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19.(8分)如果$(x+3)$是多项式$x^2 - mx +6$的一个因式,求$m$的值和另一个因式.
答案
19. m=-5,另一个因式为(x+2).
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。已知二次多项式$x^2 - mx +6$的一个一次因式为$(x+3)$，则另一个因式也为一次因式，可设为$(x+a)$，将两个因式相乘展开后，与原多项式对比各项系数，列出方程即可求出$a$和$m$的值。
【解析】
设多项式$x^2 - mx +6$的另一个因式为$(x+a)$，根据题意可得：
$(x+3)(x+a) = x^2 - mx +6$
将左边展开得：
$x^2 + (a+3)x + 3a = x^2 - mx +6$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
1. 常数项对应：$3a=6$，解得$a=2$；
2. 一次项系数对应：$a+3 = -m$，将$a=2$代入得$2+3=-m$，解得$m=-5$。
因此另一个因式为$(x+2)$。
【答案】
$m=-5$，另一个因式为$(x+2)$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆关系；待定系数法；多项式相等的条件
【点评】
本题是因式分解的基础应用题，核心是利用整式乘法和因式分解的互逆性，通过对应系数相等建立方程求解，掌握该方法可以快速解决已知因式求参数或未知因式的相关问题。
【难度系数】
0.7
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。已知二次多项式$x^2 - mx +6$的一个一次因式为$(x+3)$，则另一个因式也为一次因式，可设为$(x+a)$，将两个因式相乘展开后，与原多项式对比各项系数，列出方程即可求出$a$和$m$的值。
【解析】
设多项式$x^2 - mx +6$的另一个因式为$(x+a)$，根据题意可得：
$(x+3)(x+a) = x^2 - mx +6$
将左边展开得：
$x^2 + (a+3)x + 3a = x^2 - mx +6$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
1. 常数项对应：$3a=6$，解得$a=2$；
2. 一次项系数对应：$a+3 = -m$，将$a=2$代入得$2+3=-m$，解得$m=-5$。
因此另一个因式为$(x+2)$。
【答案】
$m=-5$，另一个因式为$(x+2)$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆关系；待定系数法；多项式相等的条件
【点评】
本题是因式分解的基础应用题，核心是利用整式乘法和因式分解的互逆性，通过对应系数相等建立方程求解，掌握该方法可以快速解决已知因式求参数或未知因式的相关问题。
【难度系数】
0.7
20.(8分)若$x^2 - 2x -5=0$，求$2x^3 -8x^2 -2x +2026$的值.
答案
20. 解:$\because x^2 -2x-5=0,\therefore x^2 =2x+5$.
$\therefore 2x^3 -8x^2 -2x+2026$
$=2x(2x+5)-8x^2 -2x+2026$
$=4x^2 +10x-8x^2 -2x+2026$
$=-4x^2 +8x+2026$
$=-4(2x+5)+8x+2026$
$=-8x-20+8x+2026$
$=2006$.
$\therefore 2x^3 -8x^2 -2x+2026$
$=2x(2x+5)-8x^2 -2x+2026$
$=4x^2 +10x-8x^2 -2x+2026$
$=-4x^2 +8x+2026$
$=-4(2x+5)+8x+2026$
$=-8x-20+8x+2026$
$=2006$.
解析
【分析】
已知条件是关于x的二次方程，所求代数式为三次多项式，若直接求解方程得到x的值再代入计算，运算量大且容易出错。因此采用降次法，先从已知方程推导出$x^2=2x+5$，再将所求多项式中的高次项（$x^3$、$x^2$）逐步用含x的一次式替换，最终消去x即可得到常数结果。
【解析】
解：$\because x^2 - 2x -5=0,\therefore x^2 =2x+5$.
$\therefore 2x^3 -8x^2 -2x +2026$
$=2x· x^2 -8x^2 -2x+2026$
将$x^2=2x+5$代入得：
$=2x(2x+5)-8x^2 -2x+2026$
$=4x^2 +10x-8x^2 -2x+2026$
合并同类项得：
$=-4x^2 +8x+2026$
再次将$x^2=2x+5$代入得：
$=-4(2x+5)+8x+2026$
$=-8x-20+8x+2026$
$=2006$
【答案】
$2006$
【知识点】
整体代入求值，整式运算，降次法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查降次思想和整体代入的方法，规避了直接求解一元二次方程的繁琐运算，熟练掌握高次项向低次项转化的思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
已知条件是关于x的二次方程，所求代数式为三次多项式，若直接求解方程得到x的值再代入计算，运算量大且容易出错。因此采用降次法，先从已知方程推导出$x^2=2x+5$，再将所求多项式中的高次项（$x^3$、$x^2$）逐步用含x的一次式替换，最终消去x即可得到常数结果。
【解析】
解：$\because x^2 - 2x -5=0,\therefore x^2 =2x+5$.
$\therefore 2x^3 -8x^2 -2x +2026$
$=2x· x^2 -8x^2 -2x+2026$
将$x^2=2x+5$代入得：
$=2x(2x+5)-8x^2 -2x+2026$
$=4x^2 +10x-8x^2 -2x+2026$
合并同类项得：
$=-4x^2 +8x+2026$
再次将$x^2=2x+5$代入得：
$=-4(2x+5)+8x+2026$
$=-8x-20+8x+2026$
$=2006$
【答案】
$2006$
【知识点】
整体代入求值，整式运算，降次法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查降次思想和整体代入的方法，规避了直接求解一元二次方程的繁琐运算，熟练掌握高次项向低次项转化的思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
21.(8分)先化简，再求值：
(1)$[(x-5y)(x+5y)-(x-2y)^2+y^2]÷2y$，其中$x=-1,y=\frac{1}{2}$；
(2)$9x^2+12xy+4y^2$，其中$x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$。
(1)$[(x-5y)(x+5y)-(x-2y)^2+y^2]÷2y$，其中$x=-1,y=\frac{1}{2}$；
(2)$9x^2+12xy+4y^2$，其中$x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$。
答案
21. 解:(1)原式=$(x^2 -25y^2 -x^2 +4xy-4y^2 +y^2)÷2y$
$=(4xy-28y^2)÷2y=2x-14y$,
当$x=-1,y=\frac{1}{2}$时,
原式=$-2-7=-9$;
(2)原式=$(3x)^2 +2·3x·2y+(2y)^2$
$=(3x + 2y)^2$.
$\therefore$当$x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$时,
原式=$(3x + 2y)^2 = [3 × \frac{4}{3} + 2 × (- \frac{1}{2} ) ]^2$
$=(4 - 1)^2 =9$.
$=(4xy-28y^2)÷2y=2x-14y$,
当$x=-1,y=\frac{1}{2}$时,
原式=$-2-7=-9$;
(2)原式=$(3x)^2 +2·3x·2y+(2y)^2$
$=(3x + 2y)^2$.
$\therefore$当$x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$时,
原式=$(3x + 2y)^2 = [3 × \frac{4}{3} + 2 × (- \frac{1}{2} ) ]^2$
$=(4 - 1)^2 =9$.
解析
【分析】
这道题是整式化简求值类题目，遵循“先化简、再代值、最后计算”的解题原则：
(1) 第一小问先处理中括号内的运算：先利用平方差公式计算$(x-5y)(x+5y)$，利用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，去括号后合并同类项，再根据多项式除以单项式的法则计算除法得到最简整式，最后代入$x$、$y$的值计算结果即可。
(2) 第二小问观察原式结构，符合完全平方公式的逆用特征，先将原式因式分解为$(3x+2y)^2$，再代入数值计算，可大幅降低计算量。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2-25y^2-(x^2-4xy+4y^2)+y^2)÷2y\\&=(x^2-25y^2-x^2+4xy-4y^2+y^2)÷2y\\&=(4xy-28y^2)÷2y\\&=2x-14y\end{aligned}$
当$x=-1,y=\frac{1}{2}$时，代入得：
$\mathrm{原式}=2×(-1)-14×\frac{1}{2}=-2-7=-9$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3x)^2+2·3x·2y+(2y)^2\\&=(3x+2y)^2\end{aligned}$
当$x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$时，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3×\frac{4}{3}+2×(-\frac{1}{2}))^2\\&=(4-1)^2\\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-9}$；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心考查平方差、完全平方公式的正向及逆向运用，先化简再代值的解题思路能有效减少运算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这道题是整式化简求值类题目，遵循“先化简、再代值、最后计算”的解题原则：
(1) 第一小问先处理中括号内的运算：先利用平方差公式计算$(x-5y)(x+5y)$，利用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，去括号后合并同类项，再根据多项式除以单项式的法则计算除法得到最简整式，最后代入$x$、$y$的值计算结果即可。
(2) 第二小问观察原式结构，符合完全平方公式的逆用特征，先将原式因式分解为$(3x+2y)^2$，再代入数值计算，可大幅降低计算量。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2-25y^2-(x^2-4xy+4y^2)+y^2)÷2y\\&=(x^2-25y^2-x^2+4xy-4y^2+y^2)÷2y\\&=(4xy-28y^2)÷2y\\&=2x-14y\end{aligned}$
当$x=-1,y=\frac{1}{2}$时，代入得：
$\mathrm{原式}=2×(-1)-14×\frac{1}{2}=-2-7=-9$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3x)^2+2·3x·2y+(2y)^2\\&=(3x+2y)^2\end{aligned}$
当$x=\frac{4}{3},y=-\frac{1}{2}$时，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3×\frac{4}{3}+2×(-\frac{1}{2}))^2\\&=(4-1)^2\\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-9}$；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心考查平方差、完全平方公式的正向及逆向运用，先化简再代值的解题思路能有效减少运算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
22. (10分)对于二次三项式$x^2+2ax+a^2$可以直接用公式法分解为$(x+a)^2$的形式,但对于二次三项式$x^2+2ax-3a^2$,就不能直接用公式法了,我们可以在二次三项式$x^2+2ax-3a^2$中先加上一项$a^2$,使其成为完全平方式,再减去$a^2$这项,使整个式子的值不变.于是有
$x^2+2ax-3a^2 = x^2+2ax+a^2 -a^2 -3a^2$
$=(x+a)^2 -4a^2$
$=(x+a)^2 -(2a)^2$
$=(x+3a)(x-a)$
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法.
(1)请用上述方法把$x^2-4x+3$分解因式;
(2)多项式$x^2+2x+2$有最小值吗?如果有,那么当它有最小值时,$x$的值是多少?
$x^2+2ax-3a^2 = x^2+2ax+a^2 -a^2 -3a^2$
$=(x+a)^2 -4a^2$
$=(x+a)^2 -(2a)^2$
$=(x+3a)(x-a)$
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法.
(1)请用上述方法把$x^2-4x+3$分解因式;
(2)多项式$x^2+2x+2$有最小值吗?如果有,那么当它有最小值时,$x$的值是多少?
答案
22. 解:(1)$x^2 -4x+3=(x-1)(x-3)$;
(2)$x^2 +2x+2=(x + 1)^2 +1$,故当它有最小值时,x的值是-1.
(2)$x^2 +2x+2=(x + 1)^2 +1$,故当它有最小值时,x的值是-1.
解析
【分析】
(1) 按照题目给出的添(拆)项法思路，先将二次项和一次项组合，凑成完全平方式：$x^2-4x$加上4可构成$(x-2)^2$，为保证式子值不变，需再减去4，之后将式子转化为平方差的形式，即可用平方差公式分解因式。
(2) 求多项式的最值可利用配方法，先将$x^2+2x$凑成完全平方式$(x+1)^2$，调整常数项后得到完全平方式加正数的形式，再根据平方的非负性，当完全平方式为0时，多项式取得最小值，此时求解x的值即可。
【解析】
(1) 对$x^2-4x+3$用添项法分解：
$\begin{aligned}x^2-4x+3&=x^2-4x+4-4+3\\&=(x-2)^2 -1\\&=(x-2)^2 -1^2\\&=(x-2+1)(x-2-1)\\&=(x-1)(x-3)\end{aligned}$
(2) 对$x^2+2x+2$配方得：
$\begin{aligned}x^2+2x+2&=x^2+2x+1+1\\&=(x+1)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知$(x+1)^2≥0$，因此当$(x+1)^2=0$时，多项式取得最小值，此时$x+1=0$，解得$x=-1$。
【答案】
(1) $(x-1)(x-3)$；
(2) 有最小值，当它有最小值时$x$的值是$-1$。
【知识点】
添拆项法分解因式；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，既可以通过配方将多项式转化为平方差形式辅助因式分解，也可以结合平方的非负性求多项式的最值，熟练掌握凑完全平方的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 按照题目给出的添(拆)项法思路，先将二次项和一次项组合，凑成完全平方式：$x^2-4x$加上4可构成$(x-2)^2$，为保证式子值不变，需再减去4，之后将式子转化为平方差的形式，即可用平方差公式分解因式。
(2) 求多项式的最值可利用配方法，先将$x^2+2x$凑成完全平方式$(x+1)^2$，调整常数项后得到完全平方式加正数的形式，再根据平方的非负性，当完全平方式为0时，多项式取得最小值，此时求解x的值即可。
【解析】
(1) 对$x^2-4x+3$用添项法分解：
$\begin{aligned}x^2-4x+3&=x^2-4x+4-4+3\\&=(x-2)^2 -1\\&=(x-2)^2 -1^2\\&=(x-2+1)(x-2-1)\\&=(x-1)(x-3)\end{aligned}$
(2) 对$x^2+2x+2$配方得：
$\begin{aligned}x^2+2x+2&=x^2+2x+1+1\\&=(x+1)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知$(x+1)^2≥0$，因此当$(x+1)^2=0$时，多项式取得最小值，此时$x+1=0$，解得$x=-1$。
【答案】
(1) $(x-1)(x-3)$；
(2) 有最小值，当它有最小值时$x$的值是$-1$。
【知识点】
添拆项法分解因式；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，既可以通过配方将多项式转化为平方差形式辅助因式分解，也可以结合平方的非负性求多项式的最值，熟练掌握凑完全平方的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
