【例1】填空：
(1)$x^2 -4x + \_\_\_\_\_\_=(x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - \_\_\_\_\_\_x +16=(x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 +7x + \frac{49}{4}=(x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_=(x - \_\_\_\_\_\_)^2$。

(1) 4 2
(2) (±8) (±4)
(3) $\frac{7}{2}$
(4) $\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$

【变式】下列各式是完全平方式的是 （）

A.$x^2 -8x -16$
B.$x^2 +8x +16$
C.$x^2 -4x -16$
D.$x^2 +4x +16$

B

【例2】解下列方程：
(1)$x^2 - 8x - 1 = 0$；
(2)$12x = 4x^2 + 6$；
(3)$-\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 = 0$。

解:(1)移项,得 $x^2 -8x=1$,
配方,得 $x^2 -8x +16=1+16,(x-4)^2=17$,
$\therefore x-4=\pm\sqrt{17}$,
$\therefore x_1=4+\sqrt{17},x_2=4-\sqrt{17}$.
(2)方程化为一般形式为 $4x^2 -12x +6=0$,
二次项系数化为1,得 $x^2 -3x +\frac{3}{2}=0$,
移项,得 $x^2 -3x=-\frac{3}{2}$,
配方,得 $x^2 -3x +\frac{9}{4}=-\frac{3}{2}+\frac{9}{4},(x-\frac{3}{2})^2=\frac{3}{4}$,
$\therefore x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$.
(3)二次项系数化为1,得 $x^2 -\frac{3}{2}x -3=0$,
移项,得 $x^2 -\frac{3}{2}x=3$,
配方,得 $x^2 -\frac{3}{2}x +\frac{9}{16}=3+\frac{9}{16}$,
$\therefore (x-\frac{3}{4})^2=\frac{57}{16}$,
$\therefore x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{57}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{\sqrt{57}+3}{4},x_2=\frac{-\sqrt{57}+3}{4}$.

【变式】解下列方程：
(1)$2x^2 + 3 = -5x$；
(2)$5(x^2 + 17) = 6(x^2 + 2x)$。

解:(1)移项,得 $2x^2 +5x=-3$,
二次项的系数化为1,得 $x^2 +\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$,
配方,得 $x^2 +\frac{5}{2}x +(\frac{5}{4})^2=-\frac{3}{2}+(\frac{5}{4})^2$,
$(x+\frac{5}{4})^2=\frac{1}{16}$,
$\therefore x+\frac{5}{4}=\pm\frac{1}{4}$,
$\therefore x_1=-1,x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)方程整理,得 $x^2 +12x=85$,
配方,得 $x^2 +12x +36=85+36$,即$(x+6)^2=121$,
$\therefore x+6=\pm11,\therefore x_1=5,x_2=-17$.

1. 用配方法解一元二次方程$x^2 +5x=1$时，方程两边应同时加上$\quad (\quad)$

A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{25}{4}$
D.$-\frac{25}{4}$

C

2.将方程$x^2 -4x -3=0$化成$(x - m)^2 =n$（$m$，$n$为常数）的形式，则$m$，$n$的值分别为（）

A.$m=2,n=7$
B.$m=-2,n=1$
C.$m=2,n=4$
D.$m=-2,n=4$

2. A

3. 如果一元二次方程$x^2 -10x +k =0$经配方后，得$(x-5)^2=1$，那么$k$的值为。

3. 24

4.填空，将左边的多项式配成完全平方式：
(1)$x^2 + \frac{3}{2}x + (\quad) = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$4x^2 - 6x + \_\_\_\_\_\_ = 4(x - \_\_\_\_\_\_)^2 = (2x - \_\_\_\_\_\_)^2$。

(1) $\frac{9}{16}$ $\frac{3}{4}$
(2) $\frac{9}{4}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{2}$

5.方程$x^2 + 8x - 1 = 0$的解是.

5. $x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$

6. 解下列方程：
(1)$2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2)$(x + 3)^2 = 2x + 6$。

解:(1)移项,得 $2x^2 -4x=1$,
二次项系数化为1,得 $x^2 -2x=\frac{1}{2}$,
配方,得 $x^2 -2x +1=\frac{1}{2}+1$,即$(x-1)^2=\frac{3}{2}$,
$\therefore x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$,
$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$.
(2)方程整理,得 $x^2 +4x +3=0$,
配方,得$(x+2)^2=1$,
$\therefore x+2=\pm1$,
$\therefore x_1=-1,x_2=-3$.