登录
11.计算:$(-8)^{20}×0.125^{21}=$
8
.答案
11. 8
12.已知$m - 2n = 1$，则$2n(m + 1) - m(1 + 2n) + 3$的值为
2
。答案
12. 2
解析
【分析】
本题已知$m-2n=1$，若单独求$m$、$n$的值再代入计算会比较繁琐，因此解题思路为：先利用整式的运算法则将待求代数式去括号、合并同类项进行化简，再把化简后的式子变形为含有$m-2n$的形式，最后整体代入已知条件求值即可。
【解析】
先对代数式$2n(m + 1) - m(1 + 2n) + 3$化简：
第一步，去括号：
$\begin{aligned}原式&=2mn + 2n - m - 2mn + 3\\\end{aligned}$
第二步，合并同类项：
$2mn$与$-2mn$相互抵消，可得：
$原式=2n - m + 3$
第三步，变形凑出已知条件：
将$2n - m$变形为$-(m - 2n)$，已知$m - 2n = 1$，整体代入得：
$原式=-(m - 2n) + 3 = -1 + 3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
整式的化简求值；整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查整式的加减运算和整体代入的数学思想，解题时无需单独求解未知字母的值，先化简代数式再整体代入已知条件即可快速得到结果，熟练掌握整式运算规则和整体代入思想是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知$m-2n=1$，若单独求$m$、$n$的值再代入计算会比较繁琐，因此解题思路为：先利用整式的运算法则将待求代数式去括号、合并同类项进行化简，再把化简后的式子变形为含有$m-2n$的形式，最后整体代入已知条件求值即可。
【解析】
先对代数式$2n(m + 1) - m(1 + 2n) + 3$化简：
第一步，去括号：
$\begin{aligned}原式&=2mn + 2n - m - 2mn + 3\\\end{aligned}$
第二步，合并同类项：
$2mn$与$-2mn$相互抵消，可得：
$原式=2n - m + 3$
第三步，变形凑出已知条件：
将$2n - m$变形为$-(m - 2n)$，已知$m - 2n = 1$，整体代入得：
$原式=-(m - 2n) + 3 = -1 + 3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
整式的化简求值；整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查整式的加减运算和整体代入的数学思想，解题时无需单独求解未知字母的值，先化简代数式再整体代入已知条件即可快速得到结果，熟练掌握整式运算规则和整体代入思想是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13. $x+\dfrac{1}{x}=3$, 则 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=$
7
.答案
13. 7
解析
【分析】
本题已知x与$\frac{1}{x}$的和，要求两者平方的和，可联系完全平方公式求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，观察发现将已知等式两边同时平方，展开后就能出现所求的$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，其中交叉项$2· x· \frac{1}{x}$计算结果为常数2，代入后移项即可算出结果。
【解析】
已知 $x+\dfrac{1}{x}=3$，将等式两边同时平方，得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 + 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=9$
化简中间项得：
$x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}=9$
移项计算得：
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
【点评】
本题是代数式求值类的基础常考题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对已知等式平方构造出所求代数式的形式，计算时注意交叉项的化简不要出错。
【难度系数】
0.8
本题已知x与$\frac{1}{x}$的和，要求两者平方的和，可联系完全平方公式求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，观察发现将已知等式两边同时平方，展开后就能出现所求的$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，其中交叉项$2· x· \frac{1}{x}$计算结果为常数2，代入后移项即可算出结果。
【解析】
已知 $x+\dfrac{1}{x}=3$，将等式两边同时平方，得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 + 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=9$
化简中间项得：
$x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}=9$
移项计算得：
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
【点评】
本题是代数式求值类的基础常考题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对已知等式平方构造出所求代数式的形式，计算时注意交叉项的化简不要出错。
【难度系数】
0.8
14. 若 $ x^{3}y^{n+1} · x^{m+n} · y^{2n+2} = x^{9}y^{9} $，则 $ 4m - 3n = $
10
.答案
14. 10
解析
【分析】
解题时首先利用同底数幂的乘法法则化简等式左侧的式子，再根据“若两个单项式相等，则相同字母的指数对应相等”的规律，列出关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的数值后代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先根据同底数幂的乘法法则：$a^p · a^q = a^{p+q}$，对等式左侧进行化简：
左边$x$的指数和为：$3 + m + n$，
左边$y$的指数和为：$(n+1) + (2n+2) = 3n + 3$，
因此等式化简为：$x^{m+n+3}y^{3n+3} = x^9 y^9$。
根据相同底数的幂相等时指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}m + n + 3 = 9 \\3n + 3 = 9\end{cases}$
解第二个方程：$3n = 9 - 3 = 6$，得$n = 2$。
将$n=2$代入第一个方程：$m + 2 + 3 = 9$，解得$m = 4$。
将$m=4$、$n=2$代入$4m - 3n$得：
$4×4 - 3×2 = 16 - 6 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
同底数幂的乘法；二元一次方程组的解法；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查同底数幂的运算规则，以及利用指数对应相等建立方程求解参数的思想，难度不大，需要熟练掌握整式运算法则和方程组的求解方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用同底数幂的乘法法则化简等式左侧的式子，再根据“若两个单项式相等，则相同字母的指数对应相等”的规律，列出关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的数值后代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先根据同底数幂的乘法法则：$a^p · a^q = a^{p+q}$，对等式左侧进行化简：
左边$x$的指数和为：$3 + m + n$，
左边$y$的指数和为：$(n+1) + (2n+2) = 3n + 3$，
因此等式化简为：$x^{m+n+3}y^{3n+3} = x^9 y^9$。
根据相同底数的幂相等时指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}m + n + 3 = 9 \\3n + 3 = 9\end{cases}$
解第二个方程：$3n = 9 - 3 = 6$，得$n = 2$。
将$n=2$代入第一个方程：$m + 2 + 3 = 9$，解得$m = 4$。
将$m=4$、$n=2$代入$4m - 3n$得：
$4×4 - 3×2 = 16 - 6 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
同底数幂的乘法；二元一次方程组的解法；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查同底数幂的运算规则，以及利用指数对应相等建立方程求解参数的思想，难度不大，需要熟练掌握整式运算法则和方程组的求解方法。
【难度系数】
0.7
15. 多项式 $x^2 - 8x + m = (x - 9)(x - n)$，则 $m + n = \_\_\_\_\_\_$
答案
15. -10
解析
【分析】
解题时先利用多项式乘多项式的法则把等式右侧的式子展开，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等的性质，分别列出关于n、m的关系式，求出m和n的值后即可计算m+n的结果。
【解析】
首先展开等式右侧的式子：
$(x-9)(x-n) = x^2 -nx -9x +9n = x^2 -(9+n)x +9n$
因为$x^2 -8x +m = (x-9)(x-n)$，两个多项式相等则对应项系数相等：
1. 对应一次项系数：$-(9+n) = -8$
解得：$9+n=8$，即$n=-1$
2. 对应常数项：$m=9n$
把$n=-1$代入得：$m=9×(-1) = -9$
因此$m+n = -9 + (-1) = -10$
【答案】
-10
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的性质
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式乘法计算和对应系数相等的应用，解题时要注意符号运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时先利用多项式乘多项式的法则把等式右侧的式子展开，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等的性质，分别列出关于n、m的关系式，求出m和n的值后即可计算m+n的结果。
【解析】
首先展开等式右侧的式子：
$(x-9)(x-n) = x^2 -nx -9x +9n = x^2 -(9+n)x +9n$
因为$x^2 -8x +m = (x-9)(x-n)$，两个多项式相等则对应项系数相等：
1. 对应一次项系数：$-(9+n) = -8$
解得：$9+n=8$，即$n=-1$
2. 对应常数项：$m=9n$
把$n=-1$代入得：$m=9×(-1) = -9$
因此$m+n = -9 + (-1) = -10$
【答案】
-10
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的性质
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式乘法计算和对应系数相等的应用，解题时要注意符号运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)(1)计算:$2(x^3)^2÷ x - x^2· x^3$；
(2)分解因式:$a^3 - 4a$.
16.(6分)(1)计算:$2(x^3)^2÷ x - x^2· x^3$；
(2)分解因式:$a^3 - 4a$.
答案
16. 解:(1)原式=$2x^6 ÷ x - x^5 = 2x^5 - x^5 = x^5$ ;
(2)原式=$a(a^2 -4)=a(a+2)(a-2)$.
(2)原式=$a(a^2 -4)=a(a+2)(a-2)$.
解析
【分析】
（1）对于整式混合运算题，按照运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减：首先利用幂的乘方法则计算$(x^3)^2$，再分别计算除法和乘法，最后合并同类项即可得到结果。
（2）对于因式分解题，遵循“先提公因式，再用公式”的原则：首先观察多项式各项有公因式$a$，先提取公因式，再对剩余的二次多项式判断符合平方差公式特征，用平方差公式继续分解，直到不能再分解为止。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，
再计算乘除运算：$2x^6÷ x=2x^{6-1}=2x^5$，$x^2· x^3=x^{2+3}=x^5$，
最后合并同类项：$2x^5 - x^5 = x^5$。
(2) 先提取公因式$a$：$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$，
再利用平方差公式分解$a^2-4$：$a^2 - 4 = a^2 - 2^2=(a+2)(a-2)$，
因此最终分解结果为$a(a+2)(a-2)$。
【答案】
(1) $x^5$；(2) $a(a+2)(a-2)$
【知识点】
1. 幂的运算法则 2. 整式混合运算 3. 因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题型，考察核心运算能力，只要熟练掌握幂的运算规则、整式运算顺序以及因式分解的基本步骤，就能准确作答，是考试中的常见基础得分题。
【难度系数】
0.85
（1）对于整式混合运算题，按照运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减：首先利用幂的乘方法则计算$(x^3)^2$，再分别计算除法和乘法，最后合并同类项即可得到结果。
（2）对于因式分解题，遵循“先提公因式，再用公式”的原则：首先观察多项式各项有公因式$a$，先提取公因式，再对剩余的二次多项式判断符合平方差公式特征，用平方差公式继续分解，直到不能再分解为止。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，
再计算乘除运算：$2x^6÷ x=2x^{6-1}=2x^5$，$x^2· x^3=x^{2+3}=x^5$，
最后合并同类项：$2x^5 - x^5 = x^5$。
(2) 先提取公因式$a$：$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$，
再利用平方差公式分解$a^2-4$：$a^2 - 4 = a^2 - 2^2=(a+2)(a-2)$，
因此最终分解结果为$a(a+2)(a-2)$。
【答案】
(1) $x^5$；(2) $a(a+2)(a-2)$
【知识点】
1. 幂的运算法则 2. 整式混合运算 3. 因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题型，考察核心运算能力，只要熟练掌握幂的运算规则、整式运算顺序以及因式分解的基本步骤，就能准确作答，是考试中的常见基础得分题。
【难度系数】
0.85
17.(6分)计算：
(1)$4x · (-2x^2)$；
(2)$(3 × 10^8) · (4 × 10^2)$。
(1)$4x · (-2x^2)$；
(2)$(3 × 10^8) · (4 × 10^2)$。
答案
17. 解:(1)原式=$-8x^3$ ;
(2)原式=$12×10^{10} =1.2×10^{11}$ .
(2)原式=$12×10^{10} =1.2×10^{11}$ .
解析
【分析】
本题考查整式乘法与科学记数法的运算，解题思路如下：
（1）对于单项式乘单项式的运算，遵循对应法则：先将系数相乘作为积的系数，再把相同字母的幂按照同底数幂乘法规则计算，最后将两部分结果相乘即可；
（2）对于科学记数法表示的数的乘法，先利用乘法交换律和结合律，将系数与10的幂分别分组计算，再将结果合并，最后调整为符合科学记数法标准形式（$1≤ a＜10$）的结果即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘单项式运算法则：
先计算系数的乘积：$4×(-2)=-8$，
再计算同底数幂的乘积：$x· x^2=x^{1+2}=x^3$，
将两部分相乘得：原式$=-8x^3$。
(2) 利用乘法交换律和结合律分组计算：
原式$=(3×4)×(10^8×10^2)$，
先算系数乘积：$3×4=12$，
再算同底数幂乘积：$10^8×10^2=10^{8+2}=10^{10}$，
得到结果$12×10^{10}$，调整为科学记数法标准形式：$12×10^{10}=1.2×10^1×10^{10}=1.2×10^{11}$。
【答案】
(1)$-8x^3$；(2)$1.2×10^{11}$
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂乘法
3. 科学记数法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查运算法则的熟练应用，解题时需注意单项式相乘的符号问题、同底数幂的指数计算规则，以及科学记数法最终结果的格式要求，避免因细节疏忽出错。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法与科学记数法的运算，解题思路如下：
（1）对于单项式乘单项式的运算，遵循对应法则：先将系数相乘作为积的系数，再把相同字母的幂按照同底数幂乘法规则计算，最后将两部分结果相乘即可；
（2）对于科学记数法表示的数的乘法，先利用乘法交换律和结合律，将系数与10的幂分别分组计算，再将结果合并，最后调整为符合科学记数法标准形式（$1≤ a＜10$）的结果即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘单项式运算法则：
先计算系数的乘积：$4×(-2)=-8$，
再计算同底数幂的乘积：$x· x^2=x^{1+2}=x^3$，
将两部分相乘得：原式$=-8x^3$。
(2) 利用乘法交换律和结合律分组计算：
原式$=(3×4)×(10^8×10^2)$，
先算系数乘积：$3×4=12$，
再算同底数幂乘积：$10^8×10^2=10^{8+2}=10^{10}$，
得到结果$12×10^{10}$，调整为科学记数法标准形式：$12×10^{10}=1.2×10^1×10^{10}=1.2×10^{11}$。
【答案】
(1)$-8x^3$；(2)$1.2×10^{11}$
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂乘法
3. 科学记数法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查运算法则的熟练应用，解题时需注意单项式相乘的符号问题、同底数幂的指数计算规则，以及科学记数法最终结果的格式要求，避免因细节疏忽出错。
【难度系数】
0.8
18. (6分)规定 $ a · b = 2^a × 2^b $.
(1)求 $ 2 · 3 $;
(2)若 $ 2 · (x+1)=16 $,求 $ x $ 的值.
(1)求 $ 2 · 3 $;
(2)若 $ 2 · (x+1)=16 $,求 $ x $ 的值.
答案
18. (1) 32
(2) x=1
(2) x=1
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题需先明确题目给出的运算规则$a·b = 2^a × 2^b$，再结合同底数幂的乘法法则求解。
(1)第一问直接代入新定义公式，将$a=2$、$b=3$代入规则，利用同底数幂相乘、底数不变指数相加的性质计算即可。
(2)第二问先按照新定义将左边的式子转化为幂的运算形式，再把右边的16转化为以2为底的幂，根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质列一元一次方程，解方程即可得到x的值。
【解析】
(1)根据题中定义的运算规则：
$2·3 = 2^2 × 2^3$
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$2^2 × 2^3 = 2^{2+3}=2^5=32$
(2)先根据新定义化简左边的式子：
$2·(x+1)=2^2 × 2^{x+1}=2^{2+x+1}=2^{x+3}$
右边的16可改写为$2^4$，因此等式可化为：
$2^{x+3}=2^4$
因为底数相同且不为0的幂相等时，指数相等，所以：
$x+3=4$
解得：$x=1$
【答案】
(1)32；(2)$x=1$
【知识点】
新定义运算，同底数幂乘法，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是准确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为已学的幂运算，同时要熟练掌握同底数幂的运算性质，以及将常数转化为指定底数的幂的技巧，整体运算量小，掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题需先明确题目给出的运算规则$a·b = 2^a × 2^b$，再结合同底数幂的乘法法则求解。
(1)第一问直接代入新定义公式，将$a=2$、$b=3$代入规则，利用同底数幂相乘、底数不变指数相加的性质计算即可。
(2)第二问先按照新定义将左边的式子转化为幂的运算形式，再把右边的16转化为以2为底的幂，根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质列一元一次方程，解方程即可得到x的值。
【解析】
(1)根据题中定义的运算规则：
$2·3 = 2^2 × 2^3$
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$2^2 × 2^3 = 2^{2+3}=2^5=32$
(2)先根据新定义化简左边的式子：
$2·(x+1)=2^2 × 2^{x+1}=2^{2+x+1}=2^{x+3}$
右边的16可改写为$2^4$，因此等式可化为：
$2^{x+3}=2^4$
因为底数相同且不为0的幂相等时，指数相等，所以：
$x+3=4$
解得：$x=1$
【答案】
(1)32；(2)$x=1$
【知识点】
新定义运算，同底数幂乘法，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是准确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为已学的幂运算，同时要熟练掌握同底数幂的运算性质，以及将常数转化为指定底数的幂的技巧，整体运算量小，掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
