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13.如图3-1-49，在$△ ABC$中，点D在线段BC上，且$△ ABC ∽ △ DBA$.求证：$AB^2 = BC · BD$. 
答案
证明：
∵ $△ ABC ∽ △ DBA$，
∴ 根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得
$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}$
交叉相乘得：$AB · BA = BC · DB$，
又∵ $BA=AB$，$DB=BD$，
∴ $AB^2 = BC · BD$。
∵ $△ ABC ∽ △ DBA$，
∴ 根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得
$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}$
交叉相乘得：$AB · BA = BC · DB$，
又∵ $BA=AB$，$DB=BD$，
∴ $AB^2 = BC · BD$。
解析
【分析】
要证明等积式$AB^2 = BC · BD$，可先将等积式转化为比例式，即只需证明$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$即可。题目已给出$△ ABC ∽ △ DBA$，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，我们只需找准两个相似三角形的对应边，写出对应边的比例关系，再通过比例的基本性质变形，就能推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ $△ ABC ∽ △ DBA$，
∴ 根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$AB · BA = BC · DB$，
又
∵ $BA=AB$，$DB=BD$，
∴ $AB^2 = BC · BD$。
【答案】
证明过程如上，可证得$AB^2 = BC · BD$。
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题核心是先将待证等积式转化为比例式，再准确匹配相似三角形的对应边，结合比例的基本性质完成推导，属于相似三角形模块的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
要证明等积式$AB^2 = BC · BD$，可先将等积式转化为比例式，即只需证明$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$即可。题目已给出$△ ABC ∽ △ DBA$，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，我们只需找准两个相似三角形的对应边，写出对应边的比例关系，再通过比例的基本性质变形，就能推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ $△ ABC ∽ △ DBA$，
∴ 根据相似三角形对应边成比例的性质，可得$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$AB · BA = BC · DB$，
又
∵ $BA=AB$，$DB=BD$，
∴ $AB^2 = BC · BD$。
【答案】
证明过程如上，可证得$AB^2 = BC · BD$。
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题核心是先将待证等积式转化为比例式，再准确匹配相似三角形的对应边，结合比例的基本性质完成推导，属于相似三角形模块的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
14. 如图3-1-50，在$□ ABCD$中，点E在AB边上，$AE:BE = 1:2$，DE交AC于点F.
（1）求$△ AEF$与$△ CDF$的周长比.
（2）如果$S_{△ AEF} = 6\ \mathrm{cm}^2$，求$S_{△ CDF}$.
（1）求$△ AEF$与$△ CDF$的周长比.
（2）如果$S_{△ AEF} = 6\ \mathrm{cm}^2$，求$S_{△ CDF}$.
答案
14. (1) 1:3. (2) $54\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的对边平行且相等的性质，结合已知的线段比例关系，先判定△AEF与△CDF相似，再求出两个三角形的相似比；最后根据相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，分别求解两问即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵AE:BE=1:2，
∴AE:AB=1:(1+2)=1:3，
∴AE:CD=1:3，
又
∵AB//CD，
∴∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，
∴△AEF∽△CDF，相似比$k=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{3}$。
（1）
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴$\frac{C_{△AEF}}{C_{△CDF}}=k=\frac{1}{3}$，即周长比为1:3。
（2）
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△AEF}}{S_{△CDF}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
已知$S_{△AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$S_{△CDF}=9× S_{△AEF}=9×6=54\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）1:3；（2）$54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题型，解题核心是先通过平行关系证明三角形相似，再准确对应相似比，结合相似的性质计算周长比和面积，是相似性质应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形的对边平行且相等的性质，结合已知的线段比例关系，先判定△AEF与△CDF相似，再求出两个三角形的相似比；最后根据相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，分别求解两问即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵AE:BE=1:2，
∴AE:AB=1:(1+2)=1:3，
∴AE:CD=1:3，
又
∵AB//CD，
∴∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，
∴△AEF∽△CDF，相似比$k=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{3}$。
（1）
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴$\frac{C_{△AEF}}{C_{△CDF}}=k=\frac{1}{3}$，即周长比为1:3。
（2）
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△AEF}}{S_{△CDF}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
已知$S_{△AEF}=6\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$S_{△CDF}=9× S_{△AEF}=9×6=54\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）1:3；（2）$54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题型，解题核心是先通过平行关系证明三角形相似，再准确对应相似比，结合相似的性质计算周长比和面积，是相似性质应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
15.将纸片$△ ABC$按如图3-1-51所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点$B'$，折痕为EF.已知$AB = AC = 3$，$BC = 4$，若以点$B',F,C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，求BF的长度.
答案
提示:当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，$\dfrac{B'F}{AB} = \dfrac{CF}{BC}$，即$\dfrac{BF}{3} = \dfrac{4-BF}{4}$，则$BF = \dfrac{12}{7}$；当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，$\dfrac{B'F}{AB} = \dfrac{CF}{AC}$，则$BF = 2$。
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质可得BF=B'F，我们可以设BF=x，则CF=BC-BF=4-x。由于题目仅说明以点$B',F,C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，未明确对应顶点的对应关系，结合两个三角形有公共角∠C，需要分两种相似对应情况讨论：①△B'FC∽△ABC；②△FB'C∽△ABC。再分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
由折叠的性质可知：$B'F=BF$，设$BF=x$，则$B'F=x$，$CF=BC-BF=4-x$，分两种情况讨论：
1. 当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\dfrac{B'F}{AB} = \dfrac{CF}{BC}$
代入$AB=3$，$BC=4$，$B'F=x$，$CF=4-x$得：
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{4-x}{4}$
交叉相乘得：$4x=3(4-x)$
解得：$7x=12$，即$x=\dfrac{12}{7}$。
2. 当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\dfrac{B'F}{AB} = \dfrac{CF}{AC}$
代入$AB=AC=3$，$B'F=x$，$CF=4-x$得：
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{4-x}{3}$
化简得：$x=4-x$
解得：$x=2$。
两种情况均符合题意，故BF的长度为$\dfrac{12}{7}$或2。
【答案】
$\dfrac{12}{7}$或$2$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是折叠变换与相似三角形结合的典型题型，解题的关键是明确相似三角形未指明对应关系时需分类讨论，避免漏解，同时熟练运用折叠前后对应边相等的性质结合相似三角形的边比例关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用折叠的性质可得BF=B'F，我们可以设BF=x，则CF=BC-BF=4-x。由于题目仅说明以点$B',F,C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，未明确对应顶点的对应关系，结合两个三角形有公共角∠C，需要分两种相似对应情况讨论：①△B'FC∽△ABC；②△FB'C∽△ABC。再分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
由折叠的性质可知：$B'F=BF$，设$BF=x$，则$B'F=x$，$CF=BC-BF=4-x$，分两种情况讨论：
1. 当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\dfrac{B'F}{AB} = \dfrac{CF}{BC}$
代入$AB=3$，$BC=4$，$B'F=x$，$CF=4-x$得：
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{4-x}{4}$
交叉相乘得：$4x=3(4-x)$
解得：$7x=12$，即$x=\dfrac{12}{7}$。
2. 当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\dfrac{B'F}{AB} = \dfrac{CF}{AC}$
代入$AB=AC=3$，$B'F=x$，$CF=4-x$得：
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{4-x}{3}$
化简得：$x=4-x$
解得：$x=2$。
两种情况均符合题意，故BF的长度为$\dfrac{12}{7}$或2。
【答案】
$\dfrac{12}{7}$或$2$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是折叠变换与相似三角形结合的典型题型，解题的关键是明确相似三角形未指明对应关系时需分类讨论，避免漏解，同时熟练运用折叠前后对应边相等的性质结合相似三角形的边比例关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
16. 如图 3-1-52, Rt△ABC 和 Rt△BDE 有公共直角顶点 B, AB = 2BC, BD = 2BE, ∠CBE = α.
(1) 线段 AD 与 CE 的数量关系和位置关系如何?请说明理由.
(2) 若 BC = $\sqrt{5}$, BE = 1, α = ∠ACB 时,请直接写出线段 AD 的长度:
(1) 线段 AD 与 CE 的数量关系和位置关系如何?请说明理由.
(2) 若 BC = $\sqrt{5}$, BE = 1, α = ∠ACB 时,请直接写出线段 AD 的长度:
4
.答案
16. (1) 提示:$\because ∠ ABC = ∠ DBE = 90°$，$\therefore ∠ CBE = ∠ ABD = α$。$\because \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BE}{BD} = \dfrac{1}{2}$，$\therefore △ CBE ∽ △ ABD$。$\therefore \dfrac{CE}{AD} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{1}{2}$，即$AD = 2CE$。如图，延长$CE$交$AD$于点$F$，交$AB$于点$G$。由此可得$∠ BGC = ∠ AGF$。又知$∠ BCE = ∠ BAD$，$\therefore ∠ AFG = ∠ ABC = 90°$，即$AD ⊥ CE$。
(2) 先求得$BD = 2,AB = 2\sqrt{5},AC = 5$，由此可得$AC : AB = BC : BD = \sqrt{5} : 2$，已知$∠ ACB = α$，又可推出$∠ ABD = α$，从而可得$△ ABD ∽ △ ACB$，于是利用相似比可求得$AD = 4$。
解析
【分析】
(1) 要判断AD与CE的数量和位置关系，首先从共顶点的直角入手，推导两个三角形的夹角相等；再结合已知的边的倍分关系，得到两边对应成比例，证明△CBE∽△ABD，即可得到二者的数量关系。要证垂直关系，可通过延长CE构造交点，利用相似的对应角相等结合对顶角相等，推导直角即可。
(2) 先根据已知边长计算AB、BD、AC的长度，再结合α=∠ACB的条件，证明△ABD与△ACB相似，最后利用相似比即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 线段AD与CE的数量关系为$AD=2CE$，位置关系为$AD⊥ CE$，理由如下：
$\because ∠ ABC=∠ DBE=90°$
$\therefore ∠ ABC-∠ ABE=∠ DBE-∠ ABE$，即$∠ CBE=∠ ABD=α$
$\because AB=2BC$，$BD=2BE$
$\therefore \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{1}{2}$
$\therefore △ CBE ∽ △ ABD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \dfrac{CE}{AD}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{2}$，$∠ BCE=∠ BAD$
$\therefore AD=2CE$
如图，延长$CE$交$AD$于点$F$，交$AB$于点$G$：
$\because ∠ BGC=∠ AGF$（对顶角相等），$∠ BCE=∠ BAD$
$\therefore ∠ AFG=∠ ABC=90°$（三角形内角和为$180°$），即$AD⊥ CE$
(2) $\because BC=\sqrt{5}$，$AB=2BC$，$\therefore AB=2\sqrt{5}$
$\because BE=1$，$BD=2BE$，$\therefore BD=2$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{25}=5$
$\because α=∠ ACB$，且由(1)知$∠ ABD=α$，$\therefore ∠ ABD=∠ ACB$
$\because \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，$\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{BD}$
$\therefore △ ABD ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，代入得$\dfrac{AD}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
解得$AD=\dfrac{2\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}=4$
【答案】
(1) $AD=2CE$，$AD⊥ CE$，理由见解析，
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类题型，核心考查相似三角形的判定和性质的应用，解题关键是利用共顶点的直角推导相等的夹角，结合边的比例关系构造相似三角形，需要掌握构造辅助线证明垂直的方法。
【难度系数】
0.65
(1) 要判断AD与CE的数量和位置关系，首先从共顶点的直角入手，推导两个三角形的夹角相等；再结合已知的边的倍分关系，得到两边对应成比例，证明△CBE∽△ABD，即可得到二者的数量关系。要证垂直关系，可通过延长CE构造交点，利用相似的对应角相等结合对顶角相等，推导直角即可。
(2) 先根据已知边长计算AB、BD、AC的长度，再结合α=∠ACB的条件，证明△ABD与△ACB相似，最后利用相似比即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 线段AD与CE的数量关系为$AD=2CE$，位置关系为$AD⊥ CE$，理由如下：
$\because ∠ ABC=∠ DBE=90°$
$\therefore ∠ ABC-∠ ABE=∠ DBE-∠ ABE$，即$∠ CBE=∠ ABD=α$
$\because AB=2BC$，$BD=2BE$
$\therefore \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{1}{2}$
$\therefore △ CBE ∽ △ ABD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \dfrac{CE}{AD}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{2}$，$∠ BCE=∠ BAD$
$\therefore AD=2CE$
如图
，延长$CE$交$AD$于点$F$，交$AB$于点$G$：$\because ∠ BGC=∠ AGF$（对顶角相等），$∠ BCE=∠ BAD$
$\therefore ∠ AFG=∠ ABC=90°$（三角形内角和为$180°$），即$AD⊥ CE$
(2) $\because BC=\sqrt{5}$，$AB=2BC$，$\therefore AB=2\sqrt{5}$
$\because BE=1$，$BD=2BE$，$\therefore BD=2$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{25}=5$
$\because α=∠ ACB$，且由(1)知$∠ ABD=α$，$\therefore ∠ ABD=∠ ACB$
$\because \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，$\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{BD}$
$\therefore △ ABD ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，代入得$\dfrac{AD}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
解得$AD=\dfrac{2\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}=4$
【答案】
(1) $AD=2CE$，$AD⊥ CE$，理由见解析，
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类题型，核心考查相似三角形的判定和性质的应用，解题关键是利用共顶点的直角推导相等的夹角，结合边的比例关系构造相似三角形，需要掌握构造辅助线证明垂直的方法。
【难度系数】
0.65
