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1. 如图3-1-38，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，要使△ABE ∽ △ACD，需添加的条件是
图3-1-38
$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，或∠ABE=∠ACD，或∠AEB=∠ADC等
。图3-1-38
答案
1. 如$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，或∠ABE=∠ACD，或∠AEB=∠ADC等。
解析
【分析】
首先观察△ABE和△ACD，可发现两个三角形有公共角∠A，即已有一组角对应相等。结合相似三角形的判定定理：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，我们只需对应补充符合要求的条件即可。如果选判定①，就补充另一组对应角相等；如果选判定②，就补充公共角的两组夹边对应成比例，注意边的对应关系不要写错。
【解析】
在△ABE和△ACD中，∠A是两个三角形的公共角，即$∠ A=∠ A$：
1. 若依据“两角分别相等的两个三角形相似”判定，可添加条件：$∠ ABE=∠ ACD$，或$∠ AEB=∠ ADC$，此时两组角分别对应相等，可证$△ ABE ∽ △ ACD$；
2. 若依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，∠A为公共夹角，△ABE中夹∠A的边为AB、AE，△ACD中夹∠A的边为AC、AD，因此可添加条件$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，此时两边成比例且夹角相等，可证$△ ABE ∽ △ ACD$。
【答案】
如$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，或$∠ ABE=∠ ACD$，或$∠ AEB=∠ ADC$等。
【知识点】
相似三角形的判定；公共角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的开放性试题，解题的关键是先找到两个三角形共有的公共角，再结合相似三角形的判定定理补充对应条件，填写条件时要保证角、边的对应关系正确，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
首先观察△ABE和△ACD，可发现两个三角形有公共角∠A，即已有一组角对应相等。结合相似三角形的判定定理：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，我们只需对应补充符合要求的条件即可。如果选判定①，就补充另一组对应角相等；如果选判定②，就补充公共角的两组夹边对应成比例，注意边的对应关系不要写错。
【解析】
在△ABE和△ACD中，∠A是两个三角形的公共角，即$∠ A=∠ A$：
1. 若依据“两角分别相等的两个三角形相似”判定，可添加条件：$∠ ABE=∠ ACD$，或$∠ AEB=∠ ADC$，此时两组角分别对应相等，可证$△ ABE ∽ △ ACD$；
2. 若依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，∠A为公共夹角，△ABE中夹∠A的边为AB、AE，△ACD中夹∠A的边为AC、AD，因此可添加条件$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，此时两边成比例且夹角相等，可证$△ ABE ∽ △ ACD$。
【答案】
如$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，或$∠ ABE=∠ ACD$，或$∠ AEB=∠ ADC$等。
【知识点】
相似三角形的判定；公共角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的开放性试题，解题的关键是先找到两个三角形共有的公共角，再结合相似三角形的判定定理补充对应条件，填写条件时要保证角、边的对应关系正确，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
2.已知$△ ABC$的三边长分别为6,8,4，$△ DEF$的三边长分别为10,15,18，$△ GHI$的三边长分别为6,9,12，其中相似的两个三角形是
$△ ABC$与$△ GHI$
.答案
2. $△ ABC$与$△ GHI$.
解析
【分析】
要判断哪两个三角形相似，已知所有三角形的三边长，优先选用“三组对应边成比例的两个三角形相似”的判定定理解题。首先将每个三角形的三边按从小到大的顺序排列，方便匹配对应边（最短边对最短边、最长边对最长边），再分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等则两三角形相似，否则不相似。
【解析】
先将三个三角形的三边长分别按从小到大排序：
$△ ABC$：4，6，8
$△ DEF$：10，15，18
$△ GHI$：6，9，12
1. 对比$△ ABC$和$△ DEF$的对应边比值：
$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，$\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$
$\frac{2}{5} ≠ \frac{4}{9}$，二者不相似。
2. 对比$△ ABC$和$△ GHI$的对应边比值：
$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
三组对应边比值全部相等，因此$△ ABC ∽ △ GHI$。
3. 对比$△ DEF$和$△ GHI$的对应边比值：
$\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$，$\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$，$\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$
$\frac{5}{3} ≠ \frac{3}{2}$，二者不相似。
【答案】
$△ ABC$与$△ GHI$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比的化简
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题的关键是先对各三角形边长排序，避免对应边匹配错误，只要准确计算对应边的比值即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断哪两个三角形相似，已知所有三角形的三边长，优先选用“三组对应边成比例的两个三角形相似”的判定定理解题。首先将每个三角形的三边按从小到大的顺序排列，方便匹配对应边（最短边对最短边、最长边对最长边），再分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等则两三角形相似，否则不相似。
【解析】
先将三个三角形的三边长分别按从小到大排序：
$△ ABC$：4，6，8
$△ DEF$：10，15，18
$△ GHI$：6，9，12
1. 对比$△ ABC$和$△ DEF$的对应边比值：
$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，$\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$
$\frac{2}{5} ≠ \frac{4}{9}$，二者不相似。
2. 对比$△ ABC$和$△ GHI$的对应边比值：
$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
三组对应边比值全部相等，因此$△ ABC ∽ △ GHI$。
3. 对比$△ DEF$和$△ GHI$的对应边比值：
$\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$，$\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$，$\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$
$\frac{5}{3} ≠ \frac{3}{2}$，二者不相似。
【答案】
$△ ABC$与$△ GHI$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比的化简
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题的关键是先对各三角形边长排序，避免对应边匹配错误，只要准确计算对应边的比值即可得出结论。
【难度系数】
0.8
3. 如图3-1-39,在正方形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,DE与AF交于点G,H为AF的中点.有下列结论:①AF ⊥ DE;
②AF = 2DH = 2AH;
③$\frac{AG}{AD} = \frac{AD}{AF} = \frac{DF}{DH}$;
④∠BAG = ∠HDF;
⑤△ABG ∽ △DHF.
正确的是
②AF = 2DH = 2AH;
③$\frac{AG}{AD} = \frac{AD}{AF} = \frac{DF}{DH}$;
④∠BAG = ∠HDF;
⑤△ABG ∽ △DHF.
正确的是
①②③④⑤
.(只填结论序号)答案
3. ①②③④⑤.
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到边和角的等量关系，先证明三角形全等推导垂直验证结论①；再结合直角三角形斜边中线的性质验证结论②；通过证明三角形相似得到对应边成比例验证结论③；利用平行线的性质和等腰三角形等角对等边推导角相等验证结论④；最后通过找对应角相等、对应边成比例验证相似三角形的判定，验证结论⑤。也可通过建立平面直角坐标系，计算各点坐标、线段长度等辅助验证各结论。
【解析】
设正方形ABCD边长为2，建立平面直角坐标系：令A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，由E、F分别是BC、CD中点，得E(2,1)，F(1,2)。
1. 验证①：直线AF斜率$k_{AF}=\frac{2-0}{1-0}=2$，直线DE斜率$k_{DE}=\frac{1-2}{2-0}=-\frac{1}{2}$，$k_{AF} · k_{DE}=2 × (-\frac{1}{2})=-1$，故AF⊥DE，①正确。
2. 验证②：H为AF中点，$AF=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，故$AH=HF=\frac{\sqrt{5}}{2}$；在Rt△ADF中，斜边中线DH等于斜边AF的一半，即$DH=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故AF=2DH=2AH，②正确。
3. 验证③：AF⊥DE得∠AGD=∠ADF=90°，又∠DAG=∠FAD，故△ADG∽△AFD，得$\frac{AG}{AD}=\frac{AD}{AF}$。解得交点G坐标为$(\frac{4}{5},\frac{8}{5})$，计算得$AG=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，故$\frac{AG}{AD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AD}{AF}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；$DF=1$，$DH=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故$\frac{DF}{DH}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，三者相等，③正确。
4. 验证④：AB//CD，故∠BAG=∠AFD；DH=HF，故∠HDF=∠AFD，因此∠BAG=∠HDF，④正确。
5. 验证⑤：计算得$BG=2$，$AB=2$，$DH=HF=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故$\frac{AB}{DH}=\frac{AG}{DF}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又∠BAG=∠HDF，两边对应成比例且夹角相等，故△ABG∽△DHF，⑤正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了正方形、直角三角形、相似三角形的相关知识点，需要逐一推导每个结论，对几何综合分析能力有一定要求，解题时可结合几何性质或坐标法来验证结论，降低解题难度。
【难度系数】
0.5
解题时先利用正方形的性质得到边和角的等量关系，先证明三角形全等推导垂直验证结论①；再结合直角三角形斜边中线的性质验证结论②；通过证明三角形相似得到对应边成比例验证结论③；利用平行线的性质和等腰三角形等角对等边推导角相等验证结论④；最后通过找对应角相等、对应边成比例验证相似三角形的判定，验证结论⑤。也可通过建立平面直角坐标系，计算各点坐标、线段长度等辅助验证各结论。
【解析】
设正方形ABCD边长为2，建立平面直角坐标系：令A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，由E、F分别是BC、CD中点，得E(2,1)，F(1,2)。
1. 验证①：直线AF斜率$k_{AF}=\frac{2-0}{1-0}=2$，直线DE斜率$k_{DE}=\frac{1-2}{2-0}=-\frac{1}{2}$，$k_{AF} · k_{DE}=2 × (-\frac{1}{2})=-1$，故AF⊥DE，①正确。
2. 验证②：H为AF中点，$AF=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，故$AH=HF=\frac{\sqrt{5}}{2}$；在Rt△ADF中，斜边中线DH等于斜边AF的一半，即$DH=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故AF=2DH=2AH，②正确。
3. 验证③：AF⊥DE得∠AGD=∠ADF=90°，又∠DAG=∠FAD，故△ADG∽△AFD，得$\frac{AG}{AD}=\frac{AD}{AF}$。解得交点G坐标为$(\frac{4}{5},\frac{8}{5})$，计算得$AG=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，故$\frac{AG}{AD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AD}{AF}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；$DF=1$，$DH=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故$\frac{DF}{DH}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，三者相等，③正确。
4. 验证④：AB//CD，故∠BAG=∠AFD；DH=HF，故∠HDF=∠AFD，因此∠BAG=∠HDF，④正确。
5. 验证⑤：计算得$BG=2$，$AB=2$，$DH=HF=\frac{\sqrt{5}}{2}$，故$\frac{AB}{DH}=\frac{AG}{DF}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又∠BAG=∠HDF，两边对应成比例且夹角相等，故△ABG∽△DHF，⑤正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了正方形、直角三角形、相似三角形的相关知识点，需要逐一推导每个结论，对几何综合分析能力有一定要求，解题时可结合几何性质或坐标法来验证结论，降低解题难度。
【难度系数】
0.5
4. 在下列条件中，能够判定 $△ ABC ∽ △ A'B'C'$ 的有 ……………………【 】
①$∠ A = 45°$，$AB = 7.5$，$AC = 30$，$∠ A' = 45°$，$A'B' = 32$，$A'C' = 40$；
②$AB = 6$，$BC = 7.5$，$AC = 12$，$A'B' = 10$，$B'C' = 12.5$，$A'C' = 20$；
③$∠ A = 47°$，$AB = 1.5$，$AC = 2$，$∠ A' = 47°$，$A'B' = 4.8$，$B'C' = 2.1$。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①$∠ A = 45°$，$AB = 7.5$，$AC = 30$，$∠ A' = 45°$，$A'B' = 32$，$A'C' = 40$；
②$AB = 6$，$BC = 7.5$，$AC = 12$，$A'B' = 10$，$B'C' = 12.5$，$A'C' = 20$；
③$∠ A = 47°$，$AB = 1.5$，$AC = 2$，$∠ A' = 47°$，$A'B' = 4.8$，$B'C' = 2.1$。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
4. B.
解析
【分析】
我们要判断两个三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理对三个条件逐一验证：①给出一组等角和两组边，可验证两边是否对应成比例且等角为两组边的夹角；②给出两个三角形的所有边长，可验证三边是否对应成比例；③给出一组等角和部分边长，需先确认等角是否为已知两组边的夹角，再验证比例是否成立，最后统计能判定相似的条件个数即可。
【解析】
逐个分析3个条件：
1. 分析条件①：
∠A=∠A'=45°，是两组边的夹角，计算对应边比值：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{7.5}{32}=\frac{15}{64}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}=\frac{48}{64}$，两个比值不相等，不满足“两边成比例且夹角相等”的判定要求，故①不能判定相似。
2. 分析条件②：
计算三组对应边的比值：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{7.5}{12.5}=\frac{3}{5}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$，三组边对应成比例，符合“三边成比例的两个三角形相似”的判定要求，故②可以判定相似。
3. 分析条件③：
∠A=∠A'=47°，∠A的夹边是AB、AC，∠A'的夹边应为A'B'、A'C'，但条件仅给出B'C'的长度，无法验证夹边比例；且计算可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1.5}{4.8}=\frac{5}{16}$，$\frac{AC}{B'C'}=\frac{2}{2.1}=\frac{20}{21}$，比值不相等，故③不能判定相似。
综上，只有1个条件可判定相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定（两边夹一角）、相似三角形的判定（三边）
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时要注意“两边成比例且夹角相等”定理中，角必须是两组对应边的夹角，计算边的比值时也要找准对应关系，避免因概念混淆或对应错误失分。
【难度系数】
0.7
我们要判断两个三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理对三个条件逐一验证：①给出一组等角和两组边，可验证两边是否对应成比例且等角为两组边的夹角；②给出两个三角形的所有边长，可验证三边是否对应成比例；③给出一组等角和部分边长，需先确认等角是否为已知两组边的夹角，再验证比例是否成立，最后统计能判定相似的条件个数即可。
【解析】
逐个分析3个条件：
1. 分析条件①：
∠A=∠A'=45°，是两组边的夹角，计算对应边比值：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{7.5}{32}=\frac{15}{64}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}=\frac{48}{64}$，两个比值不相等，不满足“两边成比例且夹角相等”的判定要求，故①不能判定相似。
2. 分析条件②：
计算三组对应边的比值：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{7.5}{12.5}=\frac{3}{5}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$，三组边对应成比例，符合“三边成比例的两个三角形相似”的判定要求，故②可以判定相似。
3. 分析条件③：
∠A=∠A'=47°，∠A的夹边是AB、AC，∠A'的夹边应为A'B'、A'C'，但条件仅给出B'C'的长度，无法验证夹边比例；且计算可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1.5}{4.8}=\frac{5}{16}$，$\frac{AC}{B'C'}=\frac{2}{2.1}=\frac{20}{21}$，比值不相等，故③不能判定相似。
综上，只有1个条件可判定相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定（两边夹一角）、相似三角形的判定（三边）
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时要注意“两边成比例且夹角相等”定理中，角必须是两组对应边的夹角，计算边的比值时也要找准对应关系，避免因概念混淆或对应错误失分。
【难度系数】
0.7
5.如图3-1-40,在△ABC和△BCD中,∠ABC=90°,∠BDC=90°,AC=5,BC=4,要使图中的△ABC和△BCD相似,BD边的长是…………【 】
A.1.8
B.2.4
C.3.2
D.2.4或3.2
A.1.8
B.2.4
C.3.2
D.2.4或3.2
答案
5. D.
解析
【分析】
△ABC和△BCD均为直角三角形，且有一组直角相等，要判定二者相似，需考虑锐角的两种对应关系，避免漏解。首先用勾股定理求出Rt△ABC中AB的长度，再分两种相似情况，根据相似三角形对应边成比例分别计算BD的长度即可。
【解析】
1. 求AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
2. 分类讨论相似情况：
已知$∠ ABC=∠ BDC=90°$，两个直角三角形相似分两种对应情况：
① 当$△ ABC ∽ △ BDC$时，对应边成比例：$\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BD}$
代入数值：$\frac{5}{4}=\frac{3}{BD}$，解得$BD=\frac{3×4}{5}=2.4$；
② 当$△ ABC ∽ △ CDB$时，对应边成比例：$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{BD}$
代入数值：$\frac{5}{4}=\frac{4}{BD}$，解得$BD=\frac{4×4}{5}=3.2$。
综上，BD的长为2.4或3.2。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定与性质，解题关键是明确相似对应关系不唯一时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
△ABC和△BCD均为直角三角形，且有一组直角相等，要判定二者相似，需考虑锐角的两种对应关系，避免漏解。首先用勾股定理求出Rt△ABC中AB的长度，再分两种相似情况，根据相似三角形对应边成比例分别计算BD的长度即可。
【解析】
1. 求AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
2. 分类讨论相似情况：
已知$∠ ABC=∠ BDC=90°$，两个直角三角形相似分两种对应情况：
① 当$△ ABC ∽ △ BDC$时，对应边成比例：$\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BD}$
代入数值：$\frac{5}{4}=\frac{3}{BD}$，解得$BD=\frac{3×4}{5}=2.4$；
② 当$△ ABC ∽ △ CDB$时，对应边成比例：$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{BD}$
代入数值：$\frac{5}{4}=\frac{4}{BD}$，解得$BD=\frac{4×4}{5}=3.2$。
综上，BD的长为2.4或3.2。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定与性质，解题关键是明确相似对应关系不唯一时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6.下列说法中,错误的有………【 】
① 顶角相等的两个等腰三角形相似；
② 有一个角相等的两个等腰三角形相似；
③ 底角相等的两个等腰三角形相似；
④ 有一个$105°$角的两个等腰三角形相似.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
① 顶角相等的两个等腰三角形相似；
② 有一个角相等的两个等腰三角形相似；
③ 底角相等的两个等腰三角形相似；
④ 有一个$105°$角的两个等腰三角形相似.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6. A.
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定与等腰三角形的性质结合应用，解题思路如下：第一步，回忆判定依据：两角分别相等的两个三角形相似；等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180°，因此大于等于90°的角只能作为等腰三角形的顶角，不能作为底角。第二步，对4个说法逐一判断正误，统计错误说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各个说法：
① 顶角相等的两个等腰三角形：等腰三角形底角=(180°-顶角)÷2，顶角相等则两个三角形的底角也对应相等，满足两角分别相等，因此两个三角形相似，①说法正确。
② 有一个角相等的两个等腰三角形：若一个等腰三角形的顶角为30°（底角为75°），另一个等腰三角形的底角为30°（顶角为120°），此时两个三角形仅有一个30°角相等，其余角不相等，不满足相似判定条件，因此不一定相似，②说法错误。
③ 底角相等的两个等腰三角形：两个三角形底角相等，则顶角=180°-2×底角也对应相等，满足两角分别相等，因此两个三角形相似，③说法正确。
④ 有一个105°角的两个等腰三角形：105°是钝角，若作为底角则两个底角和为210°＞180°，不符合内角和定理，因此105°只能是两个等腰三角形的顶角，此时底角均为(180°-105°)÷2=37.5°，两角对应相等，因此两个三角形相似，④说法正确。
综上，错误的说法只有1个。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是易错题，易错点在于忽略等腰三角形中相等的角可能是顶角也可能是底角，判断时要注意分类讨论角的类型，特别是钝角在等腰三角形中只能作为顶角这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定与等腰三角形的性质结合应用，解题思路如下：第一步，回忆判定依据：两角分别相等的两个三角形相似；等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180°，因此大于等于90°的角只能作为等腰三角形的顶角，不能作为底角。第二步，对4个说法逐一判断正误，统计错误说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各个说法：
① 顶角相等的两个等腰三角形：等腰三角形底角=(180°-顶角)÷2，顶角相等则两个三角形的底角也对应相等，满足两角分别相等，因此两个三角形相似，①说法正确。
② 有一个角相等的两个等腰三角形：若一个等腰三角形的顶角为30°（底角为75°），另一个等腰三角形的底角为30°（顶角为120°），此时两个三角形仅有一个30°角相等，其余角不相等，不满足相似判定条件，因此不一定相似，②说法错误。
③ 底角相等的两个等腰三角形：两个三角形底角相等，则顶角=180°-2×底角也对应相等，满足两角分别相等，因此两个三角形相似，③说法正确。
④ 有一个105°角的两个等腰三角形：105°是钝角，若作为底角则两个底角和为210°＞180°，不符合内角和定理，因此105°只能是两个等腰三角形的顶角，此时底角均为(180°-105°)÷2=37.5°，两角对应相等，因此两个三角形相似，④说法正确。
综上，错误的说法只有1个。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是易错题，易错点在于忽略等腰三角形中相等的角可能是顶角也可能是底角，判断时要注意分类讨论角的类型，特别是钝角在等腰三角形中只能作为顶角这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
7. 在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中，已知$∠ C=∠ C_1=90°$，$AC=9$，$BC=12$，$A_1B_1=10$，如果要使$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$相似，那么$A_1C_1$边的长为 ……………………【 】
A.20或16
B.16或12
C.12或8
D.8或6
A.20或16
B.16或12
C.12或8
D.8或6
答案
7. D.
解析
【分析】
本题是直角三角形相似的计算问题，解题思路如下：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长度；由于两个三角形相似的对应边关系未明确给出，因此需要分两种情况讨论A₁C₁对应的边：一种是A₁C₁与AC对应，另一种是A₁C₁与BC对应；最后分别根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可得到A₁C₁的两个可能取值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=9$，$BC=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$
已知$∠ C=∠ C_1=90°$，要使两个直角三角形相似，分两种情况讨论：
1. 当$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$时，对应边成比例：
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，代入数值$\frac{15}{10}=\frac{9}{A_1C_1}$，解得$A_1C_1=\frac{9×10}{15}=6$
2. 当$△ ABC ∽ △ B_1A_1C_1$时，对应边成比例：
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{A_1C_1}$，代入数值$\frac{15}{10}=\frac{12}{A_1C_1}$，解得$A_1C_1=\frac{12×10}{15}=8$
综上，$A_1C_1$的长为6或8。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是注意相似三角形对应关系不明确时需要分类讨论，避免因漏算某一种情况导致出错。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形相似的计算问题，解题思路如下：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长度；由于两个三角形相似的对应边关系未明确给出，因此需要分两种情况讨论A₁C₁对应的边：一种是A₁C₁与AC对应，另一种是A₁C₁与BC对应；最后分别根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可得到A₁C₁的两个可能取值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=9$，$BC=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$
已知$∠ C=∠ C_1=90°$，要使两个直角三角形相似，分两种情况讨论：
1. 当$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$时，对应边成比例：
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，代入数值$\frac{15}{10}=\frac{9}{A_1C_1}$，解得$A_1C_1=\frac{9×10}{15}=6$
2. 当$△ ABC ∽ △ B_1A_1C_1$时，对应边成比例：
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{A_1C_1}$，代入数值$\frac{15}{10}=\frac{12}{A_1C_1}$，解得$A_1C_1=\frac{12×10}{15}=8$
综上，$A_1C_1$的长为6或8。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是注意相似三角形对应关系不明确时需要分类讨论，避免因漏算某一种情况导致出错。
【难度系数】
0.7
8.如图3-1-41,在$1 × 3$正方形网格中,点O,A,B,C,D都是正方形的顶点,连结线段OB,OC,OD,下列结论正确的是 …【 】
A.$△ AOB ∽ △ AOC$
B.$△ AOB ∽ △ ADO$
C.$△ BOC ∽ △ BDO$
D.$OC = BD$
A.$△ AOB ∽ △ AOC$
B.$△ AOB ∽ △ ADO$
C.$△ BOC ∽ △ BDO$
D.$OC = BD$
答案
8. C.
解析
【分析】
这是网格背景下的相似三角形判定类题目，解题思路如下：第一步先设每个小正方形的边长为单位1，利用勾股定理计算出所有相关线段的长度；第二步结合相似三角形的判定定理（三边对应成比例的两个三角形相似、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）逐一验证各选项；对于线段相等的选项，直接对比计算出的线段长度即可判断正误。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理计算各线段长度：
$OA=1$，$AB=BC=CD=1$，$AC=2$，$AD=3$，
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$OC=\sqrt{OA^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{OA^2+AD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$BD=BC+CD=2$。
逐一验证选项：
选项A：$△ AOB$直角边之比为$1:1$，$△ AOC$直角边之比为$1:2$，边不成比例，不相似，A错误。
选项B：$△ AOB$三边为$1,1,\sqrt{2}$，$△ ADO$三边为$1,3,\sqrt{10}$，边不成比例，不相似，B错误。
选项C：$△ BOC$三边为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，$△ BDO$三边为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$，对应边的比为$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$，三边对应成比例，故$△ BOC ∽ △ BDO$，C正确。
选项D：$OC=\sqrt{5}$，$BD=2$，$\sqrt{5}≠2$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，网格图形计算
【点评】
本题是网格类相似判断的典型题型，解题核心是借助勾股定理准确计算各线段长度，再结合相似判定定理逐一排查选项，属于基础类综合题，解题时注意避免线段长度计算错误。
【难度系数】
0.7
这是网格背景下的相似三角形判定类题目，解题思路如下：第一步先设每个小正方形的边长为单位1，利用勾股定理计算出所有相关线段的长度；第二步结合相似三角形的判定定理（三边对应成比例的两个三角形相似、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）逐一验证各选项；对于线段相等的选项，直接对比计算出的线段长度即可判断正误。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理计算各线段长度：
$OA=1$，$AB=BC=CD=1$，$AC=2$，$AD=3$，
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$OC=\sqrt{OA^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{OA^2+AD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$BD=BC+CD=2$。
逐一验证选项：
选项A：$△ AOB$直角边之比为$1:1$，$△ AOC$直角边之比为$1:2$，边不成比例，不相似，A错误。
选项B：$△ AOB$三边为$1,1,\sqrt{2}$，$△ ADO$三边为$1,3,\sqrt{10}$，边不成比例，不相似，B错误。
选项C：$△ BOC$三边为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，$△ BDO$三边为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$，对应边的比为$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$，三边对应成比例，故$△ BOC ∽ △ BDO$，C正确。
选项D：$OC=\sqrt{5}$，$BD=2$，$\sqrt{5}≠2$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，网格图形计算
【点评】
本题是网格类相似判断的典型题型，解题核心是借助勾股定理准确计算各线段长度，再结合相似判定定理逐一排查选项，属于基础类综合题，解题时注意避免线段长度计算错误。
【难度系数】
0.7
