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【拓展思考】
课本知识再现:
Ⅰ. 归纳(八年级上册课本):点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$；
Ⅱ. 归纳(九年级上册课本):两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$.
小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后,从点的对称角度思考函数图象的对称,发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点.
(1)根据上面知识,求与已知直线$y=2x+3$关于$y$轴对称的直线的解析式.
解:$\because (x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$,
即直线$y=2x+3$上的点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$,
$\therefore y=2(-x)+3=-2x+3$.
$\therefore$与已知直线$y=2x+3$关于$y$轴对称的直线的解析式为$y=-2x+3$.
理解上面的解题过程,并完成填空:
(1)与已知直线$y=2x+3$关于$x$轴对称的直线的解析式为
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与抛物线$y=-2x^2+8x-7$关于原点对称,求$a,b,c$的值.
(3)判断以下每对函数的图象:①$y=2x+1$与$y=-2x-1$,②$y=x^2+1$与$y=-x^2$,③$y=x^2+1$与$y=-x^2-1$,④$y=(x-1)^2$与$y=(x+1)^2$,其中一定关于原点对称的是
课本知识再现:
Ⅰ. 归纳(八年级上册课本):点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$；
Ⅱ. 归纳(九年级上册课本):两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$.
小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后,从点的对称角度思考函数图象的对称,发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点.
(1)根据上面知识,求与已知直线$y=2x+3$关于$y$轴对称的直线的解析式.
解:$\because (x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$,
即直线$y=2x+3$上的点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$,
$\therefore y=2(-x)+3=-2x+3$.
$\therefore$与已知直线$y=2x+3$关于$y$轴对称的直线的解析式为$y=-2x+3$.
理解上面的解题过程,并完成填空:
(1)与已知直线$y=2x+3$关于$x$轴对称的直线的解析式为
$y=-2x-3$
.(2)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与抛物线$y=-2x^2+8x-7$关于原点对称,求$a,b,c$的值.
(3)判断以下每对函数的图象:①$y=2x+1$与$y=-2x-1$,②$y=x^2+1$与$y=-x^2$,③$y=x^2+1$与$y=-x^2-1$,④$y=(x-1)^2$与$y=(x+1)^2$,其中一定关于原点对称的是
③
(填序号).答案
3. (1) $y=-2x-3$ (2) $a=2,b=8,c=7$ (3) ③
解析
【分析】
解决这类函数图象对称的问题，核心思路是利用点的对称坐标规律：先设原函数图象上任意一点的坐标为$(x,y)$，找到该点对应对称变换后的点的坐标，再将对称点的坐标代入原函数解析式，整理后即可得到对称后图象的解析式。
(1) 求关于$x$轴对称的直线解析式，利用关于$x$轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律代入计算即可。
(2) 求关于原点对称的抛物线解析式，利用关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数的规律代入原抛物线解析式，整理后对比系数即可求出$a、b、c$的值。
(3) 逐一求出每对函数中其中一个函数关于原点对称的解析式，和另一个函数对比是否一致，即可判断是否关于原点对称。
【解析】
(1) $\because$点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$，
$\therefore$将直线$y=2x+3$中的$y$替换为$-y$，$x$保持不变，可得：
$-y=2x+3$，
整理得$y=-2x-3$。
(2) $\because$点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，
$\therefore$将抛物线$y=-2x^2+8x-7$中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，可得：
$-y=-2(-x)^2+8·(-x)-7$，
化简得：$-y=-2x^2-8x-7$，
两边同时乘$-1$得：$y=2x^2+8x+7$，
$\because$该二次函数为$y=ax^2+bx+c$，对应系数相等，
$\therefore a=2$，$b=8$，$c=7$。
(3) 逐一验证：
① 求$y=2x+1$关于原点对称的解析式：将$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，得$-y=2(-x)+1$，整理得$y=2x-1$，与$y=-2x-1$不相同，故①不关于原点对称；
② 求$y=x^2+1$关于原点对称的解析式：将$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，得$-y=(-x)^2+1$，整理得$y=-x^2-1$，与$y=-x^2$不相同，故②不关于原点对称；
③ 由②的计算可知，$y=x^2+1$关于原点对称的解析式为$y=-x^2-1$，与第二个函数解析式一致，故③关于原点对称；
④ 求$y=(x-1)^2$关于原点对称的解析式：将$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，得$-y=(-x-1)^2$，整理得$y=-(x+1)^2$，与$y=(x+1)^2$不相同，故④不关于原点对称。
综上，选③。
【答案】
(1) $y=-2x-3$；(2) $a=2,b=8,c=7$；(3) ③
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征；函数图象对称解析式求解
【点评】
本题将点的坐标对称规律延伸到函数图象的对称问题，考察知识迁移应用能力，掌握“找点对称坐标代入原解析式”的通用方法，即可轻松解决同类问题。
【难度系数】
0.7
解决这类函数图象对称的问题，核心思路是利用点的对称坐标规律：先设原函数图象上任意一点的坐标为$(x,y)$，找到该点对应对称变换后的点的坐标，再将对称点的坐标代入原函数解析式，整理后即可得到对称后图象的解析式。
(1) 求关于$x$轴对称的直线解析式，利用关于$x$轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律代入计算即可。
(2) 求关于原点对称的抛物线解析式，利用关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数的规律代入原抛物线解析式，整理后对比系数即可求出$a、b、c$的值。
(3) 逐一求出每对函数中其中一个函数关于原点对称的解析式，和另一个函数对比是否一致，即可判断是否关于原点对称。
【解析】
(1) $\because$点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$，
$\therefore$将直线$y=2x+3$中的$y$替换为$-y$，$x$保持不变，可得：
$-y=2x+3$，
整理得$y=-2x-3$。
(2) $\because$点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，
$\therefore$将抛物线$y=-2x^2+8x-7$中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，可得：
$-y=-2(-x)^2+8·(-x)-7$，
化简得：$-y=-2x^2-8x-7$，
两边同时乘$-1$得：$y=2x^2+8x+7$，
$\because$该二次函数为$y=ax^2+bx+c$，对应系数相等，
$\therefore a=2$，$b=8$，$c=7$。
(3) 逐一验证：
① 求$y=2x+1$关于原点对称的解析式：将$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，得$-y=2(-x)+1$，整理得$y=2x-1$，与$y=-2x-1$不相同，故①不关于原点对称；
② 求$y=x^2+1$关于原点对称的解析式：将$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，得$-y=(-x)^2+1$，整理得$y=-x^2-1$，与$y=-x^2$不相同，故②不关于原点对称；
③ 由②的计算可知，$y=x^2+1$关于原点对称的解析式为$y=-x^2-1$，与第二个函数解析式一致，故③关于原点对称；
④ 求$y=(x-1)^2$关于原点对称的解析式：将$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，得$-y=(-x-1)^2$，整理得$y=-(x+1)^2$，与$y=(x+1)^2$不相同，故④不关于原点对称。
综上，选③。
【答案】
(1) $y=-2x-3$；(2) $a=2,b=8,c=7$；(3) ③
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征；函数图象对称解析式求解
【点评】
本题将点的坐标对称规律延伸到函数图象的对称问题，考察知识迁移应用能力，掌握“找点对称坐标代入原解析式”的通用方法，即可轻松解决同类问题。
【难度系数】
0.7
