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23. (11分)已知代数式$A=2x^2 - 3xy + 2x - \frac{1}{2}, B=x^2 -6xy -x -1, C=a(x^2 -1)-b(2x+1)$。
(1)化简2A－B所表示的代数式；
(2)若代数式2A－B－C的值与x的取值无关，求出a,b的值。
(1)化简2A－B所表示的代数式；
(2)若代数式2A－B－C的值与x的取值无关，求出a,b的值。
答案
23. 解:(1)$\because A=2x^2 -3xy+2x- \frac{1}{2}$,
$B=x^2 -6xy-x-1$,
$\therefore 2A-B$
$=2× (2x^2 - 3xy + 2x - \frac{1}{2} ) -(x^2 -6xy-x-1)$
$=4x^2 -6xy+4x-1- x^2 +6xy+x+1$
$=3x^2 +5x$;
(2)$2A-B-C$
$=3x^2 +5x-a(x^2 -1)+b(2x+1)$
$=3x^2 +5x- ax^2 +a+2bx+b$
$=(3-a)x^2 +(5+2b)x+a+b$.
$\because$代数式2A-B-C的值与x的取值无关,
$\therefore 3-a=0,5+2b=0$,
$\therefore a=3,b=- \frac{5}{2}$.
$B=x^2 -6xy-x-1$,
$\therefore 2A-B$
$=2× (2x^2 - 3xy + 2x - \frac{1}{2} ) -(x^2 -6xy-x-1)$
$=4x^2 -6xy+4x-1- x^2 +6xy+x+1$
$=3x^2 +5x$;
(2)$2A-B-C$
$=3x^2 +5x-a(x^2 -1)+b(2x+1)$
$=3x^2 +5x- ax^2 +a+2bx+b$
$=(3-a)x^2 +(5+2b)x+a+b$.
$\because$代数式2A-B-C的值与x的取值无关,
$\therefore 3-a=0,5+2b=0$,
$\therefore a=3,b=- \frac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求解2A-B的化简结果，首先将A、B的代数式代入表达式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可得到化简后的代数式，注意去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号。
(2) 求解a、b的值，先将(1)中得到的2A-B的结果与C代入2A-B-C，合并同类项整理为按x的降幂排列的多项式；代数式的值与x的取值无关的本质是x的各次项的系数均为0，据此列出关于a、b的一元一次方程，解方程即可得到a、b的值。
【解析】
(1) 已知$A=2x^2 - 3xy + 2x - \frac{1}{2}$，$B=x^2 -6xy -x -1$，代入得：
$\begin{aligned}2A-B&=2× (2x^2 - 3xy + 2x - \frac{1}{2} ) -(x^2 -6xy-x-1)\\&=4x^2 -6xy+4x-1- x^2 +6xy+x+1\\&=3x^2 +5x\end{aligned}$
(2) 将$2A-B=3x^2 +5x$，$C=a(x^2 -1)-b(2x+1)$代入$2A-B-C$得：
$\begin{aligned}2A-B-C&=3x^2 +5x-[a(x^2 -1)-b(2x+1)]\\&=3x^2 +5x- ax^2 +a+2bx+b\\&=(3-a)x^2 +(5+2b)x+a+b\end{aligned}$
∵代数式$2A-B-C$的值与x的取值无关
∴x²项、x项的系数均为0，即：
$\begin{cases}3-a=0\\5+2b=0\end{cases}$
解得：$a=3$，$b=-\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $3x^2 +5x$；(2) $a=3$，$b=-\frac{5}{2}$
【知识点】
整式的加减运算，代数式与变量无关的条件，解一元一次方程
【点评】
本题是整式章节的典型题型，侧重考察整式加减的基础运算规则以及对代数式取值与变量无关这一条件的理解，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算方法，明确与x无关即x对应项的系数为0的核心逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 求解2A-B的化简结果，首先将A、B的代数式代入表达式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可得到化简后的代数式，注意去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号。
(2) 求解a、b的值，先将(1)中得到的2A-B的结果与C代入2A-B-C，合并同类项整理为按x的降幂排列的多项式；代数式的值与x的取值无关的本质是x的各次项的系数均为0，据此列出关于a、b的一元一次方程，解方程即可得到a、b的值。
【解析】
(1) 已知$A=2x^2 - 3xy + 2x - \frac{1}{2}$，$B=x^2 -6xy -x -1$，代入得：
$\begin{aligned}2A-B&=2× (2x^2 - 3xy + 2x - \frac{1}{2} ) -(x^2 -6xy-x-1)\\&=4x^2 -6xy+4x-1- x^2 +6xy+x+1\\&=3x^2 +5x\end{aligned}$
(2) 将$2A-B=3x^2 +5x$，$C=a(x^2 -1)-b(2x+1)$代入$2A-B-C$得：
$\begin{aligned}2A-B-C&=3x^2 +5x-[a(x^2 -1)-b(2x+1)]\\&=3x^2 +5x- ax^2 +a+2bx+b\\&=(3-a)x^2 +(5+2b)x+a+b\end{aligned}$
∵代数式$2A-B-C$的值与x的取值无关
∴x²项、x项的系数均为0，即：
$\begin{cases}3-a=0\\5+2b=0\end{cases}$
解得：$a=3$，$b=-\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $3x^2 +5x$；(2) $a=3$，$b=-\frac{5}{2}$
【知识点】
整式的加减运算，代数式与变量无关的条件，解一元一次方程
【点评】
本题是整式章节的典型题型，侧重考察整式加减的基础运算规则以及对代数式取值与变量无关这一条件的理解，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算方法，明确与x无关即x对应项的系数为0的核心逻辑。
【难度系数】
0.7
24. (12分)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)。
(1)上述操作能验证的等式是
A. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
B. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
D. $a^2 - ab = a(a - b)$
(2)若 $x^2 - 9y^2 = 12, x + 3y = 4$，求 $x - 3y$ 的值；
(3)计算：$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})···(1 - \frac{1}{2025^2})(1 - \frac{1}{2026^2})$。
(1)上述操作能验证的等式是
B
(请选择正确的一个)；A. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
B. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
D. $a^2 - ab = a(a - b)$
(2)若 $x^2 - 9y^2 = 12, x + 3y = 4$，求 $x - 3y$ 的值；
(3)计算：$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})···(1 - \frac{1}{2025^2})(1 - \frac{1}{2026^2})$。
答案
24. (1) B
(2) 解:$\because x^2 -9y^2 =12$,
$\therefore x^2 -9y^2 =(x+3y)(x-3y)=12$,
$\because x+3y=4$,
$\therefore x-3y=3$;
(3) 解:原式=
$(1 - \frac{1}{2} ) (1 + \frac{1}{2} ) (1 - \frac{1}{3} ) (1 + \frac{1}{3} ) ...$
$(1 - \frac{1}{2025} ) (1 + \frac{1}{2025} ) (1 - \frac{1}{2026} ) (1 + \frac{1}{2026} )$
$= \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × ... × \frac{2024}{2025} × \frac{2026}{2025} × \frac{2025}{2026} × \frac{2027}{2026} = \frac{1}{2} × \frac{2027}{2026} = \frac{2027}{4052}$.
(2) 解:$\because x^2 -9y^2 =12$,
$\therefore x^2 -9y^2 =(x+3y)(x-3y)=12$,
$\because x+3y=4$,
$\therefore x-3y=3$;
(3) 解:原式=
$(1 - \frac{1}{2} ) (1 + \frac{1}{2} ) (1 - \frac{1}{3} ) (1 + \frac{1}{3} ) ...$
$(1 - \frac{1}{2025} ) (1 + \frac{1}{2025} ) (1 - \frac{1}{2026} ) (1 + \frac{1}{2026} )$
$= \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × ... × \frac{2024}{2025} × \frac{2026}{2025} × \frac{2025}{2026} × \frac{2027}{2026} = \frac{1}{2} × \frac{2027}{2026} = \frac{2027}{4052}$.
解析
【分析】
(1) 分别计算两个图形的剩余面积：图1是边长为a的正方形减去边长为b的正方形，面积为$a^2 - b^2$；图2拼成的长方形长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两部分面积相等，即可对应验证的等式。
(2) $x^2-9y^2$符合平方差公式的结构，先因式分解为$(x+3y)(x-3y)$，再代入已知的$x+3y=4$，即可求出$x-3y$的值。
(3) 算式中每一项$1-\frac{1}{n^2}$都可以用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，拆分后相邻分数可相互约分，最后仅剩首尾两项相乘即可得到结果。
【解析】
(1) 图1剩余面积：$S_1=a^2-b^2$，图2长方形面积：$S_2=(a+b)(a-b)$，由剩余部分面积相等得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，故选B。
(2) 解：$\because x^2 -9y^2 =12$，
根据平方差公式因式分解得：$x^2 -9y^2 =(x+3y)(x-3y)=12$，
$\because x+3y=4$，
$\therefore 4(x-3y)=12$，解得$x-3y=3$。
(3) 解：原式利用平方差公式变形为：
$(1 - \frac{1}{2} ) (1 + \frac{1}{2} ) (1 - \frac{1}{3} ) (1 + \frac{1}{3} ) \dots (1 - \frac{1}{2025} ) (1 + \frac{1}{2025} ) (1 - \frac{1}{2026} ) (1 + \frac{1}{2026} )$
$= \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \dots × \frac{2024}{2025} × \frac{2026}{2025} × \frac{2025}{2026} × \frac{2027}{2026}$
中间项两两约分后得：
$= \frac{1}{2} × \frac{2027}{2026} = \frac{2027}{4052}$。
【答案】
(1) B
(2) $3$
(3) $\frac{2027}{4052}$
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，分数简便运算
【点评】
本题围绕平方差公式设计，结合几何面积推导、代数式求值、规律运算三类场景考查公式的灵活运用，需要熟练掌握平方差公式的结构特征，合理拆分变形式子，掌握约分规律可快速求解，综合性较好。
【难度系数】
0.7
(1) 分别计算两个图形的剩余面积：图1是边长为a的正方形减去边长为b的正方形，面积为$a^2 - b^2$；图2拼成的长方形长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两部分面积相等，即可对应验证的等式。
(2) $x^2-9y^2$符合平方差公式的结构，先因式分解为$(x+3y)(x-3y)$，再代入已知的$x+3y=4$，即可求出$x-3y$的值。
(3) 算式中每一项$1-\frac{1}{n^2}$都可以用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，拆分后相邻分数可相互约分，最后仅剩首尾两项相乘即可得到结果。
【解析】
(1) 图1剩余面积：$S_1=a^2-b^2$，图2长方形面积：$S_2=(a+b)(a-b)$，由剩余部分面积相等得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，故选B。
(2) 解：$\because x^2 -9y^2 =12$，
根据平方差公式因式分解得：$x^2 -9y^2 =(x+3y)(x-3y)=12$，
$\because x+3y=4$，
$\therefore 4(x-3y)=12$，解得$x-3y=3$。
(3) 解：原式利用平方差公式变形为：
$(1 - \frac{1}{2} ) (1 + \frac{1}{2} ) (1 - \frac{1}{3} ) (1 + \frac{1}{3} ) \dots (1 - \frac{1}{2025} ) (1 + \frac{1}{2025} ) (1 - \frac{1}{2026} ) (1 + \frac{1}{2026} )$
$= \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \dots × \frac{2024}{2025} × \frac{2026}{2025} × \frac{2025}{2026} × \frac{2027}{2026}$
中间项两两约分后得：
$= \frac{1}{2} × \frac{2027}{2026} = \frac{2027}{4052}$。
【答案】
(1) B
(2) $3$
(3) $\frac{2027}{4052}$
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，分数简便运算
【点评】
本题围绕平方差公式设计，结合几何面积推导、代数式求值、规律运算三类场景考查公式的灵活运用，需要熟练掌握平方差公式的结构特征，合理拆分变形式子，掌握约分规律可快速求解，综合性较好。
【难度系数】
0.7
