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21.(8分)如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O.求证：△AEC≌△BED. 
答案
证明:$\because ∠ A=∠ B,∠ BOE=∠ AOD,$
$\therefore ∠ 2=∠ BEO.$
又$\because ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ 1=∠ BEO,$
$\therefore ∠ 1+∠ AED=∠ BEO+∠ AED,$
$\therefore ∠ AEC=∠ BED.$
在$△ AEC$和$△ BED$中,
$\{\begin{array}{l} ∠ AEC = ∠ BED,\ AE = BE,\ ∠ A = ∠ B,\end{array} $
$\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{ASA}).$
$\therefore ∠ 2=∠ BEO.$
又$\because ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ 1=∠ BEO,$
$\therefore ∠ 1+∠ AED=∠ BEO+∠ AED,$
$\therefore ∠ AEC=∠ BED.$
在$△ AEC$和$△ BED$中,
$\{\begin{array}{l} ∠ AEC = ∠ BED,\ AE = BE,\ ∠ A = ∠ B,\end{array} $
$\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{ASA}).$
解析
【分析】
要证明△AEC≌△BED，先梳理已知条件：题目已给出一组对应角相等∠A=∠B，一组对应边相等AE=BE，结合全等三角形的判定定理，只需要再推出一组对应夹角相等即可。首先利用AE与BD相交得到的对顶角相等，结合∠A=∠B可推导出∠2=∠BEO，再结合已知∠1=∠2做等量代换，得到∠1=∠BEO，最后给两个等角同时加上∠AED，即可得到△AEC和△BED的一组对应夹角∠AEC=∠BED，凑齐角边角（ASA）的判定条件即可完成证明。
【解析】
证明:$\because ∠ A=∠ B,∠ BOE=∠ AOD,$
$\therefore ∠ 2=∠ BEO.$
又$\because ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ 1=∠ BEO,$
$\therefore ∠ 1+∠ AED=∠ BEO+∠ AED,$
$\therefore ∠ AEC=∠ BED.$
在$△ AEC$和$△ BED$中,
$\{\begin{array}{l} ∠ AEC = ∠ BED,\\ AE = BE,\\ ∠ A = ∠ B,\end{array} $
$\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{ASA}).$
【答案】
$△ AEC≌△ BED$
【知识点】
1. 全等三角形ASA判定
2. 对顶角的性质
3. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题关键是通过已知角的关系推导得到全等所需的对应夹角相等，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，以及对顶角、角的和差等基础几何性质，解题时可先标注已知条件，再结合判定定理快速定位缺失的证明条件。
【难度系数】
0.75
要证明△AEC≌△BED，先梳理已知条件：题目已给出一组对应角相等∠A=∠B，一组对应边相等AE=BE，结合全等三角形的判定定理，只需要再推出一组对应夹角相等即可。首先利用AE与BD相交得到的对顶角相等，结合∠A=∠B可推导出∠2=∠BEO，再结合已知∠1=∠2做等量代换，得到∠1=∠BEO，最后给两个等角同时加上∠AED，即可得到△AEC和△BED的一组对应夹角∠AEC=∠BED，凑齐角边角（ASA）的判定条件即可完成证明。
【解析】
证明:$\because ∠ A=∠ B,∠ BOE=∠ AOD,$
$\therefore ∠ 2=∠ BEO.$
又$\because ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ 1=∠ BEO,$
$\therefore ∠ 1+∠ AED=∠ BEO+∠ AED,$
$\therefore ∠ AEC=∠ BED.$
在$△ AEC$和$△ BED$中,
$\{\begin{array}{l} ∠ AEC = ∠ BED,\\ AE = BE,\\ ∠ A = ∠ B,\end{array} $
$\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{ASA}).$
【答案】
$△ AEC≌△ BED$
【知识点】
1. 全等三角形ASA判定
2. 对顶角的性质
3. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题关键是通过已知角的关系推导得到全等所需的对应夹角相等，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，以及对顶角、角的和差等基础几何性质，解题时可先标注已知条件，再结合判定定理快速定位缺失的证明条件。
【难度系数】
0.75
22. (10分)如图，AB=7 cm，AC=5 cm，∠CAB=∠DBA，点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(单位:s).当点P运动结束时，点Q运动随之停止.问:x为何值时，△ACP与△BPQ全等?
答案
22. 解:①若$△ ACP≌△ BPQ$,则$AC=BP,AP=BQ,$
可得$5=7-2t,2t=xt,$解得$x=2,t=1;$
②若$△ ACP≌△ BQP$,则$AC=BQ,AP=BP,$
可得$5=xt,2t=7-2t,$解得$x=\frac{20}{7},t=\frac{7}{4}.$
综上所述,当x的值为2或$\frac{20}{7}$时,$△ ACP$与$△ BPQ$全等.
可得$5=7-2t,2t=xt,$解得$x=2,t=1;$
②若$△ ACP≌△ BQP$,则$AC=BQ,AP=BP,$
可得$5=xt,2t=7-2t,$解得$x=\frac{20}{7},t=\frac{7}{4}.$
综上所述,当x的值为2或$\frac{20}{7}$时,$△ ACP$与$△ BPQ$全等.
解析
【分析】
已知∠CAB=∠DBA，即△ACP和△BPQ已有一组对应角相等，根据全等三角形的SAS判定定理，需要夹这组等角的两组边分别对应相等。由于题目未明确两个三角形的对应顶点顺序，因此需分两种情况讨论对应边的匹配关系：①AC与BP是对应边，AP与BQ是对应边；②AC与BQ是对应边，AP与BP是对应边。先结合动点的速度和运动时间表示出各条边的长度，再根据对应边相等列方程求解，最后验证解是否符合运动实际即可。
【解析】
解：由题意可得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BP=AB-AP=(7-2t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=xt\ \mathrm{cm}$，且$∠ A=∠ PBQ$，分两种情况讨论：
① 当$△ ACP≌△ BPQ$时，对应边满足$AC=BP$，$AP=BQ$，
列方程组：$\begin{cases}5=7-2t\\2t=xt\end{cases}$
解第一个方程得：$2t=2$，$t=1$，
将$t=1$代入第二个方程得：$2×1=x×1$，解得$x=2$，符合题意；
② 当$△ ACP≌△ BQP$时，对应边满足$AC=BQ$，$AP=BP$，
列方程组：$\begin{cases}5=xt\\2t=7-2t\end{cases}$
解第二个方程得：$4t=7$，$t=\frac{7}{4}$，
将$t=\frac{7}{4}$代入第一个方程得：$x×\frac{7}{4}=5$，解得$x=\frac{20}{7}$，符合题意。
综上所述，$x$的值为2或$\frac{20}{7}$时，$△ ACP$与$△ BPQ$全等。
【答案】
当$x$的值为2或$\frac{20}{7}$时，$△ ACP$与$△ BPQ$全等。
【知识点】
全等三角形判定与性质，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形结合动点的典型题型，解题核心是注意未明确对应顶点的全等三角形需分类讨论对应边的关系，结合动点的线段长度表达式列方程求解，要避免因漏看分类情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
已知∠CAB=∠DBA，即△ACP和△BPQ已有一组对应角相等，根据全等三角形的SAS判定定理，需要夹这组等角的两组边分别对应相等。由于题目未明确两个三角形的对应顶点顺序，因此需分两种情况讨论对应边的匹配关系：①AC与BP是对应边，AP与BQ是对应边；②AC与BQ是对应边，AP与BP是对应边。先结合动点的速度和运动时间表示出各条边的长度，再根据对应边相等列方程求解，最后验证解是否符合运动实际即可。
【解析】
解：由题意可得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BP=AB-AP=(7-2t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=xt\ \mathrm{cm}$，且$∠ A=∠ PBQ$，分两种情况讨论：
① 当$△ ACP≌△ BPQ$时，对应边满足$AC=BP$，$AP=BQ$，
列方程组：$\begin{cases}5=7-2t\\2t=xt\end{cases}$
解第一个方程得：$2t=2$，$t=1$，
将$t=1$代入第二个方程得：$2×1=x×1$，解得$x=2$，符合题意；
② 当$△ ACP≌△ BQP$时，对应边满足$AC=BQ$，$AP=BP$，
列方程组：$\begin{cases}5=xt\\2t=7-2t\end{cases}$
解第二个方程得：$4t=7$，$t=\frac{7}{4}$，
将$t=\frac{7}{4}$代入第一个方程得：$x×\frac{7}{4}=5$，解得$x=\frac{20}{7}$，符合题意。
综上所述，$x$的值为2或$\frac{20}{7}$时，$△ ACP$与$△ BPQ$全等。
【答案】
当$x$的值为2或$\frac{20}{7}$时，$△ ACP$与$△ BPQ$全等。
【知识点】
全等三角形判定与性质，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形结合动点的典型题型，解题核心是注意未明确对应顶点的全等三角形需分类讨论对应边的关系，结合动点的线段长度表达式列方程求解，要避免因漏看分类情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
23. (11分)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=60°$.
(1)$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线相交于点$P$,求$∠ BPC$的度数;
(2)$∠ ABC$,$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1$,$P_2$,求$∠ BP_1C$,$∠ BP_2C$的度数;
(3)$∠ ABC$,$∠ ACB$的$n$等分线分别相交于点$P_1$,$P_2$,$···$,$P_{n-1}$,则$∠ BP_1C=$
(1)$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线相交于点$P$,求$∠ BPC$的度数;
(2)$∠ ABC$,$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1$,$P_2$,求$∠ BP_1C$,$∠ BP_2C$的度数;
(3)$∠ ABC$,$∠ ACB$的$n$等分线分别相交于点$P_1$,$P_2$,$···$,$P_{n-1}$,则$∠ BP_1C=$
$180°-\frac{120°}{n}$
(结果用含$n$的式子表示),$∠ BP_kC=$$180°-\frac{k}{n}×120°$
($1≤ k≤ n-1$,$k$为整数,结果用含$n$和$k$的式子表示)答案
23. (1) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°,$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的角平分线交于点P,
$\therefore ∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB,$
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB$
$=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=60°,$
$\therefore ∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=120°.$
(2) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°,$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1,P_2,$
$\therefore ∠ P_1BC=\frac{1}{3}∠ ABC,∠ P_1CB=\frac{1}{3}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_1BC+∠ P_1CB=\frac{1}{3}∠ ABC+\frac{1}{3}∠ ACB$
$=\frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=40°,$
$\therefore ∠ BP_1C=180°-(∠ P_1BC+∠ P_1CB)=140°.$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1,P_2,$
$\therefore ∠ P_2BC=\frac{2}{3}∠ ABC,∠ P_2CB=\frac{2}{3}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_2BC+∠ P_2CB=\frac{2}{3}∠ ABC+\frac{2}{3}∠ ACB$
$=\frac{2}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=80°,$
$\therefore ∠ BP_2C=180°-(∠ P_2BC+∠ P_2CB)=100°.$
(3) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°.$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的n等分线分别相交于点$P_1,P_2,...,P_{n-1},$
$\therefore ∠ P_1BC=\frac{1}{n}∠ ABC,∠ P_1CB=\frac{1}{n}∠ ACB,$
$\therefore ∠ BP_1C=180°-\frac{1}{n}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{120°}{n},$
$\therefore ∠ P_{n-1}BC=\frac{n-1}{n}∠ ABC,∠ P_{n-1}CB=\frac{n-1}{n}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_{n-1}BC+∠ P_{n-1}CB=\frac{n-1}{n}∠ ABC+\frac{n-1}{n}∠ ACB$
$=\frac{n-1}{n}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=\frac{n-1}{n}×120°,$
$\therefore ∠ P_kBC+∠ P_kCB=\frac{k}{n}(∠ ABC+∠ ACB),$
$\therefore ∠ BP_kC=180°-(∠ P_kBC+∠ P_kCB)=180°-\frac{k}{n}×120°.$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°,$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的角平分线交于点P,
$\therefore ∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB,$
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB$
$=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=60°,$
$\therefore ∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=120°.$
(2) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°,$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1,P_2,$
$\therefore ∠ P_1BC=\frac{1}{3}∠ ABC,∠ P_1CB=\frac{1}{3}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_1BC+∠ P_1CB=\frac{1}{3}∠ ABC+\frac{1}{3}∠ ACB$
$=\frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=40°,$
$\therefore ∠ BP_1C=180°-(∠ P_1BC+∠ P_1CB)=140°.$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1,P_2,$
$\therefore ∠ P_2BC=\frac{2}{3}∠ ABC,∠ P_2CB=\frac{2}{3}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_2BC+∠ P_2CB=\frac{2}{3}∠ ABC+\frac{2}{3}∠ ACB$
$=\frac{2}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=80°,$
$\therefore ∠ BP_2C=180°-(∠ P_2BC+∠ P_2CB)=100°.$
(3) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°.$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的n等分线分别相交于点$P_1,P_2,...,P_{n-1},$
$\therefore ∠ P_1BC=\frac{1}{n}∠ ABC,∠ P_1CB=\frac{1}{n}∠ ACB,$
$\therefore ∠ BP_1C=180°-\frac{1}{n}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{120°}{n},$
$\therefore ∠ P_{n-1}BC=\frac{n-1}{n}∠ ABC,∠ P_{n-1}CB=\frac{n-1}{n}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_{n-1}BC+∠ P_{n-1}CB=\frac{n-1}{n}∠ ABC+\frac{n-1}{n}∠ ACB$
$=\frac{n-1}{n}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=\frac{n-1}{n}×120°,$
$\therefore ∠ P_kBC+∠ P_kCB=\frac{k}{n}(∠ ABC+∠ ACB),$
$\therefore ∠ BP_kC=180°-(∠ P_kBC+∠ P_kCB)=180°-\frac{k}{n}×120°.$
解析
【分析】
本题是三角形内角和与角等分线结合的规律类问题，解题思路统一如下：
1. 先利用△ABC的内角和为180°，结合已知∠A=60°，算出固定值∠ABC+∠ACB=120°；
2. 针对不同的等分情况，先求出对应点处的∠PBC+∠PCB的和：角的几等分线就对应取两角和的几分之几；
3. 最后再利用△PBC的内角和为180°，减去上述两角和，即可得到要求的角的度数。第三问可通过前两问的特殊情况归纳出一般规律，代入n和k即可得到通用公式。
【解析】
(1) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°,$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的角平分线交于点P,
$\therefore ∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB,$
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB$
$=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=60°,$
$\therefore ∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=120°.$
(2) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°,$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1,P_2,$
$\therefore ∠ P_1BC=\frac{1}{3}∠ ABC,∠ P_1CB=\frac{1}{3}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_1BC+∠ P_1CB=\frac{1}{3}∠ ABC+\frac{1}{3}∠ ACB$
$=\frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=40°,$
$\therefore ∠ BP_1C=180°-(∠ P_1BC+∠ P_1CB)=140°.$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1,P_2,$
$\therefore ∠ P_2BC=\frac{2}{3}∠ ABC,∠ P_2CB=\frac{2}{3}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_2BC+∠ P_2CB=\frac{2}{3}∠ ABC+\frac{2}{3}∠ ACB$
$=\frac{2}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=80°,$
$\therefore ∠ BP_2C=180°-(∠ P_2BC+∠ P_2CB)=100°.$
(3) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°.$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的n等分线分别相交于点$P_1,P_2,...,P_{n-1},$
$\therefore ∠ P_1BC=\frac{1}{n}∠ ABC,∠ P_1CB=\frac{1}{n}∠ ACB,$
$\therefore ∠ BP_1C=180°-\frac{1}{n}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{120°}{n},$
对$P_k$有：$∠ P_kBC+∠ P_kCB=\frac{k}{n}(∠ ABC+∠ ACB),$
$\therefore ∠ BP_kC=180°-(∠ P_kBC+∠ P_kCB)=180°-\frac{120k°}{n}.$
【答案】
(1) $∠ BPC=120°$；
(2) $∠ BP_1C=140°$，$∠ BP_2C=100°$；
(3) $180°-\dfrac{120°}{n}$；$180°-\dfrac{120k°}{n}$
【知识点】
三角形内角和定理；角的等分线定义；规律探究
【点评】
本题以三角形内角和为基础，结合角的等分线考查从特殊到一般的规律归纳能力，前两问为基础计算，第三问通过前两问的结论归纳通用公式，难度梯度合理，能有效考查对三角形内角和的灵活运用能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是三角形内角和与角等分线结合的规律类问题，解题思路统一如下：
1. 先利用△ABC的内角和为180°，结合已知∠A=60°，算出固定值∠ABC+∠ACB=120°；
2. 针对不同的等分情况，先求出对应点处的∠PBC+∠PCB的和：角的几等分线就对应取两角和的几分之几；
3. 最后再利用△PBC的内角和为180°，减去上述两角和，即可得到要求的角的度数。第三问可通过前两问的特殊情况归纳出一般规律，代入n和k即可得到通用公式。
【解析】
(1) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°,$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的角平分线交于点P,
$\therefore ∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB,$
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB$
$=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=60°,$
$\therefore ∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=120°.$
(2) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°,$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1,P_2,$
$\therefore ∠ P_1BC=\frac{1}{3}∠ ABC,∠ P_1CB=\frac{1}{3}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_1BC+∠ P_1CB=\frac{1}{3}∠ ABC+\frac{1}{3}∠ ACB$
$=\frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=40°,$
$\therefore ∠ BP_1C=180°-(∠ P_1BC+∠ P_1CB)=140°.$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的三等分线分别相交于点$P_1,P_2,$
$\therefore ∠ P_2BC=\frac{2}{3}∠ ABC,∠ P_2CB=\frac{2}{3}∠ ACB,$
$\therefore ∠ P_2BC+∠ P_2CB=\frac{2}{3}∠ ABC+\frac{2}{3}∠ ACB$
$=\frac{2}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=80°,$
$\therefore ∠ BP_2C=180°-(∠ P_2BC+∠ P_2CB)=100°.$
(3) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ A=60°,$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°.$
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的n等分线分别相交于点$P_1,P_2,...,P_{n-1},$
$\therefore ∠ P_1BC=\frac{1}{n}∠ ABC,∠ P_1CB=\frac{1}{n}∠ ACB,$
$\therefore ∠ BP_1C=180°-\frac{1}{n}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{120°}{n},$
对$P_k$有：$∠ P_kBC+∠ P_kCB=\frac{k}{n}(∠ ABC+∠ ACB),$
$\therefore ∠ BP_kC=180°-(∠ P_kBC+∠ P_kCB)=180°-\frac{120k°}{n}.$
【答案】
(1) $∠ BPC=120°$；
(2) $∠ BP_1C=140°$，$∠ BP_2C=100°$；
(3) $180°-\dfrac{120°}{n}$；$180°-\dfrac{120k°}{n}$
【知识点】
三角形内角和定理；角的等分线定义；规律探究
【点评】
本题以三角形内角和为基础，结合角的等分线考查从特殊到一般的规律归纳能力，前两问为基础计算，第三问通过前两问的结论归纳通用公式，难度梯度合理，能有效考查对三角形内角和的灵活运用能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,0),B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上.
(1)如图1,若a,b满足$(a-4)^2+\sqrt{b-3}=0$,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,则点C的坐标是
(2)如图2,若$a=b$,点D是OA的延长线上一点,以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰直角三角形BDE,连接AE,求证:$∠ ABD=∠ AED$;
(3)如图3,设$AB=c$,$∠ ABO$的平分线经过点D(2,-2),求$a-b+c$的值.
(1)如图1,若a,b满足$(a-4)^2+\sqrt{b-3}=0$,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,则点C的坐标是
(3,7)
;(2)如图2,若$a=b$,点D是OA的延长线上一点,以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰直角三角形BDE,连接AE,求证:$∠ ABD=∠ AED$;
(3)如图3,设$AB=c$,$∠ ABO$的平分线经过点D(2,-2),求$a-b+c$的值.
答案
24. (1) (3,7)
(2) 证明:如图1,过点E作$EF⊥ x$轴于点F,
则$∠ EFD=90°,$
$\because a=b,$
$\therefore OA=OB.$
$\because ∠ AOB=90°,$
$\therefore △ OAB$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ABO=∠ BAO=45°.$
$\because △ BDE$是等腰直角三角形,$∠ BDE=90°,$
$\therefore DB=DE.$
$\because ∠ EDF+∠ BDO=90°,∠ DEF+∠ EDF=90°,$
$\therefore ∠ BDO=∠ DEF.$
$\because ∠ EFD=∠ DOB=90°,$
$\therefore △ DEF≌△ BDO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore ∠ EDF=∠ DBO,DF=BO,EF=DO.$
$\because OB=OA,$
$\therefore DF=OA,$
$\therefore DF+AD=OA+AD,$
即$AF=OD.$
$\therefore AF=EF,$
$\therefore △ AEF$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ EAF=∠ AEF=45°.$
$\because ∠ EDF = ∠ EAF + ∠ AED = 45° + ∠ AED,∠ DBO=∠ OBA+∠ ABD=45°+∠ ABD,$
$\therefore ∠ ABD=∠ AED.$
(3) 解:如图2,过点D作$DM⊥ y$轴于点M,$DH⊥ x$轴于点H,$DG⊥ BA$交BA的延长线于点G,
$\because D(2,-2),$
$\therefore DM=DH=OM=OH=2.$
$\because BD$平分$∠ ABO,DM⊥ OB,DG⊥ AB,$
$\therefore DM=DG.$
又$\because BD=BD,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDG≌△ BDM(\mathrm{HL}),$
$\therefore BG=BM.$
同理:$\mathrm{Rt}△ ADH≌△ ADG(\mathrm{HL}),$
$\therefore AH=AG.$
$\because OA=a,OB=b,AB=c,$
$\therefore a-b+c=OA-OB+AB=(OH+AH)-(BM-OM)+(BG-AG)=2+AH-BM+2+BG-AG=4,$
解析
【分析】
(1) 先根据非负数的性质：平方和算术平方根均为非负，和为0则各自为0，求出a、b的值得到A、B坐标；再过点C作y轴垂线构造全等三角形，结合等腰直角三角形AB=BC、直角相等的条件证明三角形全等，即可推导C点坐标。
(2) 要证两角相等，先作辅助线EF⊥x轴，利用等腰直角三角形BD=DE的条件证明△DEF和△BDO全等，得到对应边、角相等；再结合OA=OB推导EF=AF，得到△AEF为等腰直角三角形，得出∠EAF=45°；最后利用外角性质，将∠EDF和∠DBO分别用含∠AED、∠ABD的式子表示，结合二者相等即可证明结论。
(3) 利用角平分线的性质，过D作三条垂线分别垂直x轴、y轴、AB，证明两组直角三角形全等，得到BG=BM、AG=AH；再将a-b+c转化为对应线段的和差，代入D点坐标对应的线段长度即可求出结果。
【解析】
(1) 由$(a-4)^2+\sqrt{b-3}=0$，且$(a-4)^2≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$，可得：
$a-4=0$，$b-3=0$，解得$a=4$，$b=3$，即$A(4,0)$，$B(0,3)$。
过点C作$CM⊥ y$轴于点M，则$∠ CMB=∠ BOA=90°$，
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，$\therefore AB=BC$，
$\because ∠ CBM+∠ ABO=90°$，$∠ BAO+∠ ABO=90°$，$\therefore ∠ CBM=∠ BAO$，
$\therefore △ CBM≌△ BAO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=OA=4$，$CM=OB=3$，
$\therefore OM=OB+BM=3+4=7$，即点C坐标为$(3,7)$。
(2) 证明:如图1,过点E作$EF⊥ x$轴于点F,
则$∠ EFD=90°$,
$\because a=b$,
$\therefore OA=OB.$
$\because ∠ AOB=90°,$
$\therefore △ OAB$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ABO=∠ BAO=45°.$
$\because △ BDE$是等腰直角三角形,$∠ BDE=90°,$
$\therefore DB=DE.$
$\because ∠ EDF+∠ BDO=90°,∠ DEF+∠ EDF=90°,$
$\therefore ∠ BDO=∠ DEF.$
$\because ∠ EFD=∠ DOB=90°,$
$\therefore △ DEF≌△ BDO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore ∠ EDF=∠ DBO,DF=BO,EF=DO.$
$\because OB=OA,$
$\therefore DF=OA,$
$\therefore DF+AD=OA+AD,$
即$AF=OD.$
$\therefore AF=EF,$
$\therefore △ AEF$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ EAF=∠ AEF=45°.$
$\because ∠ EDF = ∠ EAF + ∠ AED = 45° + ∠ AED,∠ DBO=∠ OBA+∠ ABD=45°+∠ ABD,$
$\therefore ∠ ABD=∠ AED.$
(3) 解:如图2,过点D作$DM⊥ y$轴于点M,$DH⊥ x$轴于点H,$DG⊥ BA$交BA的延长线于点G,
$\because D(2,-2),$
$\therefore DM=DH=OM=OH=2.$
$\because BD$平分$∠ ABO,DM⊥ OB,DG⊥ AB,$
$\therefore DM=DG.$
又$\because BD=BD,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDG≌△ BDM(\mathrm{HL}),$
$\therefore BG=BM.$
同理:$\mathrm{Rt}△ ADH≌△ ADG(\mathrm{HL}),$
$\therefore AH=AG.$
$\because OA=a,OB=b,AB=c,$
$\therefore a-b+c=OA-OB+AB=(OH+AH)-(BM-OM)+(BG-AG)=2+AH-BM+2+BG-AG=4.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,7)}$
(2) 证明如上，辅助线图为
(3) $\boldsymbol{4}$，辅助线图为
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，非负数的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的综合题，覆盖了等腰直角三角形性质、全等三角形证明、角平分线性质等核心考点，解题关键是结合已知条件构造合适的全等三角形，将待求量转化为线段的和差关系，能较好地考查逻辑推理能力和几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据非负数的性质：平方和算术平方根均为非负，和为0则各自为0，求出a、b的值得到A、B坐标；再过点C作y轴垂线构造全等三角形，结合等腰直角三角形AB=BC、直角相等的条件证明三角形全等，即可推导C点坐标。
(2) 要证两角相等，先作辅助线EF⊥x轴，利用等腰直角三角形BD=DE的条件证明△DEF和△BDO全等，得到对应边、角相等；再结合OA=OB推导EF=AF，得到△AEF为等腰直角三角形，得出∠EAF=45°；最后利用外角性质，将∠EDF和∠DBO分别用含∠AED、∠ABD的式子表示，结合二者相等即可证明结论。
(3) 利用角平分线的性质，过D作三条垂线分别垂直x轴、y轴、AB，证明两组直角三角形全等，得到BG=BM、AG=AH；再将a-b+c转化为对应线段的和差，代入D点坐标对应的线段长度即可求出结果。
【解析】
(1) 由$(a-4)^2+\sqrt{b-3}=0$，且$(a-4)^2≥0$，$\sqrt{b-3}≥0$，可得：
$a-4=0$，$b-3=0$，解得$a=4$，$b=3$，即$A(4,0)$，$B(0,3)$。
过点C作$CM⊥ y$轴于点M，则$∠ CMB=∠ BOA=90°$，
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，$\therefore AB=BC$，
$\because ∠ CBM+∠ ABO=90°$，$∠ BAO+∠ ABO=90°$，$\therefore ∠ CBM=∠ BAO$，
$\therefore △ CBM≌△ BAO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=OA=4$，$CM=OB=3$，
$\therefore OM=OB+BM=3+4=7$，即点C坐标为$(3,7)$。
(2) 证明:如图1,过点E作$EF⊥ x$轴于点F,
则$∠ EFD=90°$,
$\because a=b$,
$\therefore OA=OB.$
$\because ∠ AOB=90°,$
$\therefore △ OAB$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ABO=∠ BAO=45°.$
$\because △ BDE$是等腰直角三角形,$∠ BDE=90°,$
$\therefore DB=DE.$
$\because ∠ EDF+∠ BDO=90°,∠ DEF+∠ EDF=90°,$
$\therefore ∠ BDO=∠ DEF.$
$\because ∠ EFD=∠ DOB=90°,$
$\therefore △ DEF≌△ BDO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore ∠ EDF=∠ DBO,DF=BO,EF=DO.$
$\because OB=OA,$
$\therefore DF=OA,$
$\therefore DF+AD=OA+AD,$
即$AF=OD.$
$\therefore AF=EF,$
$\therefore △ AEF$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ EAF=∠ AEF=45°.$
$\because ∠ EDF = ∠ EAF + ∠ AED = 45° + ∠ AED,∠ DBO=∠ OBA+∠ ABD=45°+∠ ABD,$
$\therefore ∠ ABD=∠ AED.$
(3) 解:如图2,过点D作$DM⊥ y$轴于点M,$DH⊥ x$轴于点H,$DG⊥ BA$交BA的延长线于点G,
$\because D(2,-2),$
$\therefore DM=DH=OM=OH=2.$
$\because BD$平分$∠ ABO,DM⊥ OB,DG⊥ AB,$
$\therefore DM=DG.$
又$\because BD=BD,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDG≌△ BDM(\mathrm{HL}),$
$\therefore BG=BM.$
同理:$\mathrm{Rt}△ ADH≌△ ADG(\mathrm{HL}),$
$\therefore AH=AG.$
$\because OA=a,OB=b,AB=c,$
$\therefore a-b+c=OA-OB+AB=(OH+AH)-(BM-OM)+(BG-AG)=2+AH-BM+2+BG-AG=4.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,7)}$
(2) 证明如上，辅助线图为
(3) $\boldsymbol{4}$，辅助线图为
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，非负数的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的综合题，覆盖了等腰直角三角形性质、全等三角形证明、角平分线性质等核心考点，解题关键是结合已知条件构造合适的全等三角形，将待求量转化为线段的和差关系，能较好地考查逻辑推理能力和几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
