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3. 用公式法解方程$2x^2 + 3 = 6x$,下列代入公式正确的是(
D
)答案
3. D
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程，首先需要将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值，要特别注意系数的正负号，再代入一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，最后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 将原方程化为一般形式：
对$2x^2 + 3 = 6x$移项，可得$2x^2 -6x +3=0$，因此$a=2$，$b=-6$，$c=3$。
2. 代入求根公式：
将$a$、$b$、$c$代入$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4×2×3}}{2×2}$，和选项D的表达式一致。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程一般形式，求根公式
【点评】
本题属于公式法解方程的基础考查题，解题核心是先将方程转化为一般形式再确定系数，常见错误是未整理方程直接确定系数，或者代入时弄错$b$的符号。
【难度系数】
0.7
使用公式法解一元二次方程，首先需要将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的取值，要特别注意系数的正负号，再代入一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，最后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 将原方程化为一般形式：
对$2x^2 + 3 = 6x$移项，可得$2x^2 -6x +3=0$，因此$a=2$，$b=-6$，$c=3$。
2. 代入求根公式：
将$a$、$b$、$c$代入$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4×2×3}}{2×2}$，和选项D的表达式一致。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程一般形式，求根公式
【点评】
本题属于公式法解方程的基础考查题，解题核心是先将方程转化为一般形式再确定系数，常见错误是未整理方程直接确定系数，或者代入时弄错$b$的符号。
【难度系数】
0.7
4. 关于x的一元二次方程$mx^2 + 6x = 9$有两个不相等的实数根,则m的取值范围为(
A.$m ＞ -1$且$m ≠ 0$
B.$m ＜ 1$且$m ≠ 0$
C.$m ＞ 1$
D.$m ＞ -1$
A
)A.$m ＞ -1$且$m ≠ 0$
B.$m ＜ 1$且$m ≠ 0$
C.$m ＞ 1$
D.$m ＞ -1$
答案
4. A
解析
【分析】
解决本题需要抓住两个核心条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含前提；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。解题时先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别代入两个条件求解，最后取两个解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
首先将原方程移项整理为一元二次方程的一般形式：$mx^2 + 6x - 9 = 0$
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即 $m ≠ 0$；
2. 因为方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m$，$b=6$，$c=-9$，代入得：
$\Delta = 6^2 - 4 × m × (-9) = 36 + 36m ＞ 0$
解上述不等式：
$36 + 36m ＞ 0$
两边同时除以36得：$1 + m ＞ 0$，解得 $m ＞ -1$
3. 结合两个条件，可得m的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，易错点是忽略“一元二次方程”的限定条件，遗漏$m ≠ 0$的要求从而错选D，解题时要注意审题，抓住题干中的关键限定信息。
【难度系数】
0.7
解决本题需要抓住两个核心条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含前提；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。解题时先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别代入两个条件求解，最后取两个解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
首先将原方程移项整理为一元二次方程的一般形式：$mx^2 + 6x - 9 = 0$
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即 $m ≠ 0$；
2. 因为方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m$，$b=6$，$c=-9$，代入得：
$\Delta = 6^2 - 4 × m × (-9) = 36 + 36m ＞ 0$
解上述不等式：
$36 + 36m ＞ 0$
两边同时除以36得：$1 + m ＞ 0$，解得 $m ＞ -1$
3. 结合两个条件，可得m的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，易错点是忽略“一元二次方程”的限定条件，遗漏$m ≠ 0$的要求从而错选D，解题时要注意审题，抓住题干中的关键限定信息。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 将方程$2x^2 + 8 = 9x$化为一般形式是________，其中$a = \_\_\_\_\_\_$，$b = \_\_\_\_\_\_$，$c = \_\_\_\_\_\_$，则$b^2 - 4ac = \_\_\_\_\_\_$，用求根公式可得$x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
1. 将方程$2x^2 + 8 = 9x$化为一般形式是________，其中$a = \_\_\_\_\_\_$，$b = \_\_\_\_\_\_$，$c = \_\_\_\_\_\_$，则$b^2 - 4ac = \_\_\_\_\_\_$，用求根公式可得$x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
1. $2x^2-9x+8=0$，2，-9，8，17，$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程一般形式的要求为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），需将原方程所有项移到等号左侧，按$x$的降幂排列得到一般形式；再对照一般形式对应确定带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；之后代入判别式公式$b^2-4ac$计算判别式的值；最后将$a$、$b$、判别式的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，即可算出两个根。
【解析】
1. 化为一般形式：将方程$2x^2 + 8 = 9x$移项，把$9x$移到等号左侧，按降幂排列得$2x^2 - 9x + 8 = 0$，即为一般形式。
2. 确定系数：对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-9$，常数项$c=8$。
3. 计算判别式：代入公式得$b^2-4ac=(-9)^2 - 4×2×8=81-64=17$。
4. 求根计算：将$a、b、b^2-4ac$的值代入求根公式，得$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$，因此$x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
$2x^2-9x+8=0$，2，-9，8，17，$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程公式法的基础练习题，解题的易错点是确定$a、b、c$时忽略项的符号，熟练掌握一般形式、判别式和求根公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程一般形式的要求为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），需将原方程所有项移到等号左侧，按$x$的降幂排列得到一般形式；再对照一般形式对应确定带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；之后代入判别式公式$b^2-4ac$计算判别式的值；最后将$a$、$b$、判别式的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，即可算出两个根。
【解析】
1. 化为一般形式：将方程$2x^2 + 8 = 9x$移项，把$9x$移到等号左侧，按降幂排列得$2x^2 - 9x + 8 = 0$，即为一般形式。
2. 确定系数：对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-9$，常数项$c=8$。
3. 计算判别式：代入公式得$b^2-4ac=(-9)^2 - 4×2×8=81-64=17$。
4. 求根计算：将$a、b、b^2-4ac$的值代入求根公式，得$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$，因此$x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
$2x^2-9x+8=0$，2，-9，8，17，$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程公式法的基础练习题，解题的易错点是确定$a、b、c$时忽略项的符号，熟练掌握一般形式、判别式和求根公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 方程$x^2 - 2x -5 =0$的根是
$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
.答案
2. $x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程实数根的基础题，可采用公式法求解。解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从给定方程中对应找出$a、b、c$的取值；再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况，若$\Delta≥0$则存在实数根；最后将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简后即可得到方程的根。
【解析】
对于方程$x^2 - 2x -5 =0$，对应一般形式可得：$a=1$，$b=-2$，$c=-5$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×(-5) = 4 + 20 = 24＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式计算：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$
即方程的两个根为$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$。
【答案】
$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、判别式的应用、二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的常规基础题，核心考查求根公式的掌握与应用，解题时需注意准确识别方程各项的符号，避免符号出错，根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题是求解一元二次方程实数根的基础题，可采用公式法求解。解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从给定方程中对应找出$a、b、c$的取值；再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况，若$\Delta≥0$则存在实数根；最后将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简后即可得到方程的根。
【解析】
对于方程$x^2 - 2x -5 =0$，对应一般形式可得：$a=1$，$b=-2$，$c=-5$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×(-5) = 4 + 20 = 24＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式计算：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$
即方程的两个根为$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$。
【答案】
$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、判别式的应用、二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的常规基础题，核心考查求根公式的掌握与应用，解题时需注意准确识别方程各项的符号，避免符号出错，根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
3. 关于$x$的一元二次方程$x^2+(m-1)x-m=0$的根的情况是
有实数根
.答案
3. 有实数根
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路如下：第一步，先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带对应符号；第二步，将$a、b、c$代入判别式公式，化简$\Delta$的表达式；第三步，结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，再根据“$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根”的规则得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
1. 确定本题中方程的对应系数：$a=1$，$b=m-1$，$c=-m$；
2. 代入判别式计算并化简：
$\begin{aligned}\Delta&=(m-1)^2 - 4×1×(-m)\\&=m^2-2m+1+4m\\&=m^2+2m+1\\&=(m+1)^2\end{aligned}$
3. 判断$\Delta$的符号：
∵ 任意实数的平方均为非负数，
∴ $(m+1)^2≥0$，即$\Delta≥0$；
根据判别式的性质，当$\Delta≥0$时，一元二次方程有实数根。
【答案】
有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题的关键是准确提取方程各项的系数，正确化简判别式，再结合非负数的性质判断判别式的取值范围即可得到结论，是巩固判别式应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路如下：第一步，先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带对应符号；第二步，将$a、b、c$代入判别式公式，化简$\Delta$的表达式；第三步，结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，再根据“$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根”的规则得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
1. 确定本题中方程的对应系数：$a=1$，$b=m-1$，$c=-m$；
2. 代入判别式计算并化简：
$\begin{aligned}\Delta&=(m-1)^2 - 4×1×(-m)\\&=m^2-2m+1+4m\\&=m^2+2m+1\\&=(m+1)^2\end{aligned}$
3. 判断$\Delta$的符号：
∵ 任意实数的平方均为非负数，
∴ $(m+1)^2≥0$，即$\Delta≥0$；
根据判别式的性质，当$\Delta≥0$时，一元二次方程有实数根。
【答案】
有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题的关键是准确提取方程各项的系数，正确化简判别式，再结合非负数的性质判断判别式的取值范围即可得到结论，是巩固判别式应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
4. 方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的正根介于正整数$m$与$m+1$之间，则$m = \_\_\_\_\_\_$
答案
4. 2
解析
【分析】
要确定方程正根所在的正整数区间，可按以下思路解题：本题属于一元二次方程公式法求解的题型，第一步先计算判别式判断方程是否有实根；第二步用求根公式求出方程的两个根，筛选出正根；第三步估算正根中无理数部分的大小，即可确定正根的范围，进而得到m的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{2\pm\sqrt{8}}{2} = \frac{2\pm2\sqrt{2}}{2} = 1\pm\sqrt{2}$
3. 筛选正根：因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$1-\sqrt{2}＜0$为负根，舍去，正根为$1+\sqrt{2}\approx2.414$。
4. 确定正根范围：$2 ＜ 1+\sqrt{2} ＜ 3$，即正根介于正整数2和3之间，故$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程求根公式；无理数大小估算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础应用类题型，既考察了一元二次方程求根公式的规范使用，也结合了无理数估算的知识点，解题时要注意先筛选出符合要求的正根再进行范围判断，避免选错根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要确定方程正根所在的正整数区间，可按以下思路解题：本题属于一元二次方程公式法求解的题型，第一步先计算判别式判断方程是否有实根；第二步用求根公式求出方程的两个根，筛选出正根；第三步估算正根中无理数部分的大小，即可确定正根的范围，进而得到m的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{2\pm\sqrt{8}}{2} = \frac{2\pm2\sqrt{2}}{2} = 1\pm\sqrt{2}$
3. 筛选正根：因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$1-\sqrt{2}＜0$为负根，舍去，正根为$1+\sqrt{2}\approx2.414$。
4. 确定正根范围：$2 ＜ 1+\sqrt{2} ＜ 3$，即正根介于正整数2和3之间，故$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程求根公式；无理数大小估算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础应用类题型，既考察了一元二次方程求根公式的规范使用，也结合了无理数估算的知识点，解题时要注意先筛选出符合要求的正根再进行范围判断，避免选错根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 用公式法解下列方程:
(1) $3x^2 -6x=1$
(2) $3x(x-2)=2x-4$
(3) $x^2 +4x=5$
(4) $x^2 +x=1$
(5) $2x -1=2x^2$
(6) $(x-2)(3x-5)=1$
1. 用公式法解下列方程:
(1) $3x^2 -6x=1$
(2) $3x(x-2)=2x-4$
(3) $x^2 +4x=5$
(4) $x^2 +x=1$
(5) $2x -1=2x^2$
(6) $(x-2)(3x-5)=1$
答案
1. (1) $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$ (2) $x_1=2,x_2=\frac{2}{3}$ (3) $x_1=1,x_2=-5$ (4) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (5) 无解 (6) $x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的通用解题思路如下：①先将方程整理为$ax²+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b²-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$计算即可得到方程的根。6个小题均按照该思路逐步求解即可。
【解析】
(1) 先整理为一般形式：$3x^2 -6x -1=0$
其中$a=3$，$b=-6$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = (-6)^2 -4×3×(-1)=36+12=48＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{6±\sqrt{48}}{2×3}=\frac{6±4\sqrt{3}}{6}=\frac{3±2\sqrt{3}}{3}$
(2) 去括号得：$3x^2-6x=2x-4$，移项整理为一般形式：$3x^2-8x+4=0$
其中$a=3$，$b=-8$，$c=4$
计算判别式：$\Delta = (-8)^2 -4×3×4=64-48=16＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{8±\sqrt{16}}{2×3}=\frac{8±4}{6}$，计算得两个根。
(3) 整理为一般形式：$x^2+4x-5=0$
其中$a=1$，$b=4$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta = 4^2 -4×1×(-5)=16+20=36＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-4±\sqrt{36}}{2×1}=\frac{-4±6}{2}$，计算得两个根。
(4) 整理为一般形式：$x^2+x-1=0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = 1^2 -4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$。
(5) 整理为一般形式：$2x^2-2x+1=0$
其中$a=2$，$b=-2$，$c=1$
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 -4×2×1=4-8=-4＜0$，方程没有实数根。
(6) 去括号得：$3x^2-5x-6x+10=1$，移项整理为一般形式：$3x^2-11x+9=0$
其中$a=3$，$b=-11$，$c=9$
计算判别式：$\Delta = (-11)^2 -4×3×9=121-108=13＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{11±\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11±\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$
(2) $x_1=2,x_2=\frac{2}{3}$
(3) $x_1=1,x_2=-5$
(4) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(5) 无解
(6) $x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础巩固题，解题核心是严格按照公式法的步骤操作，尤其要注意将方程化为一般形式时的符号问题，计算判别式和求根时要仔细运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程的通用解题思路如下：①先将方程整理为$ax²+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b²-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$计算即可得到方程的根。6个小题均按照该思路逐步求解即可。
【解析】
(1) 先整理为一般形式：$3x^2 -6x -1=0$
其中$a=3$，$b=-6$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = (-6)^2 -4×3×(-1)=36+12=48＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{6±\sqrt{48}}{2×3}=\frac{6±4\sqrt{3}}{6}=\frac{3±2\sqrt{3}}{3}$
(2) 去括号得：$3x^2-6x=2x-4$，移项整理为一般形式：$3x^2-8x+4=0$
其中$a=3$，$b=-8$，$c=4$
计算判别式：$\Delta = (-8)^2 -4×3×4=64-48=16＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{8±\sqrt{16}}{2×3}=\frac{8±4}{6}$，计算得两个根。
(3) 整理为一般形式：$x^2+4x-5=0$
其中$a=1$，$b=4$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta = 4^2 -4×1×(-5)=16+20=36＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-4±\sqrt{36}}{2×1}=\frac{-4±6}{2}$，计算得两个根。
(4) 整理为一般形式：$x^2+x-1=0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = 1^2 -4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$。
(5) 整理为一般形式：$2x^2-2x+1=0$
其中$a=2$，$b=-2$，$c=1$
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 -4×2×1=4-8=-4＜0$，方程没有实数根。
(6) 去括号得：$3x^2-5x-6x+10=1$，移项整理为一般形式：$3x^2-11x+9=0$
其中$a=3$，$b=-11$，$c=9$
计算判别式：$\Delta = (-11)^2 -4×3×9=121-108=13＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x=\frac{11±\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11±\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$
(2) $x_1=2,x_2=\frac{2}{3}$
(3) $x_1=1,x_2=-5$
(4) $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(5) 无解
(6) $x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础巩固题，解题核心是严格按照公式法的步骤操作，尤其要注意将方程化为一般形式时的符号问题，计算判别式和求根时要仔细运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
