7. 如图,在$△ ABC$中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,$AB=12,AC=8,AD=6$,当AP的长为$\underline{\hspace{2cm}}$时,$△ ADP$和$△ ABC$相似.

4或9

8. 如图,线段 BD、CE 是$△ ABC$的两条高.
(1)求证:$△ ACE ∽ △ ABD$.
(2)求证:$△ ADE ∽ △ ABC$.

证明：​$(1)$​∵​$BD、$​​$CE$​是​$\triangle ABC$​的高，∴​$∠AEC=∠ADB = 90°$​ 又∵​$∠A=∠A，$​∴​$\triangle ADB\sim \triangle AEC$​​$ (2)$​∵​$\triangle ABD\sim \triangle ACE，$​∴​$\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}$​∴​$\frac {AE}{AC}=\frac {AD}{AB}$​又∵​$∠A=∠A，$​∴​$\triangle ADE\sim \triangle ABC$​

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=1,BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,在边$AC$上截取$AD=BC$,连接$BD$.
(1)通过计算,判断$AD^2$与$AC· CD$的大小关系,并说明理由.
(2)求证:$△ ABC ∽ △ BDC$.

​$ (1)$​解：​$AD^2=AC·CD，$​理由如下：∵​$AB = AC = 1，$​​$AD = BC=\frac {\sqrt 5-1}2$​∴​$CD = AC - AD = 1-\frac {\sqrt 5-1}2=\frac {3 - \sqrt 5}2$​∵​$AD^2=(\frac {\sqrt 5-1}2)^2=\frac {3 - \sqrt 5}2，$​​$AC·CD = 1×\frac {3 - \sqrt 5}2=\frac {3 - \sqrt 5}2$​∴​$AD^2=AC·CD$​​$ (2)$​证明：由​$(1)$​知，​$AD^2=AC·CD$​∵​$AD = BC，$​∴​$BC^2=AC·CD，$​∴​$\frac {BC}{AC}=\frac {CD}{BC}$​又∵​$∠C=∠C，$​∴​$\triangle ABC\sim \triangle BDC$​

10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$AC=10\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动;同时点$Q$从点$C$出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动.当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)$AP=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$,$AQ=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.(用含$t$的代数式表示)
(2)当$t$的值为多少时,以$A$、$P$、$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似?

$2t$ ; $(10 - 3t)$ ; 解：​$(2)$​由​$(1)$​可得​$AP = 2\ \mathrm {t}，$​​$CQ = 3\ \mathrm {t}，$​​$AQ = 10 - 3\ \mathrm {t}$​由题可得​$∠P AQ=∠BAC，$​当​$\triangle APQ\sim \triangle ABC$​时，​$\frac {AP}{AB}=\frac {AQ}{AC}$​∴​$\frac {2\ \mathrm {t}}8=\frac {10 - 3\ \mathrm {t}}{10}，$​解得​$t=\frac {20}{11}；$​当​$\triangle APQ\sim \triangle ACB$​时，​$\frac {AP}{AC}=\frac {AQ}{AB}$​∴​$\frac {2\ \mathrm {t}}{10}=\frac {10 - 3\ \mathrm {t}}8，$​解得​$t=\frac {50}{23}$​综上所述，当​$t=\frac {50}{23}$​或​$\frac {20}{11}$​时，以​$A、$​​$P、$​​$Q $​为顶点的三角形与​$\triangle ABC$​相似