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三、解答题
1. 如图4，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
(1)作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A₁B₁C₁；
(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A₂B₂C₂.
1. 如图4，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
(1)作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A₁B₁C₁；
(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A₂B₂C₂.
答案
解：
(1) 根据点绕原点O顺时针旋转90°的坐标变化规律：平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(y,-x)$，
分别计算三个顶点的对应点坐标：
$A(0,3)$旋转后得$A_1(3,0)$，
$B(3,4)$旋转后得$B_1(4,-3)$，
$C(2,2)$旋转后得$C_1(2,-2)$，
在网格坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，依次连接各点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标性质：平面直角坐标系中，点$(x,y)$关于原点$O$成中心对称的对应点坐标为$(-x,-y)$，
分别计算三个顶点的对应点坐标：
$A(0,3)$对称后得$A_2(0,-3)$，
$B(3,4)$对称后得$B_2(-3,-4)$，
$C(2,2)$对称后得$C_2(-2,-2)$，
在网格坐标系中描出$A_2,B_2,C_2$三点，依次连接各点，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(1) 根据点绕原点O顺时针旋转90°的坐标变化规律：平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(y,-x)$，
分别计算三个顶点的对应点坐标：
$A(0,3)$旋转后得$A_1(3,0)$，
$B(3,4)$旋转后得$B_1(4,-3)$，
$C(2,2)$旋转后得$C_1(2,-2)$，
在网格坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，依次连接各点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标性质：平面直角坐标系中，点$(x,y)$关于原点$O$成中心对称的对应点坐标为$(-x,-y)$，
分别计算三个顶点的对应点坐标：
$A(0,3)$对称后得$A_2(0,-3)$，
$B(3,4)$对称后得$B_2(-3,-4)$，
$C(2,2)$对称后得$C_2(-2,-2)$，
在网格坐标系中描出$A_2,B_2,C_2$三点，依次连接各点，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系下的旋转变换与中心对称变换作图，解题思路如下：① 三角形的形状由三个顶点决定，因此只需计算三个顶点变换后的对应点坐标，即可确定变换后三角形的位置；② 解决第一问先回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律，代入A、B、C三点坐标算出对应点A₁、B₁、C₁的坐标；③ 解决第二问先回忆关于原点中心对称的点的坐标性质，代入三点坐标算出对应点A₂、B₂、C₂的坐标；④ 最后在网格中描出所有对应点，顺次连接即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 点绕原点O顺时针旋转90°的坐标变化规律为：平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(y,-x)$。
分别计算△ABC三个顶点旋转后的对应点坐标：
$A(0,3)$旋转后得到$A_1(3,0)$，
$B(3,4)$旋转后得到$B_1(4,-3)$，
$C(2,2)$旋转后得到$C_1(2,-2)$。
在网格坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，依次连接各点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点O成中心对称的点的坐标性质为：平面直角坐标系中，点$(x,y)$关于原点成中心对称的对应点坐标为$(-x,-y)$。
分别计算△ABC三个顶点对称后的对应点坐标：
$A(0,3)$对称后得到$A_2(0,-3)$，
$B(3,4)$对称后得到$B_2(-3,-4)$，
$C(2,2)$对称后得到$C_2(-2,-2)$。
在网格坐标系中描出$A_2,B_2,C_2$三点，依次连接各点，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) 作出$△ A_1B_1C_1$，对应点坐标为$A_1(3,0)$，$B_1(4,-3)$，$C_1(2,-2)$；
(2) 作出$△ A_2B_2C_2$，对应点坐标为$A_2(0,-3)$，$B_2(-3,-4)$，$C_2(-2,-2)$。
【知识点】
1. 旋转的坐标变换规律
2. 关于原点对称的点的坐标
3. 网格作图
【点评】
本题是图形变换的基础题型，核心考查两种常见坐标变换的规律，熟练掌握对应坐标变换公式即可快速求解，能够有效锻炼学生的作图能力和坐标变换思维。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系下的旋转变换与中心对称变换作图，解题思路如下：① 三角形的形状由三个顶点决定，因此只需计算三个顶点变换后的对应点坐标，即可确定变换后三角形的位置；② 解决第一问先回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律，代入A、B、C三点坐标算出对应点A₁、B₁、C₁的坐标；③ 解决第二问先回忆关于原点中心对称的点的坐标性质，代入三点坐标算出对应点A₂、B₂、C₂的坐标；④ 最后在网格中描出所有对应点，顺次连接即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 点绕原点O顺时针旋转90°的坐标变化规律为：平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(y,-x)$。
分别计算△ABC三个顶点旋转后的对应点坐标：
$A(0,3)$旋转后得到$A_1(3,0)$，
$B(3,4)$旋转后得到$B_1(4,-3)$，
$C(2,2)$旋转后得到$C_1(2,-2)$。
在网格坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，依次连接各点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点O成中心对称的点的坐标性质为：平面直角坐标系中，点$(x,y)$关于原点成中心对称的对应点坐标为$(-x,-y)$。
分别计算△ABC三个顶点对称后的对应点坐标：
$A(0,3)$对称后得到$A_2(0,-3)$，
$B(3,4)$对称后得到$B_2(-3,-4)$，
$C(2,2)$对称后得到$C_2(-2,-2)$。
在网格坐标系中描出$A_2,B_2,C_2$三点，依次连接各点，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) 作出$△ A_1B_1C_1$，对应点坐标为$A_1(3,0)$，$B_1(4,-3)$，$C_1(2,-2)$；
(2) 作出$△ A_2B_2C_2$，对应点坐标为$A_2(0,-3)$，$B_2(-3,-4)$，$C_2(-2,-2)$。
【知识点】
1. 旋转的坐标变换规律
2. 关于原点对称的点的坐标
3. 网格作图
【点评】
本题是图形变换的基础题型，核心考查两种常见坐标变换的规律，熟练掌握对应坐标变换公式即可快速求解，能够有效锻炼学生的作图能力和坐标变换思维。
【难度系数】
0.8
2. 如图5,在平面直角坐标系中,已知$A(0,4),B(-4,1),C(2,2)$.
(1)若点D与点B关于原点对称,则点D的坐标为
(2)$△ ABC$是否是直角三角形?
(3)在x轴上画出点P,使$PB+PC$的值最小.
(1)若点D与点B关于原点对称,则点D的坐标为
$(4,-1)$
.(2)$△ ABC$是否是直角三角形?
否
(填“是”或“否”).(3)在x轴上画出点P,使$PB+PC$的值最小.
答案
2. (1) $(4,-1)$ (2) 否 (3) 略
解析
【分析】
(1) 第一问考查关于原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，将点B的横纵坐标分别取相反数即可得到点D坐标。
(2) 第二问判断三角形是否为直角三角形，可采用勾股定理的逆定理：先计算三角形三边长度的平方，再验证是否存在两边平方和等于第三边的平方，若存在则是直角三角形，否则不是。
(3) 第三问是最短路径问题，依据“两点之间线段最短”，作点B关于x轴的对称点，连接对称点与点C，与x轴的交点即为所求点P，此时PB+PC转化为对称点到C的线段长度，值最小。
【解析】
(1) 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，已知点B坐标为$(-4,1)$，因此点D的横坐标为$-(-4)=4$，纵坐标为$-1$，即$D(4,-1)$。
(2) 根据勾股定理，分别计算$△ ABC$三边的平方：
$AB^2 = (-4-0)^2 + (1-4)^2 = 16 + 9 = 25$，
$AC^2 = (2-0)^2 + (2-4)^2 = 4 + 4 = 8$，
$BC^2 = [2-(-4)]^2 + (2-1)^2 = 36 + 1 = 37$。
由于$25+8=33≠37$，不满足勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$不是直角三角形。
(3) 作点B关于x轴的对称点$B_1(-4,-1)$，连接$B_1C$，线段$B_1C$与x轴的交点即为所求的点P，作图略。
【答案】
(1) $(4,-1)$；(2) 否；(3) 略
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，勾股定理的逆定理，最短路径问题
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系基础性质、几何判定和作图能力，各小问难度梯度合理，均为基础考点的常规应用，熟练掌握对应知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问考查关于原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，将点B的横纵坐标分别取相反数即可得到点D坐标。
(2) 第二问判断三角形是否为直角三角形，可采用勾股定理的逆定理：先计算三角形三边长度的平方，再验证是否存在两边平方和等于第三边的平方，若存在则是直角三角形，否则不是。
(3) 第三问是最短路径问题，依据“两点之间线段最短”，作点B关于x轴的对称点，连接对称点与点C，与x轴的交点即为所求点P，此时PB+PC转化为对称点到C的线段长度，值最小。
【解析】
(1) 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，已知点B坐标为$(-4,1)$，因此点D的横坐标为$-(-4)=4$，纵坐标为$-1$，即$D(4,-1)$。
(2) 根据勾股定理，分别计算$△ ABC$三边的平方：
$AB^2 = (-4-0)^2 + (1-4)^2 = 16 + 9 = 25$，
$AC^2 = (2-0)^2 + (2-4)^2 = 4 + 4 = 8$，
$BC^2 = [2-(-4)]^2 + (2-1)^2 = 36 + 1 = 37$。
由于$25+8=33≠37$，不满足勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$不是直角三角形。
(3) 作点B关于x轴的对称点$B_1(-4,-1)$，连接$B_1C$，线段$B_1C$与x轴的交点即为所求的点P，作图略。
【答案】
(1) $(4,-1)$；(2) 否；(3) 略
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，勾股定理的逆定理，最短路径问题
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系基础性质、几何判定和作图能力，各小问难度梯度合理，均为基础考点的常规应用，熟练掌握对应知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
