4. 若方程$x^2 + px + q = 0$与方程$(x+3)(x-5)=0$的解相同，则p、q的值为()

A.$p=-3, q=5$
B.$p=-4, q=-30$
C.$p=-2, q=-15$
D.$p=-6, q=10$

4. C

【分析】
要确定p、q的值，可利用两个方程解相同的性质解题。思路1：先将已知的因式分解形式的方程展开为一元二次方程的一般形式，由于两个方程二次项系数均为1，因此对应一次项系数、常数项分别相等，即可直接得到p、q的值；思路2：先求出方程$(x+3)(x-5)=0$的两个根，再代入第一个方程得到关于p、q的方程组，解方程组即可得到结果，其中第一种方法更简便。
【解析】
首先展开方程$(x+3)(x-5)=0$：
根据多项式乘法法则：
$(x+3)(x-5)=x· x + x· (-5) + 3· x + 3× (-5) = x^2 -5x +3x -15 = x^2 -2x -15$
即该方程的一般形式为$x^2 -2x -15 = 0$
因为它与方程$x^2 + px + q = 0$的解相同，且两个方程二次项系数均为1，所以两个方程的一次项系数、常数项对应相等，可得：
$p=-2$，$q=-15$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程同解，多项式乘多项式，系数对应相等
【点评】
本题属于基础题，主要考查同解方程的性质，解题时优先选择展开对比系数的方法可提升解题速度，计算多项式乘法时注意不要弄错符号即可。
【难度系数】
0.8

5*. 已知实数$m,n$满足$(m^2 + n^2)^2 - 2(m^2 + n^2)=15$,则$m^2 + n^2$的值为()

A.3
B.5
C.5或3
D.-3或5

5. B

【分析】
观察到方程中$m^2+n^2$作为整体重复出现，可采用换元法简化方程：首先设$t=m^2+n^2$，结合平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，用因式分解法求解后，再根据$t$的取值范围舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设$t=m^2+n^2$，根据平方的非负性可得$t≥0$，
原方程可转化为：$t^2-2t=15$，
移项得：$t^2-2t-15=0$，
因式分解得：$(t-5)(t+3)=0$，
则$t-5=0$或$t+3=0$，
解得$t=5$或$t=-3$，
$\because t≥0$，$\therefore t=-3$不符合题意，舍去，
$\therefore m^2+n^2=5$。
【答案】
B
【知识点】
换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题解题核心是利用整体换元思想简化复杂方程，需要注意挖掘$m^2+n^2≥0$的隐含条件，对求出的根进行合理取舍，避免误选多解选项。
【难度系数】
0.6

二、填空题
1. 方程$(x-3)(x-9)=0$的根是.

1. $x_1=3,x_2=9$

【分析】
拿到方程首先观察到左边已经是两个一次因式乘积的形式，右边为0，根据因式分解法解方程的核心思路，利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：
∵ $(x-3)(x-9)=0$
根据零乘积性质，可得：
$x-3=0$ 或 $x-9=0$
解$x-3=0$，得$x_1=3$；
解$x-9=0$，得$x_2=9$。
【答案】
$x_1=3,x_2=9$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，主要考查对零乘积性质的应用，仅需掌握降次求解的基本逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

2. 方程$3x=5x^2$的解是.

2. $x_1=0,x_2=\frac{3}{5}$

【分析】
这是一道一元二次方程求解的题目，适合用因式分解法解答。解题思路如下：第一步先移项，将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，符合因式分解法解方程的要求；第二步对左侧的多项式提取公因式进行因式分解，将其转化为两个一次因式乘积的形式；第三步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别解两个一元一次方程，即可得到原方程的所有解，注意不要直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个解。
【解析】
解：移项，得 $5x^2 - 3x = 0$，
对等式左侧提取公因式$x$因式分解，得 $x(5x - 3) = 0$，
所以 $x = 0$ 或 $5x - 3 = 0$，
解$5x - 3 = 0$，得 $x = \frac{3}{5}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\frac{3}{5}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题核心是熟练掌握因式分解法解方程的步骤，易错点是部分同学会直接在方程两边除以x，漏掉x=0的解，做题时要注意养成先移项使等号右侧为0，再对左侧因式分解的习惯。
【难度系数】
0.8

3. 方程$\sqrt{2x-1}=x$的解是.

3. $x=1$

【分析】
求解带二次根号的无理方程，核心思路是通过平方运算去掉根号，转化为已学的整式方程求解。解题时需注意两个要点：一是二次根式有意义的条件为被开方数非负，且算术平方根本身是非负数，因此要先确定未知数的取值范围；二是平方运算可能产生增根，求出整式方程的解后必须代入原方程检验是否成立。具体步骤为：先确定x的取值范围，再两边平方转化为一元二次方程，用因式分解法求解一元二次方程，最后验根得到原方程的正确解。
【解析】
解：
∵二次根式$\sqrt{2x-1}$有意义，且算术平方根非负
∴$\begin{cases}2x-1≥0 \\x≥0 \end{cases}$，解得$x≥\frac{1}{2}$
将方程$\sqrt{2x-1}=x$两边同时平方，得：
$2x-1=x^2$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-2x+1=0$
用因式分解法变形得：
$(x-1)^2=0$
解得$x=1$
检验：把$x=1$代入原方程，左边=$\sqrt{2×1-1}=\sqrt{1}=1$，右边=$1$，左边=右边，符合原方程。
【答案】
$x=1$
【知识点】
无理方程求解、因式分解法解一元二次方程、方程验根
【点评】
本题重点考查无理方程的求解方法，解题的关键是通过平方将无理方程转化为整式方程，易错点是遗漏验根步骤导致增根错误，求解后务必要代入原方程验证解的合法性。
【难度系数】
0.7

4. 解方程:$9x^2 -4=0$.
解:运用平方差公式因式分解,得$=0$.
所以$=0$或$=0$.
解得$x_1=$,$x_2=$.

4. $(3x+2)(3x-2),3x+2,3x-2,-\frac{2}{3},\frac{2}{3}$

【分析】
拿到该一元二次方程，首先观察左侧代数式的结构：$9x^2=(3x)^2$，$4=2^2$，符合平方差公式$a^2-b^2$的形式，因此优先选择平方差公式对左侧因式分解。因式分解后得到两个一次因式的乘积为0，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，可将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
首先将方程左侧变形为平方差形式，运用平方差公式因式分解，得：
$(3x+2)(3x-2)=0$
根据乘积为0的性质，可得：
$3x+2=0$ 或 $3x-2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$3x+2=0$时，解得$x=-\frac{2}{3}$；
当$3x-2=0$时，解得$x=\frac{2}{3}$。
因此原方程的解为$x_1=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{2}{3}$。
【答案】
$(3x+2)(3x-2)$；$3x+2$；$3x-2$；$-\frac{2}{3}$；$\frac{2}{3}$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解方程；一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考察平方差公式的应用和因式分解法“降次”的核心思路，熟练掌握因式分解的常见方法和乘积为0的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85

5*. 已知直角三角形的两条边长分别是方程$x^2 -14x +48=0$的两个根,则此三角形的斜边长是 .

5. 10或8

【分析】
解题时首先求解一元二次方程得到两个根，即直角三角形的两条边长；由于题目未明确这两条边是直角边还是包含斜边，需结合直角三角形斜边为最长边的性质分类讨论：第一种情况是两条边均为直角边，用勾股定理计算斜边；第二种情况是较长的边为斜边，直接得到斜边长，排除较短边为斜边的不符合情况，最后汇总结果即可。
【解析】
1. 解方程$x^2 -14x +48=0$：
因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，即直角三角形的两条边长为6和8。
2. 分类讨论：
① 当6和8均为直角边长时，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$；
② 当8为斜边长、6为直角边长时，满足直角三角形斜边最长的性质，此时斜边长为8。
综上，此三角形的斜边长为10或8。
【答案】
10或8
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略题干未明确两条边的类型，直接默认都是直角边仅得到斜边长10，漏了8的情况。解题时要注意结合直角三角形斜边最长的性质判断情况是否成立，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

三、解答题
1. 用因式分解法解下列方程：
(1)$2(x-3)^2=x-3$
(2)$(2x-1)(x+4)=2x-1$
(3)$(x+2)^2=3x+6$
(4)$49x^2-14x+1=0$
(5)$4(y+2)^2-9(y-3)^2=0$
(6)$x^2-5x-6=0$

1. (1)$x_1=3,x_2=\frac{7}{2}$
(2)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-3$
(3)$x_1=-2,x_2=1$
(4)$x=\frac{1}{7}$
(5)$y_1=13,y_2=1$
(6)$x_1=6,x_2=-1$

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：将方程整理为“若干个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为解两个一元一次方程，降次求解。解题时注意不要直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会丢失根。
各小题解题思路：(1)(2)(3)先移项，提取公因式分解；(4)用完全平方公式分解；(5)用平方差公式分解；(6)用十字相乘法分解。
【解析】
(1) 移项得：$2(x-3)^2 - (x-3) = 0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-1] = 0$
化简得：$(x-3)(2x-7) = 0$
∴ $x-3=0$ 或 $2x-7=0$
解得：$x_1=3, x_2=\frac{7}{2}$
(2) 移项得：$(2x-1)(x+4) - (2x-1) = 0$
提取公因式$(2x-1)$得：$(2x-1)(x+4-1) = 0$
化简得：$(2x-1)(x+3) = 0$
∴ $2x-1=0$ 或 $x+3=0$
解得：$x_1=\frac{1}{2}, x_2=-3$
(3) 整理方程右边得：$3x+6=3(x+2)$
移项得：$(x+2)^2 - 3(x+2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：$(x+2)(x+2-3) = 0$
化简得：$(x+2)(x-1) = 0$
∴ $x+2=0$ 或 $x-1=0$
解得：$x_1=-2, x_2=1$
(4) 左边用完全平方公式分解得：$(7x-1)^2 = 0$
∴ $7x-1=0$
解得：$x=\frac{1}{7}$
(5) 左边变形为平方差形式：$[2(y+2)]^2 - [3(y-3)]^2 = 0$
用平方差公式分解得：$[2(y+2)-3(y-3)][2(y+2)+3(y-3)] = 0$
分别化简两个因式：
第一个因式：$2y+4-3y+9=-y+13$
第二个因式：$2y+4+3y-9=5y-5$
即：$(-y+13)(5y-5) = 0$
∴ $-y+13=0$ 或 $5y-5=0$
解得：$y_1=13, y_2=1$
(6) 用十字相乘法分解得：$(x-6)(x+1) = 0$
∴ $x-6=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=6, x_2=-1$
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=\frac{7}{2}$
(2)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-3$
(3)$x_1=-2,x_2=1$
(4)$x=\frac{1}{7}$
(5)$y_1=13,y_2=1$
(6)$x_1=6,x_2=-1$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提公因式法因式分解
3.公式法与十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查因式分解法在一元二次方程求解中的应用，覆盖了提公因式、完全平方公式、平方差公式、十字相乘法等常见的因式分解方法，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握各类因式分解方法是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8