9.在$△ ABC$中，$CD$，$BE$是两条高.
（1）如图3-1-42，若$△ ABC$是锐角三角形，求证：$△ ABC ∽ △ AED$.

（2）若$∠ BAC$是钝角，（1）中结论是否成立？请画出图形并结合图形说明理由.

提示:(1) 由 ∠AEB = ∠ADC,∠A = ∠A 得 △ABE∽△ACD，
∴ $\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AC}$。
∵ ∠A = ∠A，
∴ △ABC ∽ △AED。
(2) 仿照(1)可证 △ABC ∽ △AED。图略。

【分析】
（1）要证明△ABC∽△AED，观察两个三角形有公共角∠A，因此可尝试证明夹∠A的两组边对应成比例，或再找一组角相等。已知CD、BE是△ABC的高，可得∠ADC=∠AEB=90°，结合公共角∠A，可先证△ABE∽△ACD，得到对应边成比例，调整比例式后即可得到△ABC和△AED夹∠A的边成比例，结合公共角即可证明相似。
（2）当∠BAC为钝角时，两条高落在三角形外的边的延长线上，思路与（1）一致，先通过两角相等证明一组直角三角形相似得到边的比例，再找等角，用两边成比例且夹角相等证明结论成立。
【解析】
（1）证明：
∵CD、BE是△ABC的两条高，
∴CD⊥AB，BE⊥AC，即∠ADC=∠AEB=90°，
又
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△AEB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，变形可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
在△AED和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\\∠ A=∠ A\end{array} $
∴△ABC∽△AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）结论仍成立，理由如下：
当∠BAC为钝角时，高CD交BA的延长线于点D，高BE交CA的延长线于点E。
∵CD、BE是高，
∴∠D=∠E=90°，
又
∵∠DAC=∠EAB（对顶角相等），
∴△ADC∽△AEB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，变形可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵∠DAE=∠BAC（对顶角相等），
在△AED和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\\∠ DAE=∠ BAC\end{array} $
∴△ABC∽△AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
（1）证明成立，过程见解析；（2）（1）中结论成立，图略，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、三角形高的定义
【点评】
本题是相似三角形判定的典型应用，需要通过两次相似完成证明，解题的关键是先利用高的直角性质和公共角/对顶角相等证明第一组小三角形相似，得到边的比例关系后，再利用两边成比例且夹角相等证明目标三角形相似，有助于锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

10. 如图3-1-43,在△ABC中,D是BC的中点,∠ACB=90°,CE⊥AD,垂足为点E.
（1）证明:△CDE ∽ △ADC.

（2）证明:△BAD ∽ △EBD.

10. 证明:(1)
∵ CE ⊥ AD,∠ACB = 90°,
∴ ∠CED = ∠ACB.
∵ ∠CDE = ∠ADC,
∴ △CDE ∽ △ADC.

(2)
∵ D 是 BC 的中点，
∴ CD = BD.

∵ △CDE ∽ △ADC，
∴ $\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{AD}$，即 $\frac{DE}{BD}=\frac{BD}{AD}$.
∵ ∠EDB = ∠BDA，
∴ △BAD ∽ △EBD.

【分析】
（1）要证明△CDE∽△ADC，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定：首先由CE⊥AD和∠ACB=90°可得两个三角形各有一个直角相等，再观察得两个三角形有公共角∠CDE=∠ADC，满足相似判定条件即可得证。
（2）要证明△BAD∽△EBD，可通过“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定：首先由D是BC中点得CD=BD，再利用（1）中相似的结论得到对应边的比例关系，将比例式中的CD替换为BD，即可得到△BAD和△EBD两组对应边成比例，再结合公共角∠EDB=∠BDA，满足相似判定条件即可得证。
【解析】
(1)
∵ CE ⊥ AD，∠ACB = 90°，
∴ ∠CED = ∠ACB = 90°，
又
∵ ∠CDE = ∠ADC（公共角），
∴ △CDE ∽ △ADC。

(2)
∵ D 是 BC 的中点，
∴ CD = BD。
由(1)得△CDE ∽ △ADC，
∴ 对应边成比例：$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{AD}$，
将CD替换为BD可得$\frac{DE}{BD}=\frac{BD}{AD}$，
又
∵ ∠EDB = ∠BDA（公共角），
∴ △BAD ∽ △EBD。
【答案】
10. 证明:(1)
∵ CE ⊥ AD,∠ACB = 90°,
∴ ∠CED = ∠ACB.
∵ ∠CDE = ∠ADC,
∴ △CDE ∽ △ADC.

(2)
∵ D 是 BC 的中点，
∴ CD = BD.
∵ △CDE ∽ △ADC，
∴ $\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{AD}$，即 $\frac{DE}{BD}=\frac{BD}{AD}$.
∵ ∠EDB = ∠BDA，
∴ △BAD ∽ △EBD.
【知识点】
相似三角形的判定、比例的性质、中点的定义
【点评】
本题属于递进式的几何基础证明题，第一问直接考查两角相等判定相似的方法，第二问需要结合前一问的相似结论推导比例线段，再通过等线段替换得到新的比例关系后即可判定相似，解题时要注意前后问题的关联性，熟练掌握相似三角形的判定定理就能轻松解决。
【难度系数】
0.7

11. 如图3-1-44，AC为平面镜，光线从点S发出经AC上点B反射后照射到点P，入射角为∠3，反射角为∠4，作SA ⊥ AC，PC ⊥ AC，垂足分别为点A,C，并测得AB = 10 cm，BC = 20 cm，PC = 24 cm. 试求点S与平面镜的距离SA.

图3-1-44

11. 提示:由平面镜反射光线规律知,∠3 = ∠4.
由 ∠1+∠3 = ∠2+∠4 = 90° 得 ∠1 = ∠2.
又
∵ ∠SAB = ∠PCB = 90°,
∴ △SAB ∽ △PCB.
∴ $\frac{SA}{AB}=\frac{PC}{BC}$，即 $\frac{SA}{10}=\frac{24}{20}$，则 SA = 12(cm).

【分析】
首先结合平面镜反射规律可得入射角等于反射角，即∠3=∠4，再根据等角的余角相等推出∠1=∠2，结合SA⊥AC、PC⊥AC得到两个直角相等，可判定△SAB与△PCB相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可求出SA的长度。
【解析】
解：由平面镜反射光线的规律可知，入射角等于反射角，即$∠ 3 = ∠ 4$，
$\because ∠ 1 + ∠ 3 = 90°$，$∠ 2 + ∠ 4 = 90°$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$（等角的余角相等），
又$\because SA ⊥ AC$，$PC ⊥ AC$，
$\therefore ∠ SAB = ∠ PCB = 90°$，
$\therefore △ SAB ∽ △ PCB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{SA}{PC} = \frac{AB}{BC}$，
将$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=20\ \mathrm{cm}$，$PC=24\ \mathrm{cm}$代入比例式，得：
$\frac{SA}{24} = \frac{10}{20}$，
解得 $SA = \frac{10 × 24}{20} = 12\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
12 cm
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，光的反射定律
【点评】
本题是跨学科综合题，融合了物理光的反射知识与数学相似三角形的相关知识，解题的核心是通过角度关系证明三角形相似，再借助相似性质列比例式计算，能够有效考查学生的知识迁移与综合应用能力。
【难度系数】
0.7