登录
一、选择题(下列各题的备选答案中,有且仅有一个答案是正确的,每小题3分,共30分)
1. 下列计算中,正确的是 （
A.$(a^2)^3 = a^8$
B.$a^8 ÷ a^4 = a^2$
C.$a^3 + a^2 = a^5$
D.$a^2 · a^3 = a^5$
1. 下列计算中,正确的是 （
D
）A.$(a^2)^3 = a^8$
B.$a^8 ÷ a^4 = a^2$
C.$a^3 + a^2 = a^5$
D.$a^2 · a^3 = a^5$
答案
1. D
解析
【分析】
这道题考查整式运算中幂的相关运算法则以及同类项的合并规则，解题时需要逐一将每个选项代入对应的运算法则计算，判断运算结果是否正确，最终选出正确选项。具体思路为：分别回忆幂的乘方、同底数幂除法、同类项合并、同底数幂乘法的运算法则，依次验证四个选项的运算是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^8$，故A选项错误；
B. 根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得$a^8÷ a^4=a^{8-4}=a^4≠ a^2$，故B选项错误；
C. $a^3$和$a^2$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，故C选项错误；
D. 根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，可得$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘除运算；同类项合并
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查整式运算的基础法则，只要熟练掌握各幂运算的规则以及同类项的判定标准，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
这道题考查整式运算中幂的相关运算法则以及同类项的合并规则，解题时需要逐一将每个选项代入对应的运算法则计算，判断运算结果是否正确，最终选出正确选项。具体思路为：分别回忆幂的乘方、同底数幂除法、同类项合并、同底数幂乘法的运算法则，依次验证四个选项的运算是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^8$，故A选项错误；
B. 根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得$a^8÷ a^4=a^{8-4}=a^4≠ a^2$，故B选项错误；
C. $a^3$和$a^2$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，故C选项错误；
D. 根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，可得$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘除运算；同类项合并
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查整式运算的基础法则，只要熟练掌握各幂运算的规则以及同类项的判定标准，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 计算$(-a)^2 · a^4$的结果是 （
A.$a^8$
B.$a^6$
C.$-a^8$
D.$-a^6$
B
）A.$a^8$
B.$a^6$
C.$-a^8$
D.$-a^6$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先根据乘方的符号规律化简$(-a)^2$，再运用同底数幂的乘法法则计算即可。首先明确：负数的偶次幂是正数，因此$(-a)^2$可转化为$a^2$；再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的规则计算$a^2$与$a^4$的乘积，最后匹配选项得到答案。
【解析】
第一步：化简$(-a)^2$，因为指数2是偶数，负数的偶次幂为正，所以$(-a)^2 = a^2$；
第二步：计算同底数幂的乘法，根据同底数幂乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数），可得$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$。
因此原式的结果为$a^6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
乘方的符号法则；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，易错点是部分同学会忽略$(-a)^2$的偶次幂属性，错误保留负号得到错误结果，只要熟练掌握幂的相关运算法则即可正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时先根据乘方的符号规律化简$(-a)^2$，再运用同底数幂的乘法法则计算即可。首先明确：负数的偶次幂是正数，因此$(-a)^2$可转化为$a^2$；再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的规则计算$a^2$与$a^4$的乘积，最后匹配选项得到答案。
【解析】
第一步：化简$(-a)^2$，因为指数2是偶数，负数的偶次幂为正，所以$(-a)^2 = a^2$；
第二步：计算同底数幂的乘法，根据同底数幂乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数），可得$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$。
因此原式的结果为$a^6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
乘方的符号法则；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，易错点是部分同学会忽略$(-a)^2$的偶次幂属性，错误保留负号得到错误结果，只要熟练掌握幂的相关运算法则即可正确作答。
【难度系数】
0.8
3. 在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$(
)，把余下的部分拼成一个矩形()，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（
A.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
B.$(a+2b)(a-b)=a^2+ab-2b^2$
C.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
D.$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
)，把余下的部分拼成一个矩形()，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（D
）A.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
B.$(a+2b)(a-b)=a^2+ab-2b^2$
C.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
D.$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
答案
3. D
解析
【分析】
解题采用数形结合的思路，利用割补前后阴影面积不变的特征推导对应公式，步骤如下：
第一步：计算图1阴影部分面积，图1为边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，阴影面积等于大正方形面积减去小正方形面积；
第二步：确定图2拼接后矩形的长和宽，计算该矩形的面积；
第三步：令两个阴影面积相等，得到对应等式，对比选项即可得出答案。
【解析】
首先计算图1的阴影面积：
边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，挖去的边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1=a^2-b^2$。
再计算图2的阴影面积：
拼接后矩形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此矩形（阴影部分）面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
由于两个图形阴影部分面积相等，即$S_1=S_2$，可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 面积法验证公式
3. 数形结合思想
【点评】
本题是平方差公式几何推导的典型题型，核心考查割补前后面积不变的规律，同时结合了几何面积计算和代数公式的对应关系，掌握数形结合思想就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题采用数形结合的思路，利用割补前后阴影面积不变的特征推导对应公式，步骤如下：
第一步：计算图1阴影部分面积，图1为边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，阴影面积等于大正方形面积减去小正方形面积；
第二步：确定图2拼接后矩形的长和宽，计算该矩形的面积；
第三步：令两个阴影面积相等，得到对应等式，对比选项即可得出答案。
【解析】
首先计算图1的阴影面积：
边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，挖去的边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1=a^2-b^2$。
再计算图2的阴影面积：
拼接后矩形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此矩形（阴影部分）面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
由于两个图形阴影部分面积相等，即$S_1=S_2$，可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 面积法验证公式
3. 数形结合思想
【点评】
本题是平方差公式几何推导的典型题型，核心考查割补前后面积不变的规律，同时结合了几何面积计算和代数公式的对应关系，掌握数形结合思想就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 已知$2^a=3,2^b=6,2^c=18$，那么$a,b,c$之间满足的等量关系不成立的是（
A.$c=2b-1$
B.$c=a+b$
C.$b=a+1$
D.$c=ab$
D
）A.$c=2b-1$
B.$c=a+b$
C.$b=a+1$
D.$c=ab$
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：首先观察已知的三个幂$2^a=3$、$2^b=6$、$2^c=18$的数值关系：3、6、18满足$6=3×2$、$18=3×6$，再结合同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的性质，将数值关系转化为指数的等量关系，最后逐一验证四个选项是否成立即可。
【解析】
已知$2^a=3$，$2^b=6$，$2^c=18$，根据幂的运算性质逐一分析选项：
1. 验证选项C：
∵$2^b=6=3×2=2^a×2^1=2^{a+1}$，底数相同的幂相等则指数相等，
∴$b=a+1$，C选项成立，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵$2^c=18=3×6=2^a×2^b=2^{a+b}$，同理可得$c=a+b$，B选项成立，不符合题意。
3. 验证选项A：
∵$2^b=6$，
∴$(2^b)^2=2^{2b}=6^2=36$，则$2^{2b-1}=2^{2b}÷2^1=36÷2=18=2^c$，可得$c=2b-1$，A选项成立，不符合题意。
4. 验证选项D：
由上述结论得$c=a+b$，且$b=a+1$，若$c=ab$成立，则需满足$a+b=ab$，代入$b=a+1$得：$a+(a+1)=a(a+1)$，整理得$a^2 -a -1=0$。由$2^1=2$、$2^{1.5}≈2.828$、$2^2=4$可知$a≈1.58$，代入方程左边得$1.58^2 -1.58 -1≈-0.08≠0$，等式不成立，故$c≠ab$，D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算性质
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，解题核心是将幂的数值关系转化为指数的等量关系，熟练掌握幂的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：首先观察已知的三个幂$2^a=3$、$2^b=6$、$2^c=18$的数值关系：3、6、18满足$6=3×2$、$18=3×6$，再结合同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的性质，将数值关系转化为指数的等量关系，最后逐一验证四个选项是否成立即可。
【解析】
已知$2^a=3$，$2^b=6$，$2^c=18$，根据幂的运算性质逐一分析选项：
1. 验证选项C：
∵$2^b=6=3×2=2^a×2^1=2^{a+1}$，底数相同的幂相等则指数相等，
∴$b=a+1$，C选项成立，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵$2^c=18=3×6=2^a×2^b=2^{a+b}$，同理可得$c=a+b$，B选项成立，不符合题意。
3. 验证选项A：
∵$2^b=6$，
∴$(2^b)^2=2^{2b}=6^2=36$，则$2^{2b-1}=2^{2b}÷2^1=36÷2=18=2^c$，可得$c=2b-1$，A选项成立，不符合题意。
4. 验证选项D：
由上述结论得$c=a+b$，且$b=a+1$，若$c=ab$成立，则需满足$a+b=ab$，代入$b=a+1$得：$a+(a+1)=a(a+1)$，整理得$a^2 -a -1=0$。由$2^1=2$、$2^{1.5}≈2.828$、$2^2=4$可知$a≈1.58$，代入方程左边得$1.58^2 -1.58 -1≈-0.08≠0$，等式不成立，故$c≠ab$，D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算性质
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，解题核心是将幂的数值关系转化为指数的等量关系，熟练掌握幂的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如果单项式$-3x^{4m-n}y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^{m+n}$的和仍是单项式，那么这两个单项式的积为（
A.$-x^6y^4$
B.$x^6y^4$
C.$x^3y^2$
D.$-3x^3y^2$
A
）A.$-x^6y^4$
B.$x^6y^4$
C.$x^3y^2$
D.$-3x^3y^2$
答案
5. A
解析
【分析】
首先，两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项，只有同类项才能合并成一个单项式。接下来根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，可列出关于m、n的二元一次方程组，求解得到m、n的值后，就能确定两个单项式的具体形式，最后按照单项式乘单项式的运算法则计算乘积，匹配选项即可。
【解析】
解：
∵单项式$-3x^{4m-n}y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^{m+n}$的和仍是单项式
∴这两个单项式是同类项，可得方程组：
$\begin{cases}4m - n = 3 \\m + n = 2 \end{cases}$
将两个方程相加消去n，得：$5m=5$，解得$m=1$
把$m=1$代入$m + n = 2$，得$1 + n = 2$，解得$n=1$
将$m=1$，$n=1$代入两个单项式，得：
第一个单项式为$-3x^{4×1 -1}y^2=-3x^3y^2$，第二个单项式为$\frac{1}{3}x^3y^2$
计算两个单项式的积：
$(-3x^3y^2)×(\frac{1}{3}x^3y^2)=(-3×\frac{1}{3})·(x^3· x^3)·(y^2· y^2)=-x^6y^4$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义，二元一次方程组的解法，单项式乘法运算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是理解“两个单项式的和仍为单项式”等价于两个单项式为同类项，在此基础上结合方程组求解和单项式乘法规则即可得出结果，考察学生对基础概念的理解和简单运算能力。
【难度系数】
0.8
首先，两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项，只有同类项才能合并成一个单项式。接下来根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，可列出关于m、n的二元一次方程组，求解得到m、n的值后，就能确定两个单项式的具体形式，最后按照单项式乘单项式的运算法则计算乘积，匹配选项即可。
【解析】
解：
∵单项式$-3x^{4m-n}y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^{m+n}$的和仍是单项式
∴这两个单项式是同类项，可得方程组：
$\begin{cases}4m - n = 3 \\m + n = 2 \end{cases}$
将两个方程相加消去n，得：$5m=5$，解得$m=1$
把$m=1$代入$m + n = 2$，得$1 + n = 2$，解得$n=1$
将$m=1$，$n=1$代入两个单项式，得：
第一个单项式为$-3x^{4×1 -1}y^2=-3x^3y^2$，第二个单项式为$\frac{1}{3}x^3y^2$
计算两个单项式的积：
$(-3x^3y^2)×(\frac{1}{3}x^3y^2)=(-3×\frac{1}{3})·(x^3· x^3)·(y^2· y^2)=-x^6y^4$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义，二元一次方程组的解法，单项式乘法运算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是理解“两个单项式的和仍为单项式”等价于两个单项式为同类项，在此基础上结合方程组求解和单项式乘法规则即可得出结果，考察学生对基础概念的理解和简单运算能力。
【难度系数】
0.8
6. 已知$2a - b = 2$，那么代数式$4a^2 + b^2 - 4ab$的值是（
A.6
B.4
C.2
D.0
B
）A.6
B.4
C.2
D.0
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先观察待求代数式的结构特征，发现其符合完全平方公式的形式，因此优先考虑用因式分解将待求式转化为含有已知条件$2a-b$的式子，再代入已知数值计算即可，无需分别求出a、b的值，可简化计算过程。
【解析】
首先对代数式$4a^2 + b^2 - 4ab$因式分解：
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，可得：
$4a^2 + b^2 - 4ab=(2a)^2 - 2×2a× b + b^2=(2a - b)^2$
已知$2a - b = 2$，将其代入上式得：
$(2a - b)^2=2^2=4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，将待求式变形为与已知条件匹配的形式，直接代入求值即可，避免了单独求解a、b的复杂运算。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求代数式的结构特征，发现其符合完全平方公式的形式，因此优先考虑用因式分解将待求式转化为含有已知条件$2a-b$的式子，再代入已知数值计算即可，无需分别求出a、b的值，可简化计算过程。
【解析】
首先对代数式$4a^2 + b^2 - 4ab$因式分解：
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，可得：
$4a^2 + b^2 - 4ab=(2a)^2 - 2×2a× b + b^2=(2a - b)^2$
已知$2a - b = 2$，将其代入上式得：
$(2a - b)^2=2^2=4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，将待求式变形为与已知条件匹配的形式，直接代入求值即可，避免了单独求解a、b的复杂运算。
【难度系数】
0.8
7. 利用乘法公式判断,下列算式的结果与其他不相同的是 （
A.$(106^2 - 4^2) × (108^2 - 2^2)$
B.$(107^2 - 3^2) × (107^2 - 1^2)$
C.$(108^2 - 2^2) × (106^2 - 2^2)$
D.$(109^2 - 1^2) × (105^2 - 1^2)$
A
）A.$(106^2 - 4^2) × (108^2 - 2^2)$
B.$(107^2 - 3^2) × (107^2 - 1^2)$
C.$(108^2 - 2^2) × (106^2 - 2^2)$
D.$(109^2 - 1^2) × (105^2 - 1^2)$
答案
7. A
解析
【分析】
解题思路：本题可利用平方差公式对每个选项中的算式进行拆分简化，再对比各选项的计算结果，找出与其他三项不同的选项。首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对每个选项中每个平方差形式的括号逐一拆分，再整理乘积的因数，对比即可得出结论。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，分别计算四个选项：
选项A：
$\begin{aligned} &(106^2 - 4^2) × (108^2 - 2^2)\\ =&(106+4)(106-4)×(108+2)(108-2)\\ =&110×102×110×106\\ =&110^2×102×106 \end{aligned}$
选项B：
$\begin{aligned} &(107^2 - 3^2) × (107^2 - 1^2)\\ =&(107+3)(107-3)×(107+1)(107-1)\\ =&110×104×108×106 \end{aligned}$
选项C：
$\begin{aligned} &(108^2 - 2^2) × (106^2 - 2^2)\\ =&(108+2)(108-2)×(106+2)(106-2)\\ =&110×106×108×104 \end{aligned}$
选项D：
$\begin{aligned} &(109^2 - 1^2) × (105^2 - 1^2)\\ =&(109+1)(109-1)×(105+1)(105-1)\\ =&110×108×106×104 \end{aligned}$
对比可知，选项B、C、D的计算结果均为$110×104×106×108$，只有选项A的结果与其他三项不同。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；有理数乘法运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活运用，掌握平方差公式的形式特点，能有效简化大数运算，避免直接计算高次幂的繁琐，是整式乘法公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题可利用平方差公式对每个选项中的算式进行拆分简化，再对比各选项的计算结果，找出与其他三项不同的选项。首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对每个选项中每个平方差形式的括号逐一拆分，再整理乘积的因数，对比即可得出结论。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，分别计算四个选项：
选项A：
$\begin{aligned} &(106^2 - 4^2) × (108^2 - 2^2)\\ =&(106+4)(106-4)×(108+2)(108-2)\\ =&110×102×110×106\\ =&110^2×102×106 \end{aligned}$
选项B：
$\begin{aligned} &(107^2 - 3^2) × (107^2 - 1^2)\\ =&(107+3)(107-3)×(107+1)(107-1)\\ =&110×104×108×106 \end{aligned}$
选项C：
$\begin{aligned} &(108^2 - 2^2) × (106^2 - 2^2)\\ =&(108+2)(108-2)×(106+2)(106-2)\\ =&110×106×108×104 \end{aligned}$
选项D：
$\begin{aligned} &(109^2 - 1^2) × (105^2 - 1^2)\\ =&(109+1)(109-1)×(105+1)(105-1)\\ =&110×108×106×104 \end{aligned}$
对比可知，选项B、C、D的计算结果均为$110×104×106×108$，只有选项A的结果与其他三项不同。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；有理数乘法运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活运用，掌握平方差公式的形式特点，能有效简化大数运算，避免直接计算高次幂的繁琐，是整式乘法公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
8.定义:若整数$m$满足$m=x^2-y^2(x,y$均为整数$)$,则称$m$为“平方差数”.下列数中不是平方差数的是
（
A.5
B.6
C.7
D.9
（
B
）A.5
B.6
C.7
D.9
答案
8. B
解析
【分析】
解决本题首先要结合学过的平方差公式，把“平方差数”的定义转化为熟悉的整式运算：将$x^2-y^2$因式分解为$(x+y)(x-y)$，由于$x、y$均为整数，可得$(x+y)$和$(x-y)$都是整数，且两者的和为$2x$（偶数），因此这两个因数同奇同偶。接下来只需逐个判断选项中的数能否拆成两个同奇偶的整数乘积，即可验证是否为平方差数。
【解析】
根据平方差公式可得：$m=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，其中$x、y$均为整数。
设$a=x+y$，$b=x-y$，则$m=ab$，且$a、b$均为整数。
因为$a+b=(x+y)+(x-y)=2x$，$2x$是偶数，所以$a$和$b$的和为偶数，即$a、b$同奇同偶。
我们逐个验证选项：
A.5：可拆为$5×1$，两个因数均为奇数，满足同奇偶。此时$x=(5+1)÷2=3$，$y=(5-1)÷2=2$，$3^2-2^2=5$，是平方差数，不符合题意；
B.6：整数因数对有$6×1$、$3×2$，两组因数都是一奇一偶，不满足同奇偶的要求，无法找到符合条件的整数$x、y$，因此6不是平方差数，符合题意；
C.7：可拆为$7×1$，两个因数均为奇数，此时$x=(7+1)÷2=4$，$y=(7-1)÷2=3$，$4^2-3^2=7$，是平方差数，不符合题意；
D.9：可拆为$9×1$，两个因数均为奇数，此时$x=(9+1)÷2=5$，$y=(9-1)÷2=4$，$5^2-4^2=9$，是平方差数，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.平方差公式
2.因式分解
3.奇偶性判断
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是将陌生的新定义转化为已学的平方差公式，结合整数的奇偶性性质进行判断，既考查了基础公式的应用，也锻炼了知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合学过的平方差公式，把“平方差数”的定义转化为熟悉的整式运算：将$x^2-y^2$因式分解为$(x+y)(x-y)$，由于$x、y$均为整数，可得$(x+y)$和$(x-y)$都是整数，且两者的和为$2x$（偶数），因此这两个因数同奇同偶。接下来只需逐个判断选项中的数能否拆成两个同奇偶的整数乘积，即可验证是否为平方差数。
【解析】
根据平方差公式可得：$m=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，其中$x、y$均为整数。
设$a=x+y$，$b=x-y$，则$m=ab$，且$a、b$均为整数。
因为$a+b=(x+y)+(x-y)=2x$，$2x$是偶数，所以$a$和$b$的和为偶数，即$a、b$同奇同偶。
我们逐个验证选项：
A.5：可拆为$5×1$，两个因数均为奇数，满足同奇偶。此时$x=(5+1)÷2=3$，$y=(5-1)÷2=2$，$3^2-2^2=5$，是平方差数，不符合题意；
B.6：整数因数对有$6×1$、$3×2$，两组因数都是一奇一偶，不满足同奇偶的要求，无法找到符合条件的整数$x、y$，因此6不是平方差数，符合题意；
C.7：可拆为$7×1$，两个因数均为奇数，此时$x=(7+1)÷2=4$，$y=(7-1)÷2=3$，$4^2-3^2=7$，是平方差数，不符合题意；
D.9：可拆为$9×1$，两个因数均为奇数，此时$x=(9+1)÷2=5$，$y=(9-1)÷2=4$，$5^2-4^2=9$，是平方差数，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.平方差公式
2.因式分解
3.奇偶性判断
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是将陌生的新定义转化为已学的平方差公式，结合整数的奇偶性性质进行判断，既考查了基础公式的应用，也锻炼了知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
9.若实数$a,b$满足$a^2+b^2=1$,则$ab+a+3b$的最小值为 （
A.$-3$
B.$-2$
C.$1$
D.$3$
A
）A.$-3$
B.$-2$
C.$1$
D.$3$
答案
9. A
解析
【分析】
解题时先对所求代数式进行凑项因式分解，简化式子结构，再结合已知条件$a^2+b^2=1$推导$a$、$b$的取值范围，根据因式的符号特征判断乘积的最小值，进而求出原式的最小值。首先将$ab+a+3b$变形为$(a+3)(b+1)-3$，由平方的非负性得$-1≤ a≤1$、$-1≤ b≤1$，可判断$a+3$恒为正数，$b+1$为非负数，二者乘积的最小值为0，代入即可得到原式的最小值。
【解析】
解：对所求代数式进行变形：
$\begin{aligned}ab+a+3b&=ab+a+3b+3-3\\&=a(b+1)+3(b+1)-3\\&=(a+3)(b+1)-3\end{aligned}$
$\because a^2+b^2=1$
$\therefore a^2≤1$，$b^2≤1$，即$-1≤ a≤1$，$-1≤ b≤1$
$\therefore a+3≥-1+3=2＞0$，$b+1≥-1+1=0$
正数与非负数的乘积最小为0，当乘积为0时，$b+1=0$，即$b=-1$，代入$a^2+b^2=1$得$a=0$。
此时原式$=0-3=-3$，即$ab+a+3b$的最小值为$-3$。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的应用、平方的非负性、代数式最值求解
【点评】
本题的核心是通过凑项对所求代数式因式分解，结合平方的非负性确定参数的取值范围，进而分析代数式的最值，对代数式的变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先对所求代数式进行凑项因式分解，简化式子结构，再结合已知条件$a^2+b^2=1$推导$a$、$b$的取值范围，根据因式的符号特征判断乘积的最小值，进而求出原式的最小值。首先将$ab+a+3b$变形为$(a+3)(b+1)-3$，由平方的非负性得$-1≤ a≤1$、$-1≤ b≤1$，可判断$a+3$恒为正数，$b+1$为非负数，二者乘积的最小值为0，代入即可得到原式的最小值。
【解析】
解：对所求代数式进行变形：
$\begin{aligned}ab+a+3b&=ab+a+3b+3-3\\&=a(b+1)+3(b+1)-3\\&=(a+3)(b+1)-3\end{aligned}$
$\because a^2+b^2=1$
$\therefore a^2≤1$，$b^2≤1$，即$-1≤ a≤1$，$-1≤ b≤1$
$\therefore a+3≥-1+3=2＞0$，$b+1≥-1+1=0$
正数与非负数的乘积最小为0，当乘积为0时，$b+1=0$，即$b=-1$，代入$a^2+b^2=1$得$a=0$。
此时原式$=0-3=-3$，即$ab+a+3b$的最小值为$-3$。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的应用、平方的非负性、代数式最值求解
【点评】
本题的核心是通过凑项对所求代数式因式分解，结合平方的非负性确定参数的取值范围，进而分析代数式的最值，对代数式的变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10.从前,一位庄园主把一块长为a米,宽为b米(a＞b＞100)的长方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:"我把这块地的长增加10米,宽减少10米,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?"如果这样,你觉得张老汉的租地面积 （
A.变小了
B.变大了
C.没有变化
D.无法确定
A
）A.变小了
B.变大了
C.没有变化
D.无法确定
答案
10. A
解析
【分析】
要判断张老汉的租地面积变化情况，需先分别表示出原土地面积和调整后的土地面积，再通过作差法比较两个面积的大小。首先回忆长方形面积公式写出原面积，再根据长、宽的变化写出新面积，将两个面积作差后化简，结合题目给出的a＞b的条件判断差的正负，即可得出面积的变化情况。
【解析】
首先计算原长方形土地的面积：
$S_{\mathrm{原}} = ab$（平方米）
调整后土地的长为$(a+10)$米，宽为$(b-10)$米，因此新面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (a+10)(b-10)$
根据多项式乘多项式的法则展开得：
$S_{\mathrm{新}} = ab - 10a + 10b - 100$
用新面积减去原面积作差比较：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} &= (ab - 10a + 10b - 100) - ab \\&= -10a + 10b - 100 \\&= -10(a - b) - 100\end{aligned}$
已知$a＞b$，因此$a - b＞0$，可得$-10(a - b)＜0$，进而$-10(a - b) - 100 ＜ 0$，即$S_{\mathrm{新}} ＜ S_{\mathrm{原}}$。
因此张老汉的租地面积变小了。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算，多项式乘多项式，作差法比较大小
【点评】
本题结合生活场景考查整式运算的实际应用，解题关键是正确用代数式表示出变化前后的面积，掌握作差法比较代数式大小的方法，题目贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
要判断张老汉的租地面积变化情况，需先分别表示出原土地面积和调整后的土地面积，再通过作差法比较两个面积的大小。首先回忆长方形面积公式写出原面积，再根据长、宽的变化写出新面积，将两个面积作差后化简，结合题目给出的a＞b的条件判断差的正负，即可得出面积的变化情况。
【解析】
首先计算原长方形土地的面积：
$S_{\mathrm{原}} = ab$（平方米）
调整后土地的长为$(a+10)$米，宽为$(b-10)$米，因此新面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (a+10)(b-10)$
根据多项式乘多项式的法则展开得：
$S_{\mathrm{新}} = ab - 10a + 10b - 100$
用新面积减去原面积作差比较：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} &= (ab - 10a + 10b - 100) - ab \\&= -10a + 10b - 100 \\&= -10(a - b) - 100\end{aligned}$
已知$a＞b$，因此$a - b＞0$，可得$-10(a - b)＜0$，进而$-10(a - b) - 100 ＜ 0$，即$S_{\mathrm{新}} ＜ S_{\mathrm{原}}$。
因此张老汉的租地面积变小了。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算，多项式乘多项式，作差法比较大小
【点评】
本题结合生活场景考查整式运算的实际应用，解题关键是正确用代数式表示出变化前后的面积，掌握作差法比较代数式大小的方法，题目贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
