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3. 小东在用配方法解方程$x^2 -4x =n$时，配成$(x-2)^2 =m$，发现$m＜0$，判断该方程无实数根，则$n$的值可能是(
A.1
B.0
C.-4
D.-5
D
)A.1
B.0
C.-4
D.-5
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先回忆配方法的操作步骤：对一元二次方程配方时，需给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为完全平方式。首先根据配方法的规则找到m和n的数量关系，再结合题目给出的m＜0的条件列出关于n的不等式，求解不等式得到n的取值范围，最后对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
对原方程$x^2 -4x =n$进行配方：
一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4得：
$x^2-4x+4 = n + 4$
即$(x-2)^2 = n + 4$
由题可知配方后为$(x-2)^2 = m$，因此$m = n + 4$
已知$m＜0$时方程无实数根，代入得不等式：
$n + 4 ＜ 0$
解得$n ＜ -4$
观察选项：A.$1＞-4$，B.$0＞-4$，C.$-4=-4$，D.$-5＜-4$，只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；平方的非负性；一元一次不等式求解
【点评】
本题核心考查配方法的正确应用，结合平方的非负性判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确配方得到m与n的关系式，属于基础题型，掌握配方法的步骤就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆配方法的操作步骤：对一元二次方程配方时，需给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为完全平方式。首先根据配方法的规则找到m和n的数量关系，再结合题目给出的m＜0的条件列出关于n的不等式，求解不等式得到n的取值范围，最后对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
对原方程$x^2 -4x =n$进行配方：
一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4得：
$x^2-4x+4 = n + 4$
即$(x-2)^2 = n + 4$
由题可知配方后为$(x-2)^2 = m$，因此$m = n + 4$
已知$m＜0$时方程无实数根，代入得不等式：
$n + 4 ＜ 0$
解得$n ＜ -4$
观察选项：A.$1＞-4$，B.$0＞-4$，C.$-4=-4$，D.$-5＜-4$，只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；平方的非负性；一元一次不等式求解
【点评】
本题核心考查配方法的正确应用，结合平方的非负性判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确配方得到m与n的关系式，属于基础题型，掌握配方法的步骤就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 以下是四位同学接力用配方法求解一元二次方程的过程,在每人只负责传递到自己的这一步的解答中,出现错误的是(
老师
甲
乙
丙
丁
$x^2-2x=3$
$x^2-2x+1=3-1$
$($
$)^2=2$
$x-1=\sqrt{2}$
$x=\sqrt{2}+1$
A.只有甲
B.甲和乙
C.甲和丙
D.丙和丁
C
)老师
甲
乙
丙
丁
$x^2-2x=3$
$x^2-2x+1=3-1$
$($
$)^2=2$$x-1=\sqrt{2}$
$x=\sqrt{2}+1$
A.只有甲
B.甲和乙
C.甲和丙
D.丙和丁
答案
4. C
解析
【分析】
要判断每一步是否错误，需结合配方法解一元二次方程的步骤逐人验证：首先配方法要求给等式两边同时加一次项系数一半的平方，才能将左边配成完全平方式；其次开平方时，正数的平方根有两个，不能漏掉负的平方根。我们依次分析：①甲从老师的原方程出发，配方时右边应该加1，甲却减1，所以甲错误；②乙承接甲的式子，左边$x^2-2x+1$确实是$(x-1)^2$，推导正确；③丙承接乙的完全平方式开平方，只写了正的平方根，漏了负的，所以丙错误；④丁承接丙的式子移项，推导正确，综上可得出错误的人。
【解析】
我们逐步骤验证推导的正确性：
1. 原方程为$x^2 - 2x = 3$，一次项系数为-2，它的一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，根据配方法要求，等式两边需同时加1，正确变形应为$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$，而甲的步骤写为$x^2 - 2x +1 = 3 -1$，因此甲的步骤错误。
2. 从甲得到的式子$x^2 - 2x + 1 = 2$出发，根据完全平方公式，左边$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，因此乙变形为$(x-1)^2=2$，推导正确。
3. 从乙得到的式子$(x-1)^2=2$出发，根据平方根的定义，开平方后应为$x-1 = ±\sqrt{2}$，丙仅写出了正的平方根，遗漏了负的平方根，因此丙的步骤错误。
4. 从丙得到的式子$x-1=\sqrt{2}$出发，移项可得$x=\sqrt{2}+1$，丁的推导正确。
因此出现错误的是甲和丙，选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点有两个：一是配方时忽略等式两边要同时加相同的数，二是开平方时漏写负的平方根，解题时要注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.7
要判断每一步是否错误，需结合配方法解一元二次方程的步骤逐人验证：首先配方法要求给等式两边同时加一次项系数一半的平方，才能将左边配成完全平方式；其次开平方时，正数的平方根有两个，不能漏掉负的平方根。我们依次分析：①甲从老师的原方程出发，配方时右边应该加1，甲却减1，所以甲错误；②乙承接甲的式子，左边$x^2-2x+1$确实是$(x-1)^2$，推导正确；③丙承接乙的完全平方式开平方，只写了正的平方根，漏了负的，所以丙错误；④丁承接丙的式子移项，推导正确，综上可得出错误的人。
【解析】
我们逐步骤验证推导的正确性：
1. 原方程为$x^2 - 2x = 3$，一次项系数为-2，它的一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，根据配方法要求，等式两边需同时加1，正确变形应为$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$，而甲的步骤写为$x^2 - 2x +1 = 3 -1$，因此甲的步骤错误。
2. 从甲得到的式子$x^2 - 2x + 1 = 2$出发，根据完全平方公式，左边$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，因此乙变形为$(x-1)^2=2$，推导正确。
3. 从乙得到的式子$(x-1)^2=2$出发，根据平方根的定义，开平方后应为$x-1 = ±\sqrt{2}$，丙仅写出了正的平方根，遗漏了负的平方根，因此丙的步骤错误。
4. 从丙得到的式子$x-1=\sqrt{2}$出发，移项可得$x=\sqrt{2}+1$，丁的推导正确。
因此出现错误的是甲和丙，选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点有两个：一是配方时忽略等式两边要同时加相同的数，二是开平方时漏写负的平方根，解题时要注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 填空：
(1)$x^2+6x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2-8x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2-\dfrac{3}{5}x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2+\dfrac{b}{a}x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$。
1. 填空：
(1)$x^2+6x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2-8x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2-\dfrac{3}{5}x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2+\dfrac{b}{a}x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
1. (1) 9,3 (2) 16,4 (3) $\dfrac{9}{100},\dfrac{3}{10}$ (4) $\dfrac{b^2}{4a^2},\dfrac{b}{2a}$
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题核心是熟记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。对于形如$x^2+px$的二次二项式，配方时需要加上一次项系数一半的平方，即可凑成完全平方式。思考步骤为：①先找到每个式子的一次项系数；②计算一次项系数的一半；③将这个一半的平方作为常数项填入第一个空，括号内的数就是一次项系数的一半（注意符号和原式一次项的符号一致）。
【解析】
根据完全平方公式的变形规律：对$x^2+px$，配方得$x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(x+\frac{p}{2})^2$。
(1) 一次项系数为$6$，$\frac{6}{2}=3$，$3^2=9$，故填$9$、$3$；
(2) 一次项系数为$-8$，$\frac{-8}{2}=-4$，$(-4)^2=16$，故填$16$、$4$；
(3) 一次项系数为$-\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}×(-\frac{3}{5})=-\frac{3}{10}$，$(-\frac{3}{10})^2=\frac{9}{100}$，故填$\frac{9}{100}$、$\frac{3}{10}$；
(4) 一次项系数为$\frac{b}{a}$，$\frac{1}{2}×\frac{b}{a}=\frac{b}{2a}$，$(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}$，故填$\frac{b^2}{4a^2}$、$\frac{b}{2a}$。
【答案】
(1) $9,3$；(2) $16,4$；(3) $\dfrac{9}{100},\dfrac{3}{10}$；(4) $\dfrac{b^2}{4a^2},\dfrac{b}{2a}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的理解和运用，熟练掌握“加上一次项系数一半的平方”的配方规则，是后续学习解一元二次方程、二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题考查配方法的应用，解题核心是熟记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。对于形如$x^2+px$的二次二项式，配方时需要加上一次项系数一半的平方，即可凑成完全平方式。思考步骤为：①先找到每个式子的一次项系数；②计算一次项系数的一半；③将这个一半的平方作为常数项填入第一个空，括号内的数就是一次项系数的一半（注意符号和原式一次项的符号一致）。
【解析】
根据完全平方公式的变形规律：对$x^2+px$，配方得$x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(x+\frac{p}{2})^2$。
(1) 一次项系数为$6$，$\frac{6}{2}=3$，$3^2=9$，故填$9$、$3$；
(2) 一次项系数为$-8$，$\frac{-8}{2}=-4$，$(-4)^2=16$，故填$16$、$4$；
(3) 一次项系数为$-\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}×(-\frac{3}{5})=-\frac{3}{10}$，$(-\frac{3}{10})^2=\frac{9}{100}$，故填$\frac{9}{100}$、$\frac{3}{10}$；
(4) 一次项系数为$\frac{b}{a}$，$\frac{1}{2}×\frac{b}{a}=\frac{b}{2a}$，$(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}$，故填$\frac{b^2}{4a^2}$、$\frac{b}{2a}$。
【答案】
(1) $9,3$；(2) $16,4$；(3) $\dfrac{9}{100},\dfrac{3}{10}$；(4) $\dfrac{b^2}{4a^2},\dfrac{b}{2a}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的理解和运用，熟练掌握“加上一次项系数一半的平方”的配方规则，是后续学习解一元二次方程、二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.85
2. 将方程$x^2+6x-1=0$配方成$(x+m)^2=n$的形式，则$mn=$
30
.答案
2. 30
解析
【分析】
要将给定的一元二次方程配方成指定形式，首先回忆配方法的操作步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，第一步先将常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式，再对比$(x+m)^2=n$的形式确定$m$、$n$的值，最后计算$mn$即可。
【解析】
解：已知方程$x^2+6x-1=0$，
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2+6x=1$
第二步，配方，一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，在等号两边同时加9，得：
$x^2+6x+9=1+9$
左侧根据完全平方公式变形，右侧合并常数项，得：
$(x+3)^2=10$
对比$(x+m)^2=n$的形式，可得$m=3$，$n=10$，
因此$mn=3×10=30$。
【答案】
30
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号，配方时要给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.8
要将给定的一元二次方程配方成指定形式，首先回忆配方法的操作步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，第一步先将常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式，再对比$(x+m)^2=n$的形式确定$m$、$n$的值，最后计算$mn$即可。
【解析】
解：已知方程$x^2+6x-1=0$，
第一步，移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2+6x=1$
第二步，配方，一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，在等号两边同时加9，得：
$x^2+6x+9=1+9$
左侧根据完全平方公式变形，右侧合并常数项，得：
$(x+3)^2=10$
对比$(x+m)^2=n$的形式，可得$m=3$，$n=10$，
因此$mn=3×10=30$。
【答案】
30
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号，配方时要给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.8
3. 若关于$x$的方程$(x-1)^2=a$有两个相等的实数根，则$a=$
0
.答案
3. 0
解析
【分析】
解题思路：首先观察方程的形式，是完全平方式等于常数a的形式，可结合直接开平方法解一元二次方程时根的情况规律来推导。我们知道形如$m^2 = b$的方程，根的情况和b的取值直接相关：b＞0时有两个不等实根，b=0时有两个相等实根，b＜0时无实根。本题中$m=x-1$，$b=a$，题目要求方程有两个相等的实数根，对应b=0的情况，即可求出a的值。
【解析】
解：根据直接开平方法解一元二次方程的规律：
对于方程$(x-1)^2 = a$：
1. 当$a＞0$时，方程有两个不相等的实数根：$x_1=1+\sqrt{a}$，$x_2=1-\sqrt{a}$；
2. 当$a=0$时，方程可化为$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$，即有两个相等的实数根；
3. 当$a＜0$时，平方不可能为负数，方程无实数根。
已知方程有两个相等的实数根，因此$a=0$。
【答案】
0
【知识点】
直接开平方法解方程；一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查利用直接开平方法判断一元二次方程根的情况，熟练掌握不同取值下方程根的对应特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先观察方程的形式，是完全平方式等于常数a的形式，可结合直接开平方法解一元二次方程时根的情况规律来推导。我们知道形如$m^2 = b$的方程，根的情况和b的取值直接相关：b＞0时有两个不等实根，b=0时有两个相等实根，b＜0时无实根。本题中$m=x-1$，$b=a$，题目要求方程有两个相等的实数根，对应b=0的情况，即可求出a的值。
【解析】
解：根据直接开平方法解一元二次方程的规律：
对于方程$(x-1)^2 = a$：
1. 当$a＞0$时，方程有两个不相等的实数根：$x_1=1+\sqrt{a}$，$x_2=1-\sqrt{a}$；
2. 当$a=0$时，方程可化为$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$，即有两个相等的实数根；
3. 当$a＜0$时，平方不可能为负数，方程无实数根。
已知方程有两个相等的实数根，因此$a=0$。
【答案】
0
【知识点】
直接开平方法解方程；一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查利用直接开平方法判断一元二次方程根的情况，熟练掌握不同取值下方程根的对应特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 小明在与Deepseek对话中输入如下所示的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是
有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？
2
。有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？
答案
4. 2
解析
【分析】
解决这道题首先要把文字描述转化为数学方程：第一步设所求的数为未知数x，第二步根据题目给出的运算关系列出对应的一元二次方程，第三步用配方法求解方程，最终得到的符合要求的解就是答案。
【解析】
解：设这个数为$ x $，根据题意可列方程：
$ x^2 - 3x + 4 = x $
移项，将含$ x $的项移到等号左侧，整理得：
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
用配方法变形，左侧可写成完全平方形式：
$ (x - 2)^2 = 0 $
开方得：$ x - 2 = 0 $
解得：$ x = 2 $
验证：把$ x=2 $代入原式，左边$ =2^2 - 3×2 +4=2 $，等于右侧的数2，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
列一元二次方程、配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心是准确提取题干中的等量关系建立方程，熟练掌握配方法解方程的步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要把文字描述转化为数学方程：第一步设所求的数为未知数x，第二步根据题目给出的运算关系列出对应的一元二次方程，第三步用配方法求解方程，最终得到的符合要求的解就是答案。
【解析】
解：设这个数为$ x $，根据题意可列方程：
$ x^2 - 3x + 4 = x $
移项，将含$ x $的项移到等号左侧，整理得：
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
用配方法变形，左侧可写成完全平方形式：
$ (x - 2)^2 = 0 $
开方得：$ x - 2 = 0 $
解得：$ x = 2 $
验证：把$ x=2 $代入原式，左边$ =2^2 - 3×2 +4=2 $，等于右侧的数2，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
列一元二次方程、配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心是准确提取题干中的等量关系建立方程，熟练掌握配方法解方程的步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 用配方法解下列方程:
(1)$x^2 - 2x -5=0$
(2)$2y^2 + y -2=0$
(3)$2x^2=5x -2$
(4)$(x-2)(x+3)=6$
(5)$2x^2 +6x +2=0$
(6)$(1+x)^2 +2(1+x)-4=0$
1. 用配方法解下列方程:
(1)$x^2 - 2x -5=0$
(2)$2y^2 + y -2=0$
(3)$2x^2=5x -2$
(4)$(x-2)(x+3)=6$
(5)$2x^2 +6x +2=0$
(6)$(1+x)^2 +2(1+x)-4=0$
答案
1. (1) $x=1\pm\sqrt{6}$ (2) $y=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$ (3) $x_1=2,x_2=\dfrac{1}{2}$ (4) $x_1=3,x_2=-4$ (5) $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ (6) $x=\pm\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方求解，通用解题思路如下：
1. 先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，若遇到带括号的方程先展开化简；
2. 若二次项系数不为1，将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；
3. 移项，将常数项移到等号右侧；
4. 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；
5. 若右侧常数非负，直接开平方即可求出方程的根。
【解析】
(1) $x^2 - 2x -5=0$
移项得：$x^2-2x=5$
配方，两边加1（一次项系数-2的一半的平方）：$x^2-2x+1=5+1$
即$(x-1)^2=6$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{6}$
解得：$x=1\pm\sqrt{6}$
(2) $2y^2 + y -2=0$
二次项系数化为1，两边除以2：$y^2+\frac{1}{2}y-1=0$
移项得：$y^2+\frac{1}{2}y=1$
配方，两边加$\frac{1}{16}$（一次项系数$\frac{1}{2}$的一半的平方）：$y^2+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$
即$(y+\frac{1}{4})^2=\frac{17}{16}$
开平方得：$y+\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$
解得：$y=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$
(3) $2x^2=5x -2$
整理为一般式：$2x^2-5x+2=0$
二次项系数化为1，两边除以2：$x^2-\frac{5}{2}x+1=0$
移项得：$x^2-\frac{5}{2}x=-1$
配方，两边加$\frac{25}{16}$（一次项系数$-\frac{5}{2}$的一半的平方）：$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$
即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{9}{16}$
开平方得：$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{3}{4}$
解得：$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
(4) $(x-2)(x+3)=6$
展开左边整理得：$x^2+x-12=0$
移项得：$x^2+x=12$
配方，两边加$\frac{1}{4}$（一次项系数1的一半的平方）：$x^2+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$
即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{49}{4}$
开平方得：$x+\frac{1}{2}=\pm\frac{7}{2}$
解得：$x_1=3,x_2=-4$
(5) $2x^2 +6x +2=0$
二次项系数化为1，两边除以2：$x^2+3x+1=0$
移项得：$x^2+3x=-1$
配方，两边加$\frac{9}{4}$（一次项系数3的一半的平方）：$x^2+3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$
开平方得：$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
解得：$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
(6) $(1+x)^2 +2(1+x)-4=0$
设$t=1+x$，原方程化为$t^2+2t-4=0$
移项得：$t^2+2t=4$
配方，两边加1：$t^2+2t+1=4+1$
即$(t+1)^2=5$
开平方得：$t+1=\pm\sqrt{5}$，即$1+x+1=\pm\sqrt{5}$
解得：$x=\pm\sqrt{5}-2$
【答案】
(1) $x=1\pm\sqrt{6}$ (2) $y=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$ (3) $x_1=2,x_2=\dfrac{1}{2}$ (4) $x_1=3,x_2=-4$ (5) $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ (6) $x=\pm\sqrt{5}-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，涵盖了多种常见形式的一元二次方程，能帮助学生熟练掌握配方法的解题步骤，解题时需注意配方时等号两边要同时加相同的数，移项时注意符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方求解，通用解题思路如下：
1. 先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，若遇到带括号的方程先展开化简；
2. 若二次项系数不为1，将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；
3. 移项，将常数项移到等号右侧；
4. 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；
5. 若右侧常数非负，直接开平方即可求出方程的根。
【解析】
(1) $x^2 - 2x -5=0$
移项得：$x^2-2x=5$
配方，两边加1（一次项系数-2的一半的平方）：$x^2-2x+1=5+1$
即$(x-1)^2=6$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{6}$
解得：$x=1\pm\sqrt{6}$
(2) $2y^2 + y -2=0$
二次项系数化为1，两边除以2：$y^2+\frac{1}{2}y-1=0$
移项得：$y^2+\frac{1}{2}y=1$
配方，两边加$\frac{1}{16}$（一次项系数$\frac{1}{2}$的一半的平方）：$y^2+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$
即$(y+\frac{1}{4})^2=\frac{17}{16}$
开平方得：$y+\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$
解得：$y=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$
(3) $2x^2=5x -2$
整理为一般式：$2x^2-5x+2=0$
二次项系数化为1，两边除以2：$x^2-\frac{5}{2}x+1=0$
移项得：$x^2-\frac{5}{2}x=-1$
配方，两边加$\frac{25}{16}$（一次项系数$-\frac{5}{2}$的一半的平方）：$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$
即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{9}{16}$
开平方得：$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{3}{4}$
解得：$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
(4) $(x-2)(x+3)=6$
展开左边整理得：$x^2+x-12=0$
移项得：$x^2+x=12$
配方，两边加$\frac{1}{4}$（一次项系数1的一半的平方）：$x^2+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$
即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{49}{4}$
开平方得：$x+\frac{1}{2}=\pm\frac{7}{2}$
解得：$x_1=3,x_2=-4$
(5) $2x^2 +6x +2=0$
二次项系数化为1，两边除以2：$x^2+3x+1=0$
移项得：$x^2+3x=-1$
配方，两边加$\frac{9}{4}$（一次项系数3的一半的平方）：$x^2+3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$
开平方得：$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
解得：$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
(6) $(1+x)^2 +2(1+x)-4=0$
设$t=1+x$，原方程化为$t^2+2t-4=0$
移项得：$t^2+2t=4$
配方，两边加1：$t^2+2t+1=4+1$
即$(t+1)^2=5$
开平方得：$t+1=\pm\sqrt{5}$，即$1+x+1=\pm\sqrt{5}$
解得：$x=\pm\sqrt{5}-2$
【答案】
(1) $x=1\pm\sqrt{6}$ (2) $y=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$ (3) $x_1=2,x_2=\dfrac{1}{2}$ (4) $x_1=3,x_2=-4$ (5) $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ (6) $x=\pm\sqrt{5}-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，涵盖了多种常见形式的一元二次方程，能帮助学生熟练掌握配方法的解题步骤，解题时需注意配方时等号两边要同时加相同的数，移项时注意符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
