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2. 下面是小明同学解一元二次方程$3x^2 +8x -3=0$的过程,请认真阅读并完成相应任务.
(1)任务一:
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是
②上述解题过程从第
(2)任务二:请写出该方程正确的求解过程.
(1)任务一:
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是
配方法
;②上述解题过程从第
三
步开始出现错误.(2)任务二:请写出该方程正确的求解过程.
答案
2. 任务一：① 配方法 ② 三 任务二：$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=-3$
解析
【分析】
任务一：①观察解题步骤，过程包含移项、化二次项系数为1、配方构造完全平方式的操作，对应的解方程方法是配方法；②根据配方法的规则，配方时需在等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，小明在第三步仅给方程左边加了$(\dfrac{4}{3})^2$，右边没有加相同的数，违反了等式的性质，因此从第三步开始出错。
任务二：按照配方法的正确步骤求解，先移项，再将二次项系数化为1，随后等式两边同时加一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方式，最后开方求解即可。
【解析】
(1)任务一：
①由解题过程中的“配方”步骤可知，使用的解方程方法是配方法；
②第三步配方时，仅方程左边加上了$(\dfrac{4}{3})^2$，右边未加相同的数，因此从第三步开始出现错误。
(2)任务二正确求解过程：
解：原方程为$3x^2 +8x -3=0$
移项，得$3x^2 +8x = 3$
二次项系数化为1，得$x^2 + \dfrac{8}{3}x = 1$
配方，得$x^2 + \dfrac{8}{3}x + (\dfrac{4}{3})^2 = 1 + (\dfrac{4}{3})^2$
即$(x+\dfrac{4}{3})^2 = \dfrac{25}{9}$
开方，得$x+\dfrac{4}{3} = \pm \dfrac{5}{3}$
解得$x_1=\dfrac{1}{3}$，$x_2=-3$
【答案】
(1)①配方法；②三
(2)$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的性质、完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点为配方时遗漏给方程右侧也加上一次项系数一半的平方，熟练掌握配方法的操作流程和等式的性质是正确解题的核心。
【难度系数】
0.7
任务一：①观察解题步骤，过程包含移项、化二次项系数为1、配方构造完全平方式的操作，对应的解方程方法是配方法；②根据配方法的规则，配方时需在等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，小明在第三步仅给方程左边加了$(\dfrac{4}{3})^2$，右边没有加相同的数，违反了等式的性质，因此从第三步开始出错。
任务二：按照配方法的正确步骤求解，先移项，再将二次项系数化为1，随后等式两边同时加一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方式，最后开方求解即可。
【解析】
(1)任务一：
①由解题过程中的“配方”步骤可知，使用的解方程方法是配方法；
②第三步配方时，仅方程左边加上了$(\dfrac{4}{3})^2$，右边未加相同的数，因此从第三步开始出现错误。
(2)任务二正确求解过程：
解：原方程为$3x^2 +8x -3=0$
移项，得$3x^2 +8x = 3$
二次项系数化为1，得$x^2 + \dfrac{8}{3}x = 1$
配方，得$x^2 + \dfrac{8}{3}x + (\dfrac{4}{3})^2 = 1 + (\dfrac{4}{3})^2$
即$(x+\dfrac{4}{3})^2 = \dfrac{25}{9}$
开方，得$x+\dfrac{4}{3} = \pm \dfrac{5}{3}$
解得$x_1=\dfrac{1}{3}$，$x_2=-3$
【答案】
(1)①配方法；②三
(2)$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的性质、完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点为配方时遗漏给方程右侧也加上一次项系数一半的平方，熟练掌握配方法的操作流程和等式的性质是正确解题的核心。
【难度系数】
0.7
3. 已知$x^2+y^2+4x-6y+13=0$，求$\frac{x}{y}$的值.
答案
$-\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
观察已知等式的结构，等式左侧包含x、y的二次项、一次项和常数项，符合配方的形式。解题时首先利用配方法将左侧整理为两个完全平方式相加的形式，再根据偶次幂的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数均为0，分别求出x、y的取值，最后代入计算$\frac{x}{y}$的值即可。
【解析】
解：对已知等式进行配方变形：
将常数项13拆分为4+9，代入原式得：
$x^2+4x+4 + y^2-6y+9 = 0$
根据完全平方公式整理得：
$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 0$
∵ 偶次幂具有非负性，即$(x+2)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$
两个非负数的和为0，仅当两个数同时为0时成立
∴ $\begin{cases}x+2=0 \\ y-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-2 \\ y=3\end{cases}$
将x、y代入$\frac{x}{y}$得：
$\frac{x}{y}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$
【答案】
$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法的应用，偶次幂的非负性，代数式求值
【点评】
本题是配方法的典型基础应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，正确拆分常数项完成配方，再结合非负数的性质求出未知字母的值即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
观察已知等式的结构，等式左侧包含x、y的二次项、一次项和常数项，符合配方的形式。解题时首先利用配方法将左侧整理为两个完全平方式相加的形式，再根据偶次幂的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数均为0，分别求出x、y的取值，最后代入计算$\frac{x}{y}$的值即可。
【解析】
解：对已知等式进行配方变形：
将常数项13拆分为4+9，代入原式得：
$x^2+4x+4 + y^2-6y+9 = 0$
根据完全平方公式整理得：
$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 0$
∵ 偶次幂具有非负性，即$(x+2)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$
两个非负数的和为0，仅当两个数同时为0时成立
∴ $\begin{cases}x+2=0 \\ y-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-2 \\ y=3\end{cases}$
将x、y代入$\frac{x}{y}$得：
$\frac{x}{y}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$
【答案】
$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法的应用，偶次幂的非负性，代数式求值
【点评】
本题是配方法的典型基础应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，正确拆分常数项完成配方，再结合非负数的性质求出未知字母的值即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
一、选择题
1. 用公式法解$-x^2 + 3x = 1$时，应先将方程化为一般形式，则$a,b,c$依次为(
A.$-1,3,-1$
B.$1,-3,-1$
C.$-1,-3,-1$
D.$1,-3,1$
1. 用公式法解$-x^2 + 3x = 1$时，应先将方程化为一般形式，则$a,b,c$依次为(
A
)A.$-1,3,-1$
B.$1,-3,-1$
C.$-1,-3,-1$
D.$1,-3,1$
答案
1. A
解析
【分析】
要确定公式法中一元二次方程的$a,b,c$，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），解题时第一步要把给定方程化为等号右侧为0的形式，移项时注意符号变化，再对应找到二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$即可，注意系数要连同前面的符号一起判断。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。
对原方程$-x^2 + 3x = 1$移项，将右侧的1移到左侧并变号，得：
$-x^2 + 3x - 1 = 0$
对比一般形式，可得二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$，因此$a,b,c$依次为$-1,3,-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程一般形式的识别，易错点是移项时忘记变号、确定系数时忽略前面的符号，解题时要严格按照一般形式的要求变形方程。
【难度系数】
0.9
要确定公式法中一元二次方程的$a,b,c$，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），解题时第一步要把给定方程化为等号右侧为0的形式，移项时注意符号变化，再对应找到二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$即可，注意系数要连同前面的符号一起判断。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。
对原方程$-x^2 + 3x = 1$移项，将右侧的1移到左侧并变号，得：
$-x^2 + 3x - 1 = 0$
对比一般形式，可得二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$，因此$a,b,c$依次为$-1,3,-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程一般形式的识别，易错点是移项时忘记变号、确定系数时忽略前面的符号，解题时要严格按照一般形式的要求变形方程。
【难度系数】
0.9
2. 用公式法解一元二次方程$x^2 - 2x = 3$时，$b^2 - 4ac$的值为(
A.-8
B.8
C.16
D.17
C
)A.-8
B.8
C.16
D.17
答案
2. C
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式$b^2-4ac$的值，首先需将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确找出带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，最后代入判别式公式计算即可。
【解析】
第一步，将原方程移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
第二步，确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$
第三步，代入判别式公式计算：
$b^2-4ac=(-2)^2 - 4×1×(-3)=4 + 12=16$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式 2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础考查题，核心检验公式法解一元二次方程的前置步骤，易错点是未将方程化为一般形式就直接取常数项为3，或是计算时忽略系数的符号，解题时牢记先整理为标准形式，再提取带符号的系数计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式$b^2-4ac$的值，首先需将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确找出带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，最后代入判别式公式计算即可。
【解析】
第一步，将原方程移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
第二步，确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$
第三步，代入判别式公式计算：
$b^2-4ac=(-2)^2 - 4×1×(-3)=4 + 12=16$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式 2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础考查题，核心检验公式法解一元二次方程的前置步骤，易错点是未将方程化为一般形式就直接取常数项为3，或是计算时忽略系数的符号，解题时牢记先整理为标准形式，再提取带符号的系数计算即可。
【难度系数】
0.8
