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1. 教材P96 尝试·思考变式 如图所示是某月的日历图。
(1)求日历图中画出的位于楼梯形中的三个数的和。
(2)用代数式表示位于楼梯形中的三个数的和。
(3)若位于这样的楼梯形中的三个数的和等于72,则这三个数分别是多少?
(4)位于这样的楼梯形中的三个数的和可以是57吗?若可以,请求出这三个数;若不可以,请说明理由。
(1)求日历图中画出的位于楼梯形中的三个数的和。
(2)用代数式表示位于楼梯形中的三个数的和。
(3)若位于这样的楼梯形中的三个数的和等于72,则这三个数分别是多少?
(4)位于这样的楼梯形中的三个数的和可以是57吗?若可以,请求出这三个数;若不可以,请说明理由。
答案
解:(1)$8 + 14 + 20 = 42$。
(2)设这三个数中,中间的一个数为$n$,
则另外两个数分别为$n-6$,$n+6$,
所以这三个数的和为$(n-6)+n+(n+6)=3n$。
(3)令$3n=72$,则$n=24$,
所以$n-6=18$,$n+6=30$,
即这三个数分别是18,24,30。
(4)不可以。理由如下:
令$3n=57$,则$n=19$,所以$n-6=13$,$n+6=25$,
因为13和19在此日历图中位于同一行,不能构成“楼梯”,所以位于这样的楼梯形中的三个数的和不可以是57。
(2)设这三个数中,中间的一个数为$n$,
则另外两个数分别为$n-6$,$n+6$,
所以这三个数的和为$(n-6)+n+(n+6)=3n$。
(3)令$3n=72$,则$n=24$,
所以$n-6=18$,$n+6=30$,
即这三个数分别是18,24,30。
(4)不可以。理由如下:
令$3n=57$,则$n=19$,所以$n-6=13$,$n+6=25$,
因为13和19在此日历图中位于同一行,不能构成“楼梯”,所以位于这样的楼梯形中的三个数的和不可以是57。
2. 教材P97T1变式 [2026石家庄桥西区期末] 如图，将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形中小圆的个数为4，第2个图形中小圆的个数为8，第3个图形中小圆的个数为14……依此规律，第10个图形中小圆的个数为（
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
A.112
B.92
C.74
D.63
A
）第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
A.112
B.92
C.74
D.63
答案
A 第1个图形中小圆的个数为$4 = 1×2 + 2$;第2个图形中小圆的个数为$8 = 2×3 + 2$;第3个图形中小圆的个数为$14 = 3×4 + 2$……所以第$n$个图形中小圆的个数为$n(n+1)+2$。当$n=10$时,$n(n+1)+2 = 10×11 + 2 = 112$,即第10个图形中小圆的个数为112。
3. 教材P107T17变式 [2026成都二诊改编]如图，将形状、大小完全相同的“•”和线按照一定规律摆成下列图形。第1幅图形中“•”的个数为$a_1$，第2幅图形中“•”的个数为$a_2$，第3幅图形中“•”的个数为$a_3$……则第n幅图形中“•”的个数$a_n=$
$n(n+2)$
。(用含n的代数式表示)答案
$n(n+2)$ 观察题中图形,可得$a_1=2+1=3=1×3$,$a_2=2+3+2+1=8=2×4$,$a_3=2+3+4+3+2+1=15=3×5$,$a_4=2+3+4+5+4+3+2+1=24=4×6$……按照此规律,第$n$幅图形中“•”的个数$a_n=n(n+2)$。
4. [2025河南中考] 观察$2x$,$4x^2$,$6x^3$,$8x^4$,$···$,根据这些式子的变化规律,可得第$n$个式子为
$2nx^n$
。答案
$2nx^n$ 第1个式子$2x=1×2·x^1$,第2个式子$4x^2=2×2·x^2$,第3个式子$6x^3=3×2·x^3$,第4个式子$8x^4=4×2·x^4$……所以第$n$个式子为$2nx^n$。
5. [2026 广元期中] 观察下列式子:$1^2 -1=1×0;2^2 -2=2×1;3^2 -3=3×2;4^2 -4=4×3;5^2 -5=5×4;…$。依此规律,则第n个等式是
$n^2 -n =n(n-1)$
。答案
$n^2 -n =n(n-1)$
6. [2026宿迁月考节选] 观察下列式子：$1×3 +1 = 2^2; 2×4 +1 = 3^2; 3×5 +1 = 4^2; \dots$。按照上述规律，
$(n-1)(n+1)+1$
$= n^2 (n≥2)$答案
$(n-1)(n+1)+1$
