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1. [2026 石家庄月考]下列说法中，不正确的是（
A.$x$与$y$差的平方是$(x-y)^2$
B.$x$与$y$的和除以$x$的商是$x+\frac{y}{x}$
C.$x$减去$y$的2倍所得的差是$x-2y$
D.$x$与$y$和的平方的2倍是$2(x+y)^2$
B
）A.$x$与$y$差的平方是$(x-y)^2$
B.$x$与$y$的和除以$x$的商是$x+\frac{y}{x}$
C.$x$减去$y$的2倍所得的差是$x-2y$
D.$x$与$y$和的平方的2倍是$2(x+y)^2$
答案
1 B x 与 y 的和除以 x 的商是$\frac{x+y}{x}$,故 B 项错误,符合题意。
变式 甲数为$x$,乙数为$y$,甲、乙两数和的平方与甲、乙两数平方的和的商,用式子表示为$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$;甲、乙两数和的2倍与甲、乙两数积的一半的差,用式子表示为$2(x+y)-\frac{1}{2}xy$。
答案
$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}\quad 2(x+y)-\frac{xy}{2}$
2. [2026长春月考] 在式子 $2xy, -\frac{mn}{2}, \frac{x+y}{3}, 1, \frac{2x^2y}{5}, x^2 + 2xy + y^2$ 中，单项式的个数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2 C 根据单项式的定义可得,$2xy, -\frac{mn}{2},1,\frac{2x^2y}{5}$是单项式,共4个。
3. [2026 天津南开大学附中月考] 下列说法中，正确的是（
A.$xy^2$的次数是1
B.$-\frac{2vt}{3}$的系数是$\frac{2}{3}$
C.$x^2 + 2x + 18$是三次二项式
D.$\frac{1}{2}a^2b - π r^2$的二次项是$-π r^2$
D
）A.$xy^2$的次数是1
B.$-\frac{2vt}{3}$的系数是$\frac{2}{3}$
C.$x^2 + 2x + 18$是三次二项式
D.$\frac{1}{2}a^2b - π r^2$的二次项是$-π r^2$
答案
3 D A项,$xy^2$的次数是3,不符合题意;B项,$-\frac{2vt}{3}$的系数为$-\frac{2}{3}$,不符合题意;C项,$x^2 + 2x + 18$是二次三项式,不符合题意。
变式 [2026 河南省实验中学月考]若A是二次多项式，B是三次多项式，则$A+B$的次数是 (
A.六
B.五
C.三
D.二
C
)A.六
B.五
C.三
D.二
答案
变式 C
4. [2025重庆江北区模拟]化简：$5xy -6x^2 -3(-2x^2 +4xy +1)$。
答案
4 解:$5xy -6x^2 -3( -2x^2 +4xy +1 )$
$=5xy -6x^2 +6x^2 -12xy -3$
$= -7xy -3$。
$=5xy -6x^2 +6x^2 -12xy -3$
$= -7xy -3$。
5. [2025商丘期中]已知$A=3x^3 + 2x^2 -5x +7m +2$，$B=2x^2 +mx -3$，若多项式$A+B$不含$x$的一次项，则多项式$A+B$的常数项是（
A.16
B.24
C.34
D.35
C
）A.16
B.24
C.34
D.35
答案
5 C $A + B = (3x^3 + 2x^2 -5x +7m +2) + (2x^2 + mx -3) = 3x^3 + 2x^2 -5x +7m +2 + 2x^2 + mx -3 = 3x^3 +4x^2 + (m -5)x +7m -1$,因为多项式$A + B$不含$x$的一次项,所以$m -5 = 0$,即$m =5$,所以多项式$A + B$的常数项是34。
变式 [2026 新乡一中期中] 已知 $ A = 2x^2 + 3xy - 2x $，$ B = x^2 + xy + y $，且 $ A - 2B $ 的值与 $ x $ 的取值无关。若 $ B = 5 $，求 $ A $ 的值。
答案
变式 解:$A - 2B = 2x^2 + 3xy - 2x - 2( x^2 + xy + y )$
$= 2x^2 + 3xy - 2x - 2x^2 - 2xy - 2y$
$= xy - 2x - 2y$
$= (y - 2)x - 2y$,
因为$A - 2B$的值与$x$的取值无关,所以$y - 2 = 0$,即$y = 2$,
所以$A - 2B = -2y = -2 × 2 = -4$,
因为$B = 5$,所以$A - 10 = -4$,所以$A = 6$。
$= 2x^2 + 3xy - 2x - 2x^2 - 2xy - 2y$
$= xy - 2x - 2y$
$= (y - 2)x - 2y$,
因为$A - 2B$的值与$x$的取值无关,所以$y - 2 = 0$,即$y = 2$,
所以$A - 2B = -2y = -2 × 2 = -4$,
因为$B = 5$,所以$A - 10 = -4$,所以$A = 6$。
6. 新考向·代数推理 [2026 佛山顺德区期末] 代数推理是我们发展逻辑思维和问题解决能力的重要路径，合理严谨的符号化语言是我们有序开展并完成代数推理的重要前提。例如，一个正三位数的百位、十位、个位上的数字分别为$a,b,c$，通常把这个正三位数记为$\overline{abc}$。
(1)若$a + c - b$能被 11 整除，则正三位数$\overline{abc}$就能被 11 整除，说明其中的道理。
(2)探究任意一个正五位数能被 11 整除的条件。
(1)若$a + c - b$能被 11 整除，则正三位数$\overline{abc}$就能被 11 整除，说明其中的道理。
(2)探究任意一个正五位数能被 11 整除的条件。
答案
6 解:(1)正三位数$\overline{abc}$可以写成$100a + 10b + c$,
所以$100a + 10b + c = 99a + a + 11b - b + c = 11(9a + b) + (a - b + c)$,
因为$a + c - b$能被11整除,
所以$11(9a + b) + (a - b + c)$能被11整除,即正三位数$\overline{abc}$能被11整除。
(2)任意一个正五位数可以写成$10\ 000m + 1\ 000n + 100r + 10s + t$的形式,
所以$10\ 000m + 1\ 000n + 100r + 10s + t = 9\ 900m + 99m + m + 990n + 11n - n + 99r + r + 11s - s + t = (9\ 900m + 99m + 990n + 11n + 99r + 11s) + (m - n + r - s + t) = 11(900m + 9m + 90n + n + 9r + s) + (m - n + r - s + t)$,
所以当$m - n + r - s + t$能被11整除时,这个正五位数就能被11整除。
所以$100a + 10b + c = 99a + a + 11b - b + c = 11(9a + b) + (a - b + c)$,
因为$a + c - b$能被11整除,
所以$11(9a + b) + (a - b + c)$能被11整除,即正三位数$\overline{abc}$能被11整除。
(2)任意一个正五位数可以写成$10\ 000m + 1\ 000n + 100r + 10s + t$的形式,
所以$10\ 000m + 1\ 000n + 100r + 10s + t = 9\ 900m + 99m + m + 990n + 11n - n + 99r + r + 11s - s + t = (9\ 900m + 99m + 990n + 11n + 99r + 11s) + (m - n + r - s + t) = 11(900m + 9m + 90n + n + 9r + s) + (m - n + r - s + t)$,
所以当$m - n + r - s + t$能被11整除时,这个正五位数就能被11整除。
