，先求出△ABC的总面积，最后用总面积减去△ACD的面积即可得到△ABD的面积。
【解析】
1. 证明相似：在$△ ACD$和$△ BCA$中，
$\because ∠ CAD=∠ B$（已知），$∠ C=∠ C$（公共角），
$\therefore △ ACD ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 求相似比：已知$BC=2AC$，则相似比$k=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$。
3. 利用面积比性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
4. 代入计算：已知$S_{△ ACD}=2$，代入得$\frac{2}{S_{△ BCA}}=\frac{1}{4}$，解得$S_{△ BCA}=8$。
5. 求$△ ABD$的面积：$S_{△ ABD}=S_{△ BCA}-S_{△ ACD}=8-2=6$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形面积性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质应用的典型题型，解题核心是准确找到相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理和面积与相似比的关系即可快速求解，易错点是容易找错相似三角形的对应边导致相似比计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知角相等的条件切入，首先找两个三角形的公共角，结合已知的等角判定相似三角形；再根据边的关系得到相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，先求出△ABC的总面积，最后用总面积减去△ACD的面积即可得到△ABD的面积。
【解析】
1. 证明相似：在$△ ACD$和$△ BCA$中，
$\because ∠ CAD=∠ B$（已知），$∠ C=∠ C$（公共角），
$\therefore △ ACD ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 求相似比：已知$BC=2AC$，则相似比$k=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$。
3. 利用面积比性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
4. 代入计算：已知$S_{△ ACD}=2$，代入得$\frac{2}{S_{△ BCA}}=\frac{1}{4}$，解得$S_{△ BCA}=8$。
5. 求$△ ABD$的面积：$S_{△ ABD}=S_{△ BCA}-S_{△ ACD}=8-2=6$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形面积性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质应用的典型题型，解题核心是准确找到相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理和面积与相似比的关系即可快速求解，易错点是容易找错相似三角形的对应边导致相似比计算错误。
【难度系数】
0.7
12.如图3-1-48，在平面直角坐标系中，点O(0,0),A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$图象上的一个动点，PQ⊥x轴，垂足为点Q.如果以点O,P,Q为顶点的三角形与△OAB相似，那么点P的个数和△OPQ的面积分别是…………【 】
A.$2,\sqrt{2}$
B.$2,1$
C.$4,\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$4,\dfrac{1}{2}$
图3-1-48
A.$2,\sqrt{2}$
B.$2,1$
C.$4,\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$4,\dfrac{1}{2}$
图3-1-48
答案
D
解析
【分析】
解题首先需明确两个直角三角形相似的对应关系，结合反比例函数图象的象限分布分类讨论点P的个数，再利用反比例函数k的几何意义快速计算△OPQ的面积。第一步：先分析已知△OAB的特征：∠AOB=90°，OA=2，OB=1；△OPQ中PQ⊥x轴，故∠PQO=90°，两个直角三角形相似需分两种边对应成比例的情况。第二步：反比例函数$y=-\frac{1}{x}$的图象在第二、四象限，每种相似情况在两个象限各存在1个点P，因此总共有4个满足条件的点P。第三步：根据反比例函数k的几何意义，过双曲线上任一点作x轴垂线，与原点、垂足构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，代入$k=-1$即可直接得到面积。
【解析】
解：已知点A(0,2)，B(1,0)，故OA=2，OB=1，∠AOB=90°。
设点P坐标为$(x,y)$，
∵P在$y=-\frac{1}{x}$上，
∴$xy=-1$，即$|xy|=1$。
∵PQ⊥x轴，垂足为Q，
∴∠PQO=90°，$OQ=|x|$，$PQ=|y|$。
两个直角三角形相似，分两种对应情况：
① 当$△ OAB ∽ △ QOP$时，对应边成比例：$\frac{OA}{OQ}=\frac{OB}{PQ}$，即$\frac{2}{|x|}=\frac{1}{|y|}$，得$|x|=2|y|$，结合$|xy|=1$，可解得符合条件的P点在第二、四象限各1个，共2个；
② 当$△ OAB ∽ △ QPO$时，对应边成比例：$\frac{OA}{PQ}=\frac{OB}{OQ}$，即$\frac{2}{|y|}=\frac{1}{|x|}$，得$|y|=2|x|$，结合$|xy|=1$，可解得符合条件的P点在第二、四象限各1个，共2个；
综上，满足条件的P点总共有$2+2=4$个。
△OPQ的面积：$S_{△ OPQ}=\frac{1}{2} × OQ × PQ = \frac{1}{2}|x||y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2} × |-1|=\frac{1}{2}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象
【点评】
本题考查相似三角形与反比例函数的综合应用，解题关键是注意直角三角形相似时边的对应关系要分类讨论，避免漏解，同时熟练掌握反比例函数k的几何意义可简化面积计算，提升解题速度。
【难度系数】
0.6
解题首先需明确两个直角三角形相似的对应关系，结合反比例函数图象的象限分布分类讨论点P的个数，再利用反比例函数k的几何意义快速计算△OPQ的面积。第一步：先分析已知△OAB的特征：∠AOB=90°，OA=2，OB=1；△OPQ中PQ⊥x轴，故∠PQO=90°，两个直角三角形相似需分两种边对应成比例的情况。第二步：反比例函数$y=-\frac{1}{x}$的图象在第二、四象限，每种相似情况在两个象限各存在1个点P，因此总共有4个满足条件的点P。第三步：根据反比例函数k的几何意义，过双曲线上任一点作x轴垂线，与原点、垂足构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，代入$k=-1$即可直接得到面积。
【解析】
解：已知点A(0,2)，B(1,0)，故OA=2，OB=1，∠AOB=90°。
设点P坐标为$(x,y)$，
∵P在$y=-\frac{1}{x}$上，
∴$xy=-1$，即$|xy|=1$。
∵PQ⊥x轴，垂足为Q，
∴∠PQO=90°，$OQ=|x|$，$PQ=|y|$。
两个直角三角形相似，分两种对应情况：
① 当$△ OAB ∽ △ QOP$时，对应边成比例：$\frac{OA}{OQ}=\frac{OB}{PQ}$，即$\frac{2}{|x|}=\frac{1}{|y|}$，得$|x|=2|y|$，结合$|xy|=1$，可解得符合条件的P点在第二、四象限各1个，共2个；
② 当$△ OAB ∽ △ QPO$时，对应边成比例：$\frac{OA}{PQ}=\frac{OB}{OQ}$，即$\frac{2}{|y|}=\frac{1}{|x|}$，得$|y|=2|x|$，结合$|xy|=1$，可解得符合条件的P点在第二、四象限各1个，共2个；
综上，满足条件的P点总共有$2+2=4$个。
△OPQ的面积：$S_{△ OPQ}=\frac{1}{2} × OQ × PQ = \frac{1}{2}|x||y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2} × |-1|=\frac{1}{2}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象
【点评】
本题考查相似三角形与反比例函数的综合应用，解题关键是注意直角三角形相似时边的对应关系要分类讨论，避免漏解，同时熟练掌握反比例函数k的几何意义可简化面积计算，提升解题速度。
【难度系数】
0.6
