2. 已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 3x + 2m -1=0$有两个实数根.
(1)求$m$的取值范围;
(2)若$m$为符合条件的最大整数,求此时方程的根.

(1) $m≤\frac{17}{16}$ (2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=1$

【分析】
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根时，对应的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。本题先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
(2) 先根据第(1)问得到的$m$取值范围，找到符合条件的最大整数$m$，再将$m$代入原方程，用公式法求解一元二次方程的根即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$2x^2 - 3x + 2m -1=0$，二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2m-1$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta = (-3)^2 - 4× 2× (2m - 1) ≥ 0$
计算得：$9 - 8(2m -1) ≥ 0$
展开括号：$9 - 16m + 8 ≥ 0$
整理得：$17 - 16m ≥ 0$
移项解得：$m ≤ \frac{17}{16}$。
(2) 由(1)可知$m ≤ \frac{17}{16}$，且$m$为整数，因此符合条件的最大整数$m=1$。
将$m=1$代入原方程，整理得：$2x^2 - 3x + 1 = 0$
此时$a=2$，$b=-3$，$c=1$，判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×2×1 = 1＞0$
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2×2} = \frac{3\pm1}{4}$
即$x_1 = \frac{3+1}{4}=1$，$x_2 = \frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $m≤\frac{17}{16}$ (2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，重点考查根的判别式和方程根的数量的对应关系，以及一元二次方程的解法，解题时要注意“两个实数根”对应判别式大于等于0，不要遗漏等号的情况。
【难度系数】
0.8

3. 已知关于$x$的方程$x^2-(m+3)x+m+2=0$.
(1)求证:无论$m$取何值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰$△ ABC$的一边长$a=5$,另两边$b$、$c$恰好是这个方程的两个根,求$△ ABC$的周长.

3. (1) 略 (2) 11

【分析】
(1) 要证明无论m取何值方程总有实数根，只需计算一元二次方程的根的判别式Δ，证明Δ≥0即可，因为判别式Δ≥0时，一元二次方程总有实数根。
(2) 等腰三角形的边长a=5未明确是腰还是底，因此需分类讨论：①若a=5为腰长，则x=5是方程的根，代入求出m后解方程得另一个根，验证三边符合三角形三边关系后计算周长；②若a=5为底边长，则方程两根相等即Δ=0，求出m后解方程得两根，验证三边是否符合要求，舍去不符合的情况即可。
【解析】
(1) 证明：对于方程$x^2-(m+3)x+m+2=0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+3)]^2 - 4×1×(m+2)$
$= m^2 + 6m + 9 - 4m - 8$
$= m^2 + 2m + 1$
$=(m+1)^2$
∵ 无论m取何值，$(m+1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 无论m取何值，这个方程总有实数根。
(2) 分两种情况讨论：
① 当长为5的边是腰时，$x=5$是方程的根，代入方程得：
$5^2 - 5(m+3) + m + 2 = 0$
解得$m=3$，代入原方程得$x^2 - 6x + 5 = 0$，
解方程得$x_1=1$，$x_2=5$。
此时三角形三边长为5、5、1，满足三角形三边关系，周长为$5+5+1=11$。
② 当长为5的边是底边时，方程两根相等，即$\Delta=0$，
∴ $(m+1)^2=0$，解得$m=-1$，代入原方程得$x^2 - 2x + 1 = 0$，
解方程得$x_1=x_2=1$。
此时三边长为1、1、5，$1+1＜5$，不满足三角形三边关系，舍去该情况。
综上，△ABC的周长为11。
【答案】
(1) 略；(2) 11
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，解题时要注意运用分类讨论思想，求出边长后务必验证是否符合三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 用因式分解法解方程$x^2 -5x=0$，正确的是()

A.$x(x-5)=0,x_1=0,x_2=5$
B.$(x-5)^2=0,x_1=x_2=5$
C.$x(x+5)=0,x_1=0,x_2=-5$
D.$(x+5)^2=0,x_1=x_2=-5$

1. A

【分析】
首先回忆因式分解法解一元二次方程的步骤：第一步先确保方程右边为0（本题右边已经是0，无需移项），第二步将方程左边分解为两个一次因式的乘积，第三步令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，求解后即可得到原方程的根。本题左边是$x^2-5x$，两项都含有公因式$x$，因此用提公因式法分解因式后求解，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：用因式分解法解方程$x^2 -5x=0$，
1. 对左边的多项式提取公因式$x$，可得$x(x-5)=0$；
2. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，可得$x=0$或$x-5=0$；
3. 分别解两个一元一次方程，得$x_1=0$，$x_2=5$，与选项A的表述一致。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础应用类题型，解题核心是正确对多项式提取公因式，牢记两式乘积为0的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2. 一元二次方程$x^2 -9=0$的根是()

A.$x=-3$
B.$x=3$
C.$x_1=3, x_2=-3$
D.$x_1=\frac{9}{2}, x_2=-\frac{9}{2}$

2. C

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程特点：不含一次项，且左边是平方差的形式，优先选择因式分解法或直接开平方法解题。首先回忆因式分解中的平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将方程左边分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，即可转化为两个一元一次方程求解，也可以先移项得到$x^2=9$，直接开平方得到两个根，注意不要漏解负根。
【解析】
方法一（因式分解法）：
原方程可变形为$x^2 - 3^2 = 0$，
根据平方差公式因式分解得：$(x + 3)(x - 3) = 0$，
由乘积为0的性质可得：$x + 3 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
分别解得：$x_1 = -3$，$x_2 = 3$。
方法二（直接开平方法）：
移项得：$x^2 = 9$，
两边同时开平方得：$x = \pm\sqrt{9} = \pm3$，
即$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
综上，方程的根为$x_1=3,x_2=-3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、开平方运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查不含一次项的一元二次方程的解法，易错点是求解时容易遗漏负根，仅选择单个正根或负根，解题时要牢记正数的平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.9

3. 用因式分解法解下列方程,正确的是()

A.$(x-2)(3x+4)=0, \therefore x-2=0$或$3x+4=0$
B.$(x-1)(x+2)=1, \therefore x-1=1$或$x+2=1$
C.$(x-1)(x-2)=4×3, \therefore x-1=4$或$x-2=3$
D.$x(x-1)=0, \therefore x-1=0$

3. A

【分析】
解题的核心是掌握因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0。使用该方法的前提是方程等号右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积。解题时我们逐个对照这个规则分析每个选项即可：先看方程右边是否为0，再看拆分因式是否正确、有没有漏解。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程左边是两个一次因式的乘积，右边为0，符合因式分解法的使用条件，因此可得x-2=0或3x+4=0，该变形正确。
B选项：方程右边为1≠0，不满足因式分解法的使用前提，不能直接令两个因式分别等于1，变形错误。
C选项：方程右边为12≠0，不满足因式分解法的使用前提，不能直接令两个因式分别等于4和3，变形错误。
D选项：x(x-1)=0，应得到x=0或x-1=0，该选项漏了x=0的解，变形错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解方程；零乘积性质
【点评】
本题重点考查因式分解法解方程的适用规则，做题时要注意先确认方程右边是否为0，再对左边因式拆分求解，同时要避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8